Sáng tạo bất đẳng thức từ một bất đẳng thức quen thuộc

Nội dung text: Sáng tạo bất đẳng thức từ một bất đẳng thức quen thuộc

1. SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC Nguyễn Đăng Khoa, Lê Trung Hiếu Ngày 1 tháng 5 năm 2018 1 Một bất đẳng thức hay gặp Trong quá trình làm toán đặc biệt đối với bất đẳng thức thì ta gặp rất nhiều loại bất đẳng thức khác nhau, nhiều bổ đề khác nhau và sau đây là một bất đẳng thức quen thuộc đối với nhiều bạn: Cho các số dương a, b, c thì ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≥ 1. a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Và bất đẳng thức trên thì ai cũng biết đến lời giải đơn giản nhất là Cauchy - Schwarz như sau: a2 b2 c2 (a + b + c)2 (a + b + c)2 + + ≥ = = 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab (a + b + c)2 Một dạng tương đương của BĐT trên là: bc ca ab + + ≤ 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Xuất phát từ bài toán trên chúng ta cùng đi khám phá và mở rộng thêm nhiều bài bất đẳng thức khác nhau. 2 Sáng tạo bất đẳng thức 2.1 Làm sao để sáng tạo một bất đẳng thức? Câu hỏi này khá phổ biến đối với nhiều bạn đang học bất đẳng thức và đặt ra tại sao người viết sách lại có thể sáng tác ra nhiều bài toán hay như vậy. Câu trả lời là họ xuất phát từ những bài toán ban đầu và bằng sự tư duy, kinh nghiệm vốn có thì đã có thể sáng tạo ra nhiều bài BĐT khác lạ so với bạn đầu. Muốn sáng tạo BĐT thì trước tiên ta phải quan sát, tư duy với các dạng BĐT khác để ta lồng ghép và đôi khi cần thêm giả thiết để không bị lộ ý tưởng ban đầu của mình. Sau đây là một vài ý tưởng cho bài BĐT trên. 1
2. 2.2 Sáng tạo bất đẳng thức Trước hết ta biến đổi BĐT ban đầu a2 b2 c2 a3 b3 c3 + + ≥ 1 ⇔ + + ≥ 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab a3 + 2abc b3 + 2abc c3 + 2abc Ta thấy tất cả dưới mẫu đều có 2abc nên ta nảy ra ý tưởng cho thêm giả thiết abc = 1 là ta có ngay một BĐT mới. Ví dụ 1: Cho các số dương abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức a3 b3 c3 + + ≥ 1 a3 + 2 b3 + 2 c3 + 2 Từ bất đẳng thức và với giả thiết trên ta biến đổi ra dạng đẹp hơn là 1 1 1 + + ≤ 1 a3 + 2 b3 + 2 c3 + 2 Ví dụ 2 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức sau  a 2  b 2  c 2 + + ≥ 1 a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab Ta thấy mỗi phân số đều xuất hiện các bình phương nên có thể độc giả đã nảy ra ý tưởng là sử dụng BĐT quen thuộc là: 3(A2 + B2 + C2) ≥ (A + B + C)2. Nhưng nếu ta dùng BĐT đó thì ta thu được:  a b c 2 + +  a 2  b 2  c 2 a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab + + ≥ a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab 3 Đến đây độc giả hoàn toàn có thể kiểm tra bằng máy tính là BĐT cuối trên đã bị ngược dấu. Vậy làm sao để sử dụng giả thiết a2 + b2 + c2 = 1 mà không bị ngược dấu. Chúng ta cùng đi xét lời giải sau: Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có: " #  a 2  b 2  c 2 + + (a2 + b2 + c2) ≥ a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab  a2 b2 c2 2 + + ≥ 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Kết hợp giả thiết ta thu được điều phải chứng minh. Với ý tưởng trên ta có thể sáng tạo ra BĐT khác cùng giả thiết a2 + b2 + c2 = 1: a2 b2 c2 + + ≥ 1 (a2 + 2bc)3 (b2 + 2ac)3 (c2 + 2ab)3 Bài bất đẳng thức này ta có thể sử dụng BĐT Holder như sau:  a2 b2 c2   a2 b2 c2 3 + + (a2+b2+c2)(a2+b2+c2) ≥ + + ≥ (a2 + 2bc)3 (b2 + 2ac)3 (c2 + 2ab)3 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 a2 b2 c2 Suy ra + + ≥ 1 (a2 + 2bc)3 (b2 + 2ac)3 (c2 + 2ab)3 Qua hai dạng trên ta phải đưa ra dạng tổng quát cho bài toán: Cho các số dương a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 = 1 và số thực dương k ≥ 1. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ 1 (a2 + 2bc)k (b2 + 2ca)k (c2 + 2ab)k 2
3. Lời giải a2 a2 Ta có: a2 + 2bc ≤ a2 + b2 + c2 = 1 ⇒ (a2 + 2bc)k ≤ a2 + 2bc ⇒ P ≥ P ≥ 1 (a2 + 2bc)k a2 + 2bc Hoàn tất chứng minh và ta qua ví dụ tiếp theo. Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + + ≥ 1 2a + 1 2b + 1 2c + 1 Lời giải yz xz xy Vì abc = 1 nên tồn tại các số dương x, y, z sao cho a = ; b = ; c = Ta viết lại được bất đẳng x2 y2 z2 thức: 1 1 1 1 x2 y2 z2 + + = P = + + ≥ 1 2a + 1 2b + 1 2c + 1 2yz x2 + 2yz y2 + 2zx z2 + 2xy + 1 x2 Và đây chính là BĐT ban đầu nên ta có đpcm. Ngoài cách đổi biến khá sáng tạo như trên thì ta còn có cách quy đồng rồi biến đổi và sử dụng giả thiết. Bất đẳng thức trên cũng viết lại dưới dạng: a b c + + ≤ 1 2a + 1 2b + 1 2c + 1 Ví dụ 4: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ 1 a + 2 b + 2 c + 2 Nếu ở ví dụ 3 ta chọn cách đặt như trên thì ở ví dụ này ta lại phải đặt ngược lại để có thể sử dụng BĐT ban đầu. Lời giải x2 y2 z2 Đặt: a = ; b = ; c = . Ta viết lại được bất đẳng thức: yz xz xy 1 1 1 1 yz + + = P = P ≤ 1 a + 2 b + 2 c + 2 x2 x2 + 2yz + 2 yz Đây chính là kết quả ban đầu nên ta có điều phải chứng minh. Tương tự ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách quy đồng và bất đẳng thức trên tương đương với: a b c + + ≥ 1 a + 2 b + 2 c + 2 Kết hợp ví dụ 3 và ví dụ 4 ta có bài toán tiếp theo. Ví dụ 5: Cho các số dương a, b, c có tích của chúng bằng 1. Chứng minh rằng: a b c a b c + + ≥ + + a + 2 b + 2 c + 2 2a + 1 2b + 1 2c + 1 và một số bất đẳng thức khác có số 1 làm trung gian. Ví dụ 6: Cho các số dương a, b, c là tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3
4. a b c 3 + + ≥ 3bc + a 3ca + b 3ab + c 2 Trước hết ta thấy giả thiết là a, b, c có tổng là 1 và ở các mẫu mỗi phân thức có chứa biến a, b, c nên ta có ý tưởng nhân thêm. Nhưng sau khi nhân thêm chúng ta lại vào thế bí nên chúng ta cần tinh tế hơn trong quá trình biến đổi. Ta cùng xét lời giải sau. Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng: bc ca ab 1 + + ≤ 3bc + a 3ca + b 3ab + c 2 Và ở đây ta hoàn toàn có thể sử dụng giả thiết a + b + c = 1. Sử dụng Cauchy - Schwarz ta có: bc bc bc 1  bc bc  = = ≤ + 3bc + a 3bc + a(a + b + c) (a2 + 2bc) + (ab + bc + ca) 4 a2 + 2bc ab + bc + ca Thiết lập các BĐT còn lại rồi cộng vào ta có: bc ca ab 1  ab ab  1 + + ≤ P + P ≤ 3bc + a 3ca + b 3ab + c 4 2ab + c2 ab + bc + ca 2 1 Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng của bất đẳng thức khi a = b = c = 3 Ví dụ 6: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c là các số thực dương bc ca ab 1 + + ≤ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 2 Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có: bc bc bc 1  bc bc  = = ≤ + 2a2 + (b + c)2 2a2 + b2 + 2bc + c2 a2 + 2bc + (a2 + b2 + c2) 4 a2 + 2bc a2 + b2 + c2 Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vào ta có: bc 1  bc ca ab ab + bc + ca 1 P ≤ + + + ≤ 2a2 + (b + c)2 4 a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab a2 + b2 + c2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh. Biến đổi bất đẳng thức trên về dạng: 2a2 + b2 + c2 2b2 + a2 + c2 2c2 + a2 + b2 + + ≥ 2 2a2 + (b + c)2 2b2 + (b + c)2 2c2 + (a + b)2 Ta có thêm giả thiết a2 + b2 + c2 = 1 thì ta có bất đẳng thức mới: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 + + ≥ 2 a2 + 2bc + 1 b2 + 2ca + 1 c2 + 2ab + 1 Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương a, b, c: a2 + bc b2 + ac c2 + ab + + ≥ 2 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 4
5. Lời giải Ta có bất đẳng thức tương đương với: 2(a2 + bc) 2(b2 + ac) 2(c2 + ab) + + ≥ 4 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 2(a2 + bc) 2(b2 + ac) 2(c2 + ab) ⇔ − 1 + − 1 + − 1 ≥ 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab a2 b2 c2 ⇔ + + ≥ 1 a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 2.3 Bài tập rèn luyện Bài tập 1: Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 4 + + ≤ (a + b + c) a + 2 b + 2 c + 2 3 Bài tập 2: Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức sau: ab bc ca 1 + + ≤ 3ab + 2b + c 3bc + 2c + a 3ca + 2a + b 4 Bài tập 3: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 + + ≤ 1 a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2 Bài tập 4: Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực dương a, b, c a2 b2 c2 + + ≤ 1(∗) 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab bc ca ab ⇔ + + ≥ 1(∗∗) 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab (*)( ) Hai bất đẳng thức này là dạng biến đổi tương đương của bất đẳng thức ban đầu và có nhiều ứng dụng trong các bài toán BĐT. Bài tập 5(Võ Quốc Bá Cẩn): Cho các số dương a, b, c chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 1 + + ≤ 5a2 + (b + c)2 5b2 + (c + a)2 5c2 + (a + b)2 3 Hướng dẫn: Sử dụng Cauchy - Schwarz và bất đẳng thức (*) 9a2 (a + 2a)2 a2 2a2 = ≤ + 5a2 + (b + c)2 (a2 + b2 + c2) + 2(2a2 + bc) a2 + b2 + c2 2a2 + bc 5
6. 3 Tài liệu tham khảo [1] www.mathlinks.ro [2] www.diendantoanhoc.net [3] Sáng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng. Nxb Hà Nội [4] Sử dụng phương pháp Cauchy - Schwarz để chứng minh bất đẳng thức - Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh. Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 6