Một số phương trình lượng giác thường gặp

Nội dung text: Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0 trong đó a, b là các hằng số (a ¹ 0) và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x vàcos x là phương trình có dạng a sin x + b cos x = c Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ³ c 2 . Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 , ta đựợc a b c sin x + cos x = . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 æ ö2 æ ö2 ç a ÷ ç b ÷ a b Do ç ÷ + ç ÷ = 1 nên đặt = cosa ¾ ¾® = sin a. ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ 2 2 2 2 èç a + b ø÷ èç a + b ø÷ a + b a + b c c Khi đó phương trình trở thành cosa sin x + sin a cos x = Û sin(x + a)= . a2 + b2 a2 + b2 3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at 2 + bt + c = 0 trong đó a, b, c là các hằng số (a ¹ 0) và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. 4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x vàcos x là phương trình có dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Cách giải. ● Kiểm tra cos x = 0có là nghiệm của phương trình. ● Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu được phương trình a tan2 x + b tan x + c = d(1+ tan2 x). BÀI TẬP Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 cos x - 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 5p 11p 13p 13p A. Î S. B. Î S. C. Ï S. D. - Ï S. 6 6 6 6 7p Câu 2. Hỏi x = là một nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 A. 2 sin x - 3 = 0.B. 2 sin x + 3 = 0. C. 2 cos x - 3 = 0. D. 2 cos x + 3 = 0. æ pö p 7p p p Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sinç4x - ÷- 1 = 0. A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . èç 3ø÷ 4 24 8 12 æ pö Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tanç2x - ÷+ 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?A. 4 . B. .3C. .D.2 . 1 èç 3ø÷ Câu 5. Hỏi trên đoạn [0;2018p] , phương trình 3 cot x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018. Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 cos2 x = 1 ? 2 A. sin x = . B. 2 sin x + 2 = 0. C. tan x = 1. D. tan2 x = 1. 2 Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2 x = 3 ? 1 1 1 A. cos x = - . B. 4 cos2 x = 1. C. cot x = . D. cot x = - . 2 3 3 3 Câu 8. Với x thuộc (0;1) , hỏi phương trình cos2 (6px)= có bao nhiêu nghiệm?A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. 4 Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos x + m - 1 = 0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2108;2018] để phương trình m cos x + 1 = 0 có nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (m + 1)sin x + 2- m = 0 có nghiệm. 1 1 A. m £ - 1. B. m ³ . C. - 1 - 1. 2 2 Câu 12. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2x - sin 2x = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2. p p 3p 5p A. Î S. B. Î S. C. Î S. D. Î S. 4 2 4 4 æ pö Câu 13. Số nghiệm của phương trình sin 2x + 3 cos 2x = 3 trên khoảng ç0; ÷ là?A. 1. B. C.2. D. 3. 4. èç 2ø÷ Câu 14. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2 x - sin 2x = 2 + sin2 x trên khoảng (0;2p). 7p 21p 11p 3p A. B.T =C. . T = . T = . D. T = . 8 8 4 4 æ pö Câu 15. Số nghiệm của phương trình sin 5x + 3 cos5x = 2 sin7x trên khoảng ç0; ÷ là? A. B.2. C. D.1. 3. 4. èç 2ø÷ æ pö æ pö Câu 16. Giải phương trình 3 cosçx + ÷+ sinçx - ÷= 2 sin 2x. èç 2ø÷ èç 2ø÷ é 5p é 5p é 5p é p 2p êx = + k2p êx = - - k2p êx = + k2p êx = + k ê 6 ê 6 ê 6 ê 18 3 A. ê , k Î ¢. B. ê , k Î ¢. C. ê , k Î ¢. D. ê , k Î ¢. ê p 2p ê p 2p ê 7p ê p 2p êx = + k êx = - + k êx = + k2p êx = - + k ëê 18 3 ëê 18 3 ëê 6 ëê 18 3 Câu 17. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x + 3 cos7x = sin7x + 3 cos 9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? æ p ö é p p ù é p pö é p pö A. Î ç- ÷ B. C. D.Î ê- - ú Î ê- - ÷ Î ê- - ÷ x0 ç ;0÷. x0 ; . x0 ; ÷. x0 ; ÷. èç 12 ø ëê 6 12ûú ëê 3 6ø ëê 2 3ø Câu 18. Biến đổi phương trình cos3x - sin x = 3(cos x - sin 3x) về dạng sin(ax + b)= sin(cx + d) với b , d thuộc khoảng æ p pö p p p p ç- ; ÷. Tính b + d .A. B.b + d = . C.b + d = . b + d =D.- . b + d = . èç 2 2ø÷ 12 4 3 2 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình (m + 1)sin x - m cos x = 1- m có nghiệm. A. B.21 C 20. 18. D. 11. æ pö æ pö Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình sinçx - ÷- 3 cosçx - ÷= 2m vô èç 3ø÷ èç 3ø÷ nghiệm.A. B.21 C 20. 18. D. 9. é ö p÷ 2 Câu 21. Hỏi trên ê0; ÷ , phương trình 2 sin x - 3sin x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?A. 1. B. C.2 . D. 3. 4. ëê 2ø Câu 22. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của 2 cos2 x + 5cos x + 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 23. Số nghiệm của phương trình sin2 2x - cos 2x + 1 = 0 trên đoạn [- p;4p] là?A. 2. B. C. 4. 6. D. 8. x x Câu 24. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin2 - 3cos = 0 trên đoạn [0;8p]. 4 4 A. T = 0. B. T = 8p. C. T = 16p. D. T = 4p. 17p Câu 25. Tính tổng T tất cả các nghiệm của 2 cos 2x + 2 cos x - 2 = 0 trên [0;3p] .A. T = . B. C.T =D.2 p. T = 4p. T = 6p. 4 Câu 26. Giải phương trình sin2 x - ( 3 + 1)sin x cos x + 3 cos2 x = 0. é p é p êx = + k2p êx = + kp p p ê 3 ê 3 A. x = + k2p (k Î ¢ ). B. x = + kp (k Î ¢ ). C. ê (k Î ¢ ). D. ê (k Î ¢ ). 3 4 ê p ê p êx = + k2p êx = + kp ëê 4 ëê 4 p p p p Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4 sin2 x + 3 3 sin 2x - 2 cos2 x = 4 là:A. .B. .C. .D. . 12 6 4 3 p p 2p p Câu 28. Giải phương trình 2 sin2 x + (1- 3)sin x cos x + (1- 3) cos2 x = 1. A. - .B. - .C. - .D. . - 6 4 3 12 Câu 29. Cho phương trình ( 2 - 1)sin2 x + sin 2x + ( 2 + 1)cos2 x - 2 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 7p A. x = là một nghiệm của phương trình. 8 B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2 x thì ta được phương trình tan2 x - 2 tan x - 1 = 0 . C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin2 x thì ta được phương trình cot2 x + 2 cot x - 1 = 0 . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x - sin 2x = 1. Câu 30. Tìm điều kiện để phương trình a sin2 x + a sin x cos x + b cos2 x = 0 với a ¹ 0 có nghiệm. 4b 4b A. a ³ 4b .B. a .C£. - 4b £ 1 .D. . £ 1 a a