Lý thuyết ôn tập Toán Lớp 9 - Phạm Hồng Phương

32 trang dichphong 3220

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết ôn tập Toán Lớp 9 - Phạm Hồng Phương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_on_tap_toan_lop_9_pham_hong_phuong.doc

Nội dung text: Lý thuyết ôn tập Toán Lớp 9 - Phạm Hồng Phương

Lý thuyết Toán 9 Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù ñeå giaûi toaùn Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù: A .( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F 7 haèng ñaúng thöùc:(SGK) Vôùi A, B laø caùc bieåu thöùc (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 (A – B) 3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A 3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A 3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Caùc haèng ñaúng thöùc lieân quan: (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB A2 B2 A B 2 2AB A 3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) A 3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) Caùc haèng ñaúng thöùc daïng toång quaùt: (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn A n – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) 2 2 2 2 (A 1 + A2 + . . . +An) = A1 + A2 + . . . + An + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) ( a b ) 2 a 2 a b b 2 1 a 1 2 a a ( a b ) 2 a 2 a b b 2 1 a 1 2 a a a b a b a b a a b b ( a b ) ( a a b b ) a a b b ( a b ) ( a a b b ) 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a a a b b a ab ( a b ) a b b a ab ( a b ) GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức: Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc 1) A(x) là đa thức A(x) luôn có nghĩa hai: A(x) Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp 2) có nghĩa B(x) 0 B(x) để mẫu số là một bình phương 3) A(x) có nghĩa A(x) 0 A A.B A.B ( với B 0, A.B 0 ) A(x) 2 4) có nghĩa B(x) > 0 B B B B(x) Trục căn thức ở mẫu số: 2 A A A DẠNG 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn A thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức. Nếu A không âm thì A A. B A. B 2 2 2 a B a.B A A A. A A a. B DẠNG 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của A.B A. B ( với A ; B 0 ) mẫu. Tổng quát:  A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với nhau. A A A A . A A với A 0 (1 i 1 2 n 1 2 n i  (A – B)(A + B) = A2 – B2 n ) m m.(A B) m. A B  A A A B (A B)(A B) A2 B (với A 0, B 0) B B m m.(A B) m. A B A B (A B)(A B) A2 B Đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai: m m. A B m. A B  2 A B A B A B A B ta được |A| . Ta có: A B A B m m. A B m. A B . Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: A B A B A B A B A B A2 B ( với A 0 ) A B A2 B ( với A < 0 ) Phương trình chứa căn thức bậc hai: B 0 A2 0 | A | 0 A 0 A B 1) 3) 2 A B B 0 (hoặc A 0 ) 2) A B 4) A B O A = 0 và B = 0 A B GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. A cã nghÜa khi A 0 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. A2 A b. AB A. B (A 0; B 0) A A c. (A 0; B 0) B B d. A2 B A B ( B 0) e. A B A2 B (A 0; B 0) A B A2 B (A 0; B 0) A 1 f. AB (AB 0; B 0) B B A A B i. (B 0) B B C C( A  B) k. (A 0; A B2 ) A B A B2 C C( A  B) m. (A 0; B 0; A B ) A B A B2  Kiến thức cơ bản: CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.1Hàm số bậc nhất a. Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 b. Tính chất :Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0 - Nghịch biến trên R khi a < 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng -Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = ta được điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) *Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương *Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b f. Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y - Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là 1 x0 y0 2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức 2 2 AB (xB xA ) (yB yA ) -Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức x x y y x A B ; y A B M 2 M 2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a 0 hoặc b 0) + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a 0;b 0 thì đường a c thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: y x . b b  Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax by c.(1) + Dạng: , , , a x b y c .(2) + Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình + Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d) -Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm. Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). + Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).  Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ. Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A. Kiến thức cơn bản 1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 8 8 6 6 T 4 4 T 2 2 A -15 -10 -5 5 10 15 -15 -10 -5 A 5 10 15 y=ax+b y=ax y=ax -2 -2 y=ax+b -4 -4 -6 -6 -8 -8 Trường hợp a > 0 Trường hợp a 0 00 900 , a càng lớn thì càng lớn - với a < 0 900 1800 , a càng lớn thì càng lớn 2. y = ax + b (a khác 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng 3. Với 2 đường thẳng d : y ax b và d ' : y a' x b' a;a' 0 , ta có: d / / d ' a a';b b' d  d ' a a';b b' d d ' a a' d  d ' a.a' 1 - Chú ý: khi a khác a’ và b = b’ thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. Kiến thức cơ bản GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 1. Quy tắc thế - từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn 2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn - giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước - Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới - Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia) 2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau + đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau + cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn + thay vào tính nốt ẩn còn lại GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cơ bản Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau : - bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau) + chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết + lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng - bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1 - bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu HÀM SỐ y ax2 a 0 . ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax2 a 0 A. Kiến thức cơ bản 1. Tính chất hàm số y ax2 a 0 a) Tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 Nếu a 0 và đồng biến khi x 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. Kiến thức cơ bản GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 1. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng: ax2 bx c 0 a 0 (1), trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước. 2. Cách giải x 0 x 0 2 a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax bx 0 x ax b 0 b ax b 0 x a c b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax2 c 0 ax2 c x2 (2) a c - nếu 0 thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm a c c - nếu 0 x a a c) đầy đủ: ax2 bx c 0 a 0 Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn b2 4ac ' b'2 ac + Nếu 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt: + Nếu ' 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a + nếu 0 thì pt có nghiệm kép: + nếu ' 0 thì pt có nghiệm kép: b b' x1 x2 x x 2a 1 2 a + nếu 0 thì pt vô nghiệm + nếu ' 0 thì pt vô nghiệm d) Cho pt: ax2 bx c 0 a 0 . Điều kiện để phương trình: - Vô nghiệm: 0 ( ' 0 ) - Nghiệm kép: 0 ( ' 0 ) - Có 2 nghiệm phân biệt: 0 ( ' 0 ) hoặc a.c < 0 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu: P x1.x2 0 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu âm: P x1.x2 0 S x x 0 1 2 ' 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu dương: P x1.x2 0 S x x 0 1 2 ' 0 - Có 2 nghiệm khác dấu: P x1.x2 0 3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng b x1 x2 2 a - Định lý: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của pt ax bx c 0 a 0 thì c x .x 1 2 a GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 - Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét: c + nếu pt ax2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì pt có 2 nghiệm là: x 1; x 1 2 a c + nếu pt ax2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì pt có 2 nghiệm là: x 1; x 1 2 a u v S 2 + nếu thì suy ra u, v là nghiệm của pt: x Sx P 0 (điều kiện để tồn tại u, v là u.v P S 2 4P 0 ) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Phương trình trùng phương. - dạng tổng quát: ax4 bx2 c 0 a 0 - cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x2 t t 0 . Khi đó ta có pt: at 2 bt c 0 (đây là pt bậc hai một ẩn) 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định của pt - Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu - Giải pt vừa nhận được - Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với đk xác định của pt 3. Phương trình tích. A x 0 - dạng tổng quát: A .B 0 - cách giải: A .B 0 x x x x B 0 x 3. Hµm sè y = ax + b (a 0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x 0. + NÕu a 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh. 5. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau  a a' (d) // (d')  a = a' vµ b b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng cong. XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 7. Ph¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän = b2 - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai - NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: nghiÖm ph©n biÖt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm - NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b ' kÐp : x x b 1 2 kÐp: x x 2a 1 2 a NÕu < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: 2 NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 (a 0) th×: b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 - 4P 0) + NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = 1 ; x2 = a NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = -1 ; x2 = a 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. c¸c d¹ng bµi tËp D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) - §a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i: - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A = B  A - B = 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = = B - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = = C A = B B = B1 = B2 = = C - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng. A = B  A' = B'  A" = B"  (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B  Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: - BÊt ®¼ng thøc Cosi: a a a a 1 2 3 n n a .a .a a (víi a .a .a a 0 ) n 1 2 3 n 1 2 3 n DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: a1 a2 a3 an - BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki: Víi mäi sè a1; a2; a3; ; an; b1; b2; b3; bn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn (a1 a2 a3 an )(b1 b2 b3 bn ) a a a a DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: 1 2 3 n b1 b2 b3 bn  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa A > B  A - B > 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp 2 A = A1 = A2 = = B + M > B nÕu M 0 - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) ®óng do ®ã A > B GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B A > B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)  C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i: - Ph¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x2 = a x = a - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã = b2 - 4ac + NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b b x ; x 1 2a 2 2a + NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b x x 1 2 2a + NÕu 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a + NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b ' x x 1 2 a + NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. 2 NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 (a 0) th×: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).  XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng a. Trêng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m. Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 ( ) + NÕu b 0 víi m = m0: ( ) cã mét nghiÖm x = -c/b GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 + NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: ( ) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh + NÕu b = 0 vµ c 0 víi m = m0: ( ) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm b. Trêng hîp a 0: TÝnh hoÆc ' + TÝnh = b2 - 4ac NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b b x ; x 1 2a 2 2a b NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 2a NÕu 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a b ' NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x x 1 2 a NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b 0 2. HoÆc a 0, 0 hoÆc ' 0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: a 0 a 0 a 0 hoÆc hoÆc ' b 0 0 0 Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp. a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp: hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm. a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: hoÆc ' 0 0 Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. a 0 a 0 a 0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: hoÆc hoÆc ' b 0 0 0 GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu: 0 ' 0 c hoÆc c P 0 P 0 a a Bµi to¸n 10 :T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d¬ng: 0 ' 0 c c P 0 hoÆc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m: 0 ' 0 c c P 0 hoÆc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: 2 - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1 + bx1 + c = 0 m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*) x1, x2 P - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = x1 Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 2 2 a. x1 x2  b. x1 x2 k 1 1 2 2 3 3 c. n d. x1 x2 h e. x1 x2 t x1 x2  §iÒu kiÖn chung: 0 hoÆc ' 0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: b x x S (1) 1 2 a c x .x P (2) 1 2 a a. Trêng hîp: x 1  x 2  GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 b x1 x2 Gi¶i hÖ a x1, x2 x1 x2  Thay x1, x2 vµo (2) m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) 2 2 2 b. Trêng hîp: x1 x2 k (x1 x2 ) 2x1 x2 k b c Thay x1 + x2 = S = vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 - 2P = k T×m ®îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) 1 1 c. Trêng hîp: n  x1 x2 nx1.x2  b nc x1 x2 Gi¶i ph¬ng tr×nh - b = nc t×m ®îc m tho¶ m·n (*) 2 2 2 d. Trêng hîp: x1 x2 h  S 2P h 0 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh S2 - 2P - h 0 chän m tho¶ m·n (*) 3 3 3 e. Trêng hîp: x1 x2 t  S 3PS t Gi¶i ph¬ng tr×nh S 3 3PS t chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng.  Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P 0) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc hai sè u vµ v cÇn t×m. Néi dung 6: gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô Bµi to¸n1: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = 0  §Æt t = x2 (t 0) ta cã ph¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x B¶ng tãm t¾t at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m v« nghiÖm nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm 1 nghiÖm d¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau 4 nghiÖm 2 nghiÖm d¬ng 2 cÆp nghiÖm ®èi nhau 1 1 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  §Æt x = t  x2 - tx + 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = (x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x = t gi¶i t×m x. x GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 1 1 Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  §Æt x = t  x2 - tx - 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = (x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x = t gi¶i t×m x. x Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao  Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph¬ng tr×nh tÝch + Ph¬ng tr×nh bËc hai. Néi dung 7: gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ax by c Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a'x b' y c'  C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i: + Ph¬ng ph¸p ®å thÞ + Ph¬ng ph¸p céng + Ph¬ng ph¸p thÕ + Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Néi dung 7: gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng f (x) g(x) (1) g(x) 0 (2)  Ta cã f (x) g(x)  2 f (x) g(x) (3) Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp nghiÖm cña (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng f (x) h(x) g(x)  §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh f (x) 0 h(x) 0 g(x) 0 Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 Néi dung 8: gi¶i ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng f ( x ) g ( x ) g(x) 0 f ( x ) g ( x )  Ph¬ng ph¸p 1:  2 2  f (x) g(x)  Ph¬ng ph¸p 2: XÐt f(x) 0 f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0 - f(x) = g(x)  Ph¬ng ph¸p 3: Víi g(x) 0 ta cã f(x) = g(x) Néi dung 9: gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)  Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = m + [h(x)]2k k Z y m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0  Ph¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.  