Ôn luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Bài 3: Hàm số và đồ thị

Nội dung text: Ôn luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Bài 3: Hàm số và đồ thị

1. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” BÀI 3. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số bậc nhất a) Khái niệm Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y ax b với a 0. b) Tính chất - Hàm số bậc nhất y ax b với a 0 + Đồng biến trên khi a 0; + Nghịch biến trên khi a 0. - Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng: + Với b 0,đường thẳng đó đi qua các điểm (0;0) và (1;a ); + Với b 0, đường thẳng đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm b ;0 và (0;b ). a - Ta có a là hệ số góc của đường thẳng d: y ax b + Nếu a 0, góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và d là góc nhọn và a tan ; + Nếu a 0, góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và d là góc tù và a tan(1800 ). - Cho hai đường thẳng d: y ax b và d':'' y a x b a a' + d trùng d'; b b' a a' + d song song d'; b b' + d cắt d' a a '; a a' + d cắt d’ tại một điểm trên trục tung ; b b' + d vuông góc d' a . a ' 1. Độ dài đoạn thẳng AB với A( x ; y ), B ( x ; y ) là AB ()(). x x2 y y 2 AABB BABA A(;) x y O(0;0) Độ dài đoạn thẳng OA với AA và là OA x2 y 2 . AA 2. Hàm số bậc hai - Hàm số bậc hai y ax2 với a 0 có đồ thị là một đường cong có đỉnh là gốc tọa độ O, nhận trục tung làm trục đối xứng. + Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành; O(0;0)là điểm thấp nhất. + Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành; O(0;0)là điểm cao nhất. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
2. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” - Hàm số bậc hai y ax2 ( a 0) : + Nếu a 0 thì đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0; + Nếu a 0 thì đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0. - Cho đường thẳng d: y mx n và parabol ():P y ax2 với a 0. Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) có dạng ax2 mx n 0 (*) với m2 4 an Vị trí tương đối STT Biệt thức Ghi chú của d và (P) Hoành độ tiếp 1 d tiếp xúc với (P) 0 m điểm x 2a 2 d không cắt (P) 0 Hoành độ các giao d cắt (P) tại hai 3 0 điểm là nghiệm điểm phân biệt của (*) II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A. Cho đường thẳng d: y ( m 2) x m 3 và parabol ():P y mx2 và m 0 là tham số. a) Khi m 1, hãy: i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. ii) Tính diện tích tam giác OMN với MN, là các giao điểm của d và (P ). b) Tìm giá trị của m để: i) d đi qua K( 2; 2) ; ii) Ba đường thẳng d1: y 2 x 3, d 2 : y x 1 và d đồng quy; iii) d tạo với đường thẳng y 2 một góc 1350 ; iv) d song song với đường thẳng , biết đi qua I(1; 2) và vuông góc với đường thẳng ' : 2x y 3 0; v) (P) đi qua điểm cố định của d; vi) d cắt các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2m 2 ; vii*) Khoảng cách từ O(0;0) đến d lớn nhất. viii) Đường thẳng thu được ở ý i) cắt hai trục tọa độ tạo thành OCD. Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích gấp 4 lần diện tích OCD. c) Viết phương trình đường thẳng d3 song song với d1 : y 2 x 3 và đi qua điểm cố định của d. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
3. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” d) Chứng minh với mọi m 0, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. e) Gọi A(;) x1 y 1 và B(;) x2 y 2 là các giao điểm của d và (P). Hãy tìm: i) Hệ thức độc lập giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. 2 2 ii) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x1 x 2 . g) Gọi A( x1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ) là các giao điểm của d và (P). Hãy tìm m để: i) A và B nằm về hai phía trục tung; ii) A và B nằm cùng phía của đường thẳng x 1; iii) x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x1 2 x 2 ; iv) AB song song với đường thẳng d4 : y 3 x 2017. Tính diện tích tam giác OAB với m vừa tìm được. h) Khi m 2,gọi M, N là giao điểm của d với hai trục tọa độ. Tìm m để diện tích OMN nhỏ nhất. 1B. Cho parabol (P ) : y 2 x2 và đường thẳng d: y ( m 3) x m với m là tham số. a) Khi m 2 , hãy: i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. ii) Tính diện tích tam giác OMN với MN, là các giao điểm của d và (P ). b) Tìm giá trị của m để : i) d đi qua M( 1 ; 2) và d/ / d1 : y 2 x 3. ii) d tạo với Ox một góc 600. iii) d cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. iv*) Tìm m để khoảng cách từ O(0;0) đến d lớn nhất. c) Viết phương trình đường thẳng d3 vuông góc với d2 : y 2 x 1 và đi qua điểm cố định của d. d) Chứng minh d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. e) Gọi A(;) x1 y 1 và B(;) x2 y 2 là tọa độ các giao điểm của d và (P). i) Tìm hệ thức độc lập giữa x1, x 2 không phụ thuộc vào m. 1 1 ii) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 2 2 ; x1 x 2 iii) Tìm m để A, B có hoành độ âm; 3 iv) Tìm m để (2x2 mx )(2 x 2 mx ) . 1 1 2 2 2 v) Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB với trục Oy, tìm m để CA 2 CB . III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 1 2. Cho parabol ():P y x2 và đường thẳng d: y 3 x 2 m 5 với m là tham số. 2 Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
4. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” 1 a) Khi m , hãy: 2 i) Vẽ (P) và d trên cùng hệ trục tọa độ Oxy; ii) Tìm diện tích tam giác OMN với MN, là các giao điểm của d và (P ). b) Tìm giá trị của m để : i) (P) và d tiếp xúc với nhau; ii) d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để OAB vuông ở O. 2 iii) Giao điểm của d: y x 1; d : y x 2 thuộc d; 13 2 iv) Khoảng cách từ O(0;0) đến d nhỏ nhất. c) Tìm giá trị tan của góc tạo bởi d với tia Ox. d) Viết phương trình đường thẳng d3 vuông góc với d và đi qua điểm cố định của đường thẳng d4 : y ( m 2) x m . e) Trong trường hợp d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, gọi A( x1 ; y 1 ); B ( x 2 ; y 2 ) là tọa độ hai giao điểm. Tìm m để: i) y1 y 2 0 ; 2 2 2 ii) Biểu thức Q x1 x 2 () x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất; m2 x2 6 x 4 m 2 1 iii*) Biểu thức E 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất (với x1 6 x 2 4 m m m 0). Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
5. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” BÀI 3. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1A. a) Với m 1, ta có d: y 3 x 2 và (P): y x2 . i) HS tự vẽ hình. ii) Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của PT : x2 3 x 2 0. Giải PT tìm được x1 1, x 2 2 Tọa độ hai giao điểm M(1; 1) và N(2; 4). Cách 1. Ta có H(1;0) K(2;0) lần lượt là hình chiếu của M và N lên trục Ox. Dựa vào hình vẽ ta có SSSS MON NOK MNKH MOH . Từ đó tính được S MON 1 (đvdt). Cách 2. Đường thẳng này cắt Oy tại P(0; 2). 