Một số bài Hình học Lớp 9 hay và khó

Nội dung text: Một số bài Hình học Lớp 9 hay và khó

1. Bài hình khó tổng hợp Lời bàn:Khi xem lại các bài hình học đường tròn nội tiếp tam giác đã giải cho bạn Khoa và bạn Trân . Cộng với thêm bài hình của thầy Nguyễn Đức Tấn ,bài hình trên tạp chí giải 9 bài toán đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trên tạp chí toán học do Nguyễn Huy Hoạt đưa lên .Em đã tổng hợp nên bài toán sau .Các thầy cô xem bài toán đây có vấn đề gì không ,mong mọi người đóng góp ý kiến Đề bài:Cho tam giác ABC vuông tại A(AC>AB) có đường cao AH (H thuộc BC ) .Gọi D,E,I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABH,ACH,ABC .Đường tròn (I) tiếp xúc với AB tại M và tiếp xúc với AC tại N .Gọi J là trung điểm của AC.Đường thẳng qua N vuông góc với IJ cắt đường thẳng qua B song song với AC tại điểm G ,MG cắt AH tại K ,DE cắt AC tại P .Qua P kẻ đường thẳng song song với AH cắt CK tại Q Chứng minh:Độ dài PQ bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACH
2. Lời giải Như đã nói ở trên ,để giải được bài toán trên ,ta cần có 4 bài toán phụ .em xin trích như sau: Bài toán số 1:(Trích từ tạp chí toán học và tuổi trẻ do Nguyễn Huy Hoạt đưa lên ).Đề bài :Đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,AC,BC lần lượt tại D,E,F.Đường thẳng qua A song song với BC cắt DE tại K.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh:FK_|_MI Hướng dẫn giải:Cho IF cắt DE tại N.Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại G và cắt AC tại L.Dễ thấy các tứ giác INGD ,INEL nội tiếp và tam giác IDE cân ,do đó góc LGI=góc EDI=góc DEI=góc GLI => tam giác IGL cân .Dễ thấy N là trung điểm của GL .Ta có GL//BC , NG=NL và MB=MC.Áp dụng hệ quả định lý ta lét ,chứng tỏ được 3 điểm A,N,M thẳng hàng .Dễ thấy N là trực tâm tam giác AIK=>AN_|_IK=>AM_|_IK Cho AI cắt DE tại P ,IK cắt AM tại Q .Dễ chứng minh được : IF2=ID2=IP.IA=IQ.IK=> ~ =>góc IQF=góc IFK .Do tứ giác IQFM nội tiếp =>góc IQF=góc IMF =>góc IFK=góc IMF .Đến đây chứng minh được :IM vuông góc với FK
3. Bài toán số 2(Trích từ các bài hình học của Nguyễn Đức Tấn). .Đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A tiếp xúc với các cạnh AB,AC,BC lần lượt tại D ,E,F .Gọi M là trung điểm của AC ,IM cắt AB tại G .Đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC) cắt DF tại K.Chứng minh rằng:AG=AK Hướng dẫn giải:Gọi M là trung điểm của AC.Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại J và cắt AI tại N Dễ thấy góc CAI=45* .Từ đó chứng minh được tam giác ANC vuông cân tại C=>góc IFC=góc INC=90* =>Tứ giác IFNC nội tiếp => góc IFN+góc ICN=180* Dễ thấy tứ giác DBFI nội tiếp =>góc DBF=2 góc DBI=2 góc DFI Ta lại có:góc DBF=góc MJC (2 góc đồng vị do AB//MN)= góc MNC+góc JCN = góc MCN+góc JCN =góc ACB+góc JCN+góc JCN=2 góc ICF+2 góc JCN= 2 góc ICN .Từ đó suy ra góc DFI =góc ICN =>góc IFN+góc DFI=180*=> 3 điểm D,F,N thẳng hàng Có AG//IE ,AH//IF ,IE//MN .Áp dụng định lý ta lét ta có: IE/AG=ME/MA=IN/AN=IF/AK .Mà IE=IF=>AK=AG
4. Bài toán số 3 (Trích từ bài toán của bạn Khoa): Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn (I;r). K là trung điểm AC, KI cắt AB tại L. Chứng minh: r =BL A F E r r K L I r B C D O Dễ thấy tứ giác AEIF là hình vuông =>AE=AF=IE=IF=r Dễ chứng tỏ được :AE=AF=IF=IE=r= , BE=BD= Ta có :AC2=BC2-AB2= (BC-AB)(BC+AB) => => => => => => => (1) Ta lại có :IF//AB ,Áp dụng định lý ta lét ta có : => (2) Từ (1) ,(2) =>AL=BE =>BL=AE=r
5. Ghi chú:Ta rút ra được công thức:Trong tam giác vuông ,độ dài bán kính đường nội tiếp bằng độ dài tổng 2 cạnh góc vuông trừ cho cạnh huyền và tất cả chia cho 2 Bài toán số 4:(Trích từ bài toán của bạn Trân).Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) .Gọi D và E lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH ,DE cắt AB tại M và cắt AC tại N .Chứng minh:A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN Dễ thấy 2 góc DBH=góc ABH=góc HAC=2 góc HAE=> góc DBH=góc HAE , góc AHE=góc BHD=45* .Từ đó suy ra ~ (g-g) =>HD/HE=HB/HA=> ~ (c-g-c)=>góc HDE=góc ABH=>Tứ giác BMDH nội tiếp .Ta chứng tỏ được:góc AMD=góc BHD=góc AHD , mà góc MAD=góc HAD=>hóc ADM=góc ADH=> = (g-c-g) =>AH=AM .Chứng minh tương tự :AH=AN .Vậy A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN Từ đó ta quay trở lại bài toán như sau: Cho đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại F .Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt MF tại V .Áp dụng bài toán số 1 ta chứng minh được :IJ vuông góc với NV .Từ đó chứng minh được :V trùng với G .Từ đó ta suy ra được :3 điểm M,F,G thẳng hàng ,suy ra 3 điểm M,K,F thẳng hàng
6. Cho IJ cắt AB tại L.Áp dụng bài toán số 2 ta chứng minh được:AK=AL .Lại áp dụng bài toán số 3 ta chứng minh được :AL=BM =>BM=AK. Áp dụng bài toán số 4 ta chứng minh được :AP=AH Cho đường tròn (D) tiếp xúc với BC tại T .Lấy điểm S thuộc AH sao cho PS//CK Áp dụng công thức tiếp tuyến , ~ và định lý ta lét ta có: => => => BT=AS Dễ thấy tứ giác PQKS là hình bình hành => PQ=SK=AK-AS=BM-BT = = t (với t là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC) .Vậy bài toán chứng minh xong