Ph¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. Néi dung 10: c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè * §iÓm thuéc ®êng - ®êng ®i qua mét ®iÓm Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh cña (C) A (C)  yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA) yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y kh¶o s¸t sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ  To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Bµi to¸n 1: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9  Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) - X¸c ®Þnh a: ta cã a = k - X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB)  Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b yA ax A b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã: yB ax B b Gi¶i hÖ ta t×m ®îc a vµ b suy ra ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y = f(x)  Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®îc b vµ suy ra ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(x A;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y = f(x)  Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b ( ) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b ( ) Tõ ( ) vµ ( ) a vµ b Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D). GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 PhÇn II: HÌNH HỌC A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng. 2 2 b = ab' c = ac' A h2 = b'c' b ah = bc c a2 = b2 + c2 h c' 1 1 1 B b' 2 2 2 h b c H C a 2. TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän. 0 < sin < 1 0 < coss < 1 sin cos tg cot g sin2 + cos2 = 1 cos sin 1 1 tg .cotg = 1 1 tg 2 1 cot g 2 cos2 sin 2 3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng. B b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC a c = a sinC = acosB c c = btgC = bcotg B 4. §êng trßn. A b C - C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn. - T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng : §êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. - Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y. Trong mét ®êng trßn + §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. - Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: Trong mét ®êng trßn: + Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m + Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau + D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n + D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n - Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau: + Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau + Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn: HÖ thøc liªn hÖ VÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung gi÷a d vµ R - §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau 2 d R - VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn: Sè ®iÓm HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d VÞ trÝ t¬ng ®èi chung vµ R - Hai ®êng trßn c¾t nhau 2 R - r R + r + (O) ®ùng (O') 0 OO' < R - r + (O) vµ (O') ®ång t©m OO' = 0 GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 5. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. - DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: + §êng th¼ng vµ ®êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung + Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®êng trßn ®Õn ®êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh + §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã. - TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau A MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: + MA = MB + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB M O + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB - TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn: lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn ®ã: B TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong d d d' O O' O O' d' 6. Gãc víi ®êng trßn Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o A B · » 1. Gãc ë t©m O AOB sd AB A B O 1 2. Gãc néi tiÕp ·AMB sd »AB 2 M x A B 3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn 1 x· BA sd »AB vµ d©y cung. O 2 GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 B A M 1 4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong O ·AMB (sd »AB sdC»D) C ®êng trßn 2 D M D C 5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi 1 ·AMB (sd »AB sdC»D) ®êng trßn O 2 A B  Chó ý: Trong mét ®êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ngîc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2 R = d Rn - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l 180 8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 R2n lR - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: S 360 2 9. C¸c lo¹i ®êng trßn §êng trßn ngo¹i tiÕp §êng trßn néi tiÕp §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c tam gi¸c tam gi¸c A A A B O C O F B E J C B C T©m ®êng trßn lµ giao T©m ®êng trßn lµ giao cña cña ba ®êng trung trùc ba ®êng ph©n gi¸c trong T©m cña ®êng trßn bµng cña tam gi¸c cña tam gi¸c tiÕp trong gãc A lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 cña ®êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C) 10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian. a. H×nh trô. r: b¸n kÝnh - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2 rh Trong ®ã 2 - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 rh + r h: chiÒu cao - ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2h b. H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2 rl r: b¸n kÝnh 2 - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 rl + r Trong ®ã l: ®êng sinh 1 h: chiÒu cao - ThÓ tÝch h×nh trô: V = r2h 3 c. H×nh nãn côt: r1: b¸n kÝnh d¸y lín - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®êng sinh 1 2 2 - ThÓ tÝch: V = h(r r r r ) h: chiÒu cao 3 1 2 1 2 d. H×nh cÇu. - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4 R2 = d R: b¸n kÝnh 4 Trong ®ã - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = R3 d: ®êng kÝnh 3 11. Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc . B. c¸c d¹ng bµi tËp. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn hoÆc hai ®êng b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: + ë vÞ trÝ so le trong + ë vÞ trÝ so le ngoµi + ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng song song song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c. - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. D¹ng 4: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c thêng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc  C¸ch chøng minh: Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB - NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®êng th¼ng th× ph¶i chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB MCE  MFD MA.MB = MC.MD * Trêng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA  MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc . D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R)  C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT  MT t¹i T (O;R) - Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh - Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc  C¸ch tÝnh: - Dùa vµo hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng. - Dùa vµo tû sè lîng gi¸c - Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng - Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch Vấn đề: định nghĩa và sự xác định đường tròn. 1. Tập hợp các điểm cách O cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu: (O; R). 