1 1 1 1 S S S . OP . x . OP . x .2.2 .2.1 1 OMN OPN OPM2 N 2 M 2 2 b) i) Do d đi qua K nên thay x 2; y 2 vào PT của d y ( m 2) x m 3. Từ đó giải PT tìm được m 5. 2 5 ii) Tìm được T ; là tọa độ giao điểm của d1,. d 2 3 3 Vì ba đường thẳng đồng quy nên đường thẳng d đi qua T. Từ đó thay tọa độ của T vào PT của d , tìm được m 8. Với m 8 thì d: y 10 x 5 phân biệt với d1,. d 2 iii) Nhận thấy đường thẳng y 2 song song Ox nên từ giả thiết suy ra d tạo với tia Ox một góc 1350. Vì 1350 90 0 nên ta sử dụng công thức a tan(1800 ) Từ đó thu được m 2 tan450 . Thực hiện tra bảng hoặc bấm máy tính ta được tan 450 1 suy ra m 1. 1 iv) Vì  ' Hệ số góc của là a . 2 1 5 Vì đi qua I(1; 2) nên ta tìm được PT của :.y x 2 2 m 2 0.5 3 Ta có d  . Từ đó tìm được m . m 3 2.5 2 v) Tìm được I( 1; 5) là điểm cố định của d. Thay tọa độ của I vào (P) tìm được m 5. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
6. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” vi) Với m 2. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy. 1 1 (m 3)2 Ta có công thức tính S OM ON OMN 2 2 m 2 Từ giả thiếtS OMN 2 m 2 . 1 Giải PT ẩn m tìm được m 7; m (đều TMĐK m 2). 3 vii) Gọi H là hình chiếu của O lên d. Ta có OH OI 26 ( I( 1; 5) là điểm cố định của d). Suy ra OHmax 26 khi d OM. 11 Sau khi viết PT đường thẳng OM ta tìm được m . 5 viii*)) Phương trình d: y 3 x 8. 8 d cắt Oy, Ox lần lượt tại DC(0; 8); ;0 . 3 Đường thẳng cần tìm có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có trị tuyệt đối tung độ gấp đôi là 16 và 16. Hai đường thẳng cần tìm là y 3 x 16; y 3 x 16. c) Từ giả thiết d3 d 1 nên hệ số góc của d3 là a 2. Vì d3 đi qua I( 1; 5) là điểm cố định của d nên ta tìm được PT của d3 : y 2 x 7 phân biệt với d1. d) PT hoành độ giao điểm của d và (P) là: mx2 (m 2) x (m 3) 0 với(m 0). Dễ dàng chứng minh được 0 với mọi m 0 nên đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. e) i) Từ PT hoành độ giao điểm của d và (P) 2 3 Ta có x x 1 và x x 1 . 1 2 m 1 2 m Suy ra hệ thức độc lập 3(x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 5. 2 2 2 1 11 11 ii) Biến đổi Q (x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 . m 2 4 4 11 Vậy Q m 4. min 4 g) i) Để A, B nằm về hai phía Oy thì x1 x 2 0. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
7. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” m 3 m 0 Giải BPT 0 tìm được . m m 3 ii) Hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng x 1 khi x1 1 x 2 (1 x 1 )(1 x 2 ) 0 m 1 Giải BPT 0 tìm được m 0 hoặc m 1. m Suy ra: Để 2 điểm A, B nằm cùng phía của đường thẳng x 1 thì 1 m 0. m 2 iii) Từ giả thiết x 2 x kết hợp x x . 1 2 1 2 m 2(m 2) m 2 m 3 Giải được x , x thay vào x x . Giải PT 13m 2 3 m 1 2 m 2(m 2)2 m 3 8 thu được m 1 hoặc m . (3m )2 m 11 iv) Từ giả thiết AB d4 hay d d4 tìm được m 5. 8 64 Cách 1. Tìm được tọa độ hai giao điểm A ; và B( 1; 5). 5 5 8 Gọi H, K là hình chiếu của A,B trên Ox HK ;0 , ( 1;0). 5 Ta có công thức tính diện tích SSSS AOB ABHK AOK BOH . 52 Từ đó tính được S (đvdt). ABO 5 Cách 2. Đường thẳng d cắt Oy ở N(0; 8). 1 1 S S S ON x ON x AOB AON BON 1 2 2 2 1 1 8 52 .1.8 . .8 . 2 2 5 5 m 3 m 2, M ;0 , N (0; m 3). có h) Với m 2 (m 3)2 25 2.S m 2 10 20. OMN Ta có m2 m 2 Smin 10 m 7. Vậy khi 1B. Tương tự 1A. a) i) HS tự vẽ hình. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
8. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” ii) Ta có SSSS MON MOH NOK MNKH , với H và K là hình chiếu vuông góc của M, N 3 lên Ox. Từ đó tính được S (đvdt). 2 b) i) m . ii) Tìm được m 3 3. m iii) ĐK m 3. Ta có d cắt Oy, Ox tại E(0; m ), F ;0 . m 3 1 m2 Xây dựng công thức tính S . 2. OEF 2 m 3 Từ đó giải được m 6 hoặc m 2 (đều TMĐK). iv*) Tìm được điểm cố định mà d đi qua là I( 1; 3). 10 Từ đó suy ra khoảng cách lớn nhất bằng 10 khi m . 3 1 7 c) Tìm được đường thẳng d : y x . 3 2 2 d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): 2x2 ( m 3) x m 0 , có (m 1)2 8 0 d luôn cắt (P) tai hai điểm phân biệt. 3 e) i) Tìm được hệ thức: x x x x . 1 2 1 2 2 2 3 1 8 8 ii) Ta có Q Qmin khi m 9. m 3 9 9 x1 x 2 0 iii) Giả thiết x1 0 và x2 0 hay . x1 x 2 0 Từ đó tìm được: 0 m 3. iv) Biến đổi về PT: 3 4(x x )2(2 m x x )( x x ) m 2 x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 33 Từ đó giải được m 1, m . 4 Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
9. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” x1 2 x 2 v) Có C(0; m ) mà CA 2 CB x1 2. x 2 . x1 2 x 2 x 2 x Trường hợp 1. 1 2 , không tìm được m. 7 13 Trường hợp 2. x1 2 x 2 , tìm được m . 2 2. a) i) HS tự vẽ hình. ii) Cách 1. Ta có SSSS MON ONK MOH KHMN , với H,K là hình chiếu của M, N lên Ox. Từ đó tính được S 4 (đvdt). Cách 2. Có MN(2; 2); (4;8) cắt Oy ở C(0; 4). 1 1 SSS .4.4 .4.2 4 OMN OCN OCM 2 2 (đvdt). b) i) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d : x2 6 x 4 m 10 0 , tính được ' 4m 1. 1 Để (P) và d tiếp xúc thì ' 0 m . 4 1 ii) Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ' 0 m . 4 +) A( x ; y ); B ( x ; y ); AOB 1 1 2 2 vuông ở O nên OA2 OB 2 AB 2 x 2 y 2 x 2 y 2 ()() x x 2 y y 2 1 1 2 2 1 2 1 2 5 7 m m . Tìm được 2 hoặc 2 iii) Tìm được M( 9; 7) là giao điểm của d1,. d 2 25 Từ M thuộc d tìm được m . 2 5 iv) Khoảng cách nhỏ nhất (0; 0) d. Tìm được khi m . 2 c) Do a 3 0 , sử dụng công thức tan a 3. d) Tìm được I( 1; 2) là điểm cố định của d4 Vì các đường thẳng d là song song với nhau nên d3 d 3 a 3 1. 1 5 Từ đó tìm được PT đường thẳng d:. y x 3 3 3 1 e) Câu b ý ii) có m thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 4 Từ đó ta có x1 x 2 6 và x1 x 2 10 4 m . i) Ta có y1 y 2 3( x 1 x 2 ) 4 m 10 0 m 2. Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
10. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” 1 Kết hợp điều kiện m suy ra m . 4 2 ii) Biến đổi Q 16 m2 72 m 116 4 m 9 35 . 9 1 Q 35 khi m (TMĐK m ). min 4 4 1 2 iii) Với m , x1, x 2 x1 6 x 1 (4 m 10) 0 4 do là 2 nghiệm nên và x2 6 x (4 m 10) 0; 2 2 x2 6 x 4 m 6 x (4 m 10) 6 x 4 m 6( x x ) 10 26 Ta có 1 2 1 2 1 2 m2 26 E 2 2 26 m E 2 m 26. min khi Đây là tài liệu trích trong cuốn “Ôn luyện thi vào lớp 10 Môn Toán” do Công ty Cổ phần Giáo dục Fermat phát hành. Cuốn sách nằm trong bộ sách dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10: Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education
11. FERMAT EDUCATION Trích cuốn “ÔN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN” Để đặt mua sách xin liên hệ theo hotline 0984 208 495 (Mr Tuấn) hoặc: Fermat Education Địa chỉ: Số 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Điện thoại: 0977.333.961 (Ms Thu). Website: www.fermat.edu.vn Fanpage: www.fb.com/fermateducation.Facebook: www.fb.com/tailieudayhoctoan Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Hotline: 0977333961. Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education