Phương pháp lấy đối xứng để chứng minh vuông góc - Nguyễn Đăng Khoa

Nội dung text: Phương pháp lấy đối xứng để chứng minh vuông góc - Nguyễn Đăng Khoa

1. PHƯƠNG PHÁP LẤY ĐỐI XỨNG ĐỂ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Nguyễn Đăng Khoa – THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Giới thiệu. Trong các bài toán hình học thì chứng minh hai đường thẳng hay đoạn thẳng vuông góc luôn là bài toán phổ biến. Đặc biệt tác giả gặp một dạng chứng minh vuông góc xuất hiện rất nhiều, nội dung khái quát như sau: “Cho , lấy M là trung điểm CD , chứng minh AMB 90  .” Phương pháp chứng minh đơn giản nhất là lấy A' đối xứng với A qua thì điều cần chứng minh tương đương với chứng minh tam giác cân. Chúng ta đến với phần bài tập để hiểu rõ hơn về phương pháp này. Bài toán 1. (Hong Kong 2017) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O . Lấy hai điểm PQ, lần lượt là các điểm nằm trên tia AD, CD thỏa mãn AP BC và CQ BA. Gọi I là trung điểm PQ . Chứng minh rằng AIC 90  . Lời giải. A B P O I C Q D A' Lấy A' đối xứng với A qua M . Khi đó ta có QA' AP CB và ta có CQA' 180   DQA ' 180   ADQ  ABC Kết hợp với điều kiện AB CQ thì ta rút ra được ABC CQA'. 1 | P a g e
2. Từ đó, ta có CA CA' hay AIC 90  (đpcm). Nhận xét. Bài toán vẫn đúng khi PQ, nằm ngoài đoạn DA và DC . Ngoài ra thì bài toán còn đúng nếu ta lấy PQ, nằm trên tia đối của các tia AD, CD . Một bài toán khác có hình thức khá giống như này đã xuất hiện trong đề thi MYTS và cũng có thể giải được bằng cách lấy đối xứng. Bạn đọc tự chứng minh. Bài toán 2. (MYTS 2017) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ()O . Lấy hai điểm EF, lần lượt là các điểm nằm trên cạnh AB, AC thỏa mãn BD BE và CD CF . Gọi G là trung điểm EF . Chứng minh rằng BGD 90 . Bài toán 3. (Thanos Kalogerakis) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho AD MB MC . Gọi KLN, , lần lượt là trung điểm AB, DM và AC . Chứng minh KL LN . Lời giải. A D K N L N' C B M Lấy điểm N ' đối xứng với N qua L . Khi đó ta dễ có MN' ND , KM AN và DNA  N' MK nên ta có KN'' M ADN KN AD BM KN hay ta có đpcm. Bài toán 4. (Tạp chí Pi) Cho tam giác ABC có MN, lần lượt là trung điểm AB, AC . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BMX và tam giác ANY . Gọi Z là trung điểm XY . Chứng minh rằng MZN 90 . 2 | P a g e
3. Y A Z M N X C B Bạn đọc tự chứng minh. Sau khi tiếp tục dựng các tam giác đều tác giả phát hiện bài toán sau. Bài toán 5. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có MN, lần lượt là trung điểm AB, AC . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành MBXX ' và NAYY ' sao cho MBX  NAY 60 . Gọi Z và Z ' lần lượt là trung điểm XY,'' X Y . Chứng minh rằng MZN  MZ' N 90  và ZZ'. BC Y A X' Z' Z Y' M N X C B 3 | P a g e
4. Bài toán 6. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ()O . Từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới . Kẻ dây cung BE song song với AC và BV song song với AO . Lấy điểm GF, thuộc đoạn BE và sao cho GF|| EV . Gọi K là trung điểm GE . Chứng minh FKC 90 . B F V G A K O E L C Lời giải. Lấy L đối xứng với F qua K . Khi đó EL|| FG || VE V , E , L thẳng hàng. Bằng biến đổi góc ta dễ có CB CE và CV là đường kính của ()O . Từ đó ta có BF FG EL, CB CE và FBC  LEC CBF CEL CF CL Mà K là trung điểm KL nên ta có FKC 90  (đpcm). Kết luận. Trên đây, tác giả đã trình bày một số bài toán chứng minh vuông góc có thể sử dụng phép lấy đối xứng, nếu không giả thiết sẽ rất rời rạc. Phương pháp trên đã tỏ ra rất hữu ích trong việc giải toán hình, chắc chắn các bạn sẽ lại gặp lại phương pháp này ở một số bài toán khác. Chúc các bạn thành công. ~Thân tặng các em dự thi HSG tỉnh lớp 9 huyện Lâm Thao~ 4 | P a g e