2. Để xác định được đường tròn ta có các cách sau: Biết tâm O và bán kính R. Biết 3 điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn. 3. Cho (O; R) và điểm M. Khi đó có các khả năng sau: Nếu MO > R thì M nằm ngoài đường tròn (O; R). Nếu MO=R thì M nằm trên đường tròn (O;R). Kí hiệu: M (O; R). Nếu MO < R thì M nằm trong đường tròn (O; R). 4. Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung qua tâm. Vậy đường kính là dây cung lớn nhất trong một đường tròn. 5. Muốn c/m các điểm cùng nằm trên (O; R) ta chỉ ra khoảng cách từ mỗi điểm đến O đều là R. Các cách khác sau này xét sau. 6. Đường tròn qua hai điểm A và B có tâm nằm trên trung trực của AB. 7. đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền. Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn. 1. Đường tròn là hình có một tâm đối xứng là tâm đường tròn đó. 2. Đường tròn có vô số trục đối xứng là mỗi đường kính của nó. 3. Đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm và ngược lại. 4. Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. 5. Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 6. Vận dụng các tính chất trên ta có thể tính độ dài các đoạn và c/m các tính chất cũng như so sánh các đoạn thẳng dựa vào đường tròn. Vấn đề: vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng. 2. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khi đó có các trường hợp sau: Nếu d(O;d) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Ta nói đường thẳng và đường tròn ngoài nhau hoặc không cắt nhau. Nếu d(O; d) = OH = R khi đó đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất chính là H. Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến của (O)). Nếu d(O; d) = OH d  OA tại A. A gọi là tiếp điểm. .O DA 3. Nói cách khác : d là tiếp tuyến của (O; R) d(O; d) =R. 4. Ta có tính chất: từ một điểm M nằm ngoài (O; R) ta kẽ được hai tiếp tuyến đến (O; R) tại hai tiếp điểm A và B khi đó MA=MB. 5. Từ một điểm A trên (O; R) ta kẽ được một tiếp tuyến duy nhất, đó là đường thẳng qua A và vuông góc bán kính OA. 6. Từ hai điểm A và B trên (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì MA= MB. A O. M B 7. Ngoài ra ta còn có : MO là phân giác của góc AOB và OM là phân giác góc AOB. 8. Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ một điểm nằm ngoài (O). Ta nối OM. Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) tại hai điểm A và B. Nối MA và MB được hai tiếp tuyến. .Vấn đề: vị trí tương đối của hai đường tròn. 1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) khi đó dựa vào khoảng cách OO’ và R; R’ ta có các khả năng sau: 2. Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thì hai đường tròn này tiếp xúc trong. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 3. Nếu OO’ = R +R’ thì hai đường tròn có một điểm chung và điểm này là giao điểm của OO’ và hai đường tròn. Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 4. Nếu OO’ R+R’ thì hai đường tròn không cắt nhau và ngoài nhau. 6. OO’ hai cung bằng nhau. 4. Dây lớn hơn cung lớn hơn. Vấn đề: góc nội tiếp . 1. Góc nội tiếp của (O) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai điểm phân biệt. 2. Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm trên đương tròn. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 3. Số đo góc nội tiếp chắn cung bằng ½ số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó. Chú ý là cùng một cung. 4. Góc nội tiếp có số đo bằng ½ số đo cung bị chắn. 5. Cùng một cung có thể có nhiều góc nội tiếp thì các góc này đều bằng nhau. 6. Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì là góc vuông 900. 7. Các cung bằng nhau thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng bằng nhau và ngược lại. 8. Cung nào lớn hơn thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng lớn hơn. Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung. 1. Góc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AX gọi là góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung. 2. Số đo của góc này bằng ½ số đo góc ở tâm chắn cung AX. 3. Số đo của góc này bằng ½ số đo cung AX. 4. Số đo góc này cũng bằng số đo một góc nội tiếp bất kỳ chắn cung đó. Vấn đề: góc có đỉnh bên trong – bên ngoài đường tròn. 1. Cho (O) và M trong (O) khi đó có hai đường thẳng cùng qua M tạo thành góc. Góc này là góc bên trong đường tròn. Hai đường thẳng này cắt đường tròn tạo thành các cung. 2. Khi đó số đo góc ở trong đường tròn bằng tổng số đo hai cung này chia hai. A B M CD sd A»B sdC»D A· MB C· MD . 2 3. Cho (O) và M ngoài (O) khi đó góc mà các cạnh của nó luôn tiếp xúc hoặc cắt (O) gọi là góc ngoài đường tròn (O) tại M. Khi đó góc này cũng cắt đường tròn tao thành hai cung; một cung lớn và một cung nhỏ. 4. Số đo góc ngoài bằng sđ cung lớn – cung nhỏ sau đó chia hai. C A C A A M M n m M B D B B sdC»D sd A»B sdC»B sd A»B sd A¼mB sd A¼nB A· MB A· MB A· MB 2 2 2 Vấn đề: cung chứa góc. 1. Cho đoạn thẳng AB cố định khi đó quỹ tích các điểm M sao cho: A· MchoB trước là một cung. Cung này được gọi là cung chứa góc độ nhận AB làm dây. 2. Cho một dây AB và độ khi đó ta có hai cung chứa góc độ nhận AB làm dây và hai cung này đối xứng qua AB. 3. Cách vẽ cung chứa góc độ nhận AB làm dây như sau: Có AB: tại A vẽ tia At tạo AB góc . Tại A vẽ tia Ax  At cắt trung trực AB tại O. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 Vẽ cung tròn (O; OA) ở phía chứa O. Khi đó cung này chính là cung chứa góc nhận AB làm dây. Ta lấy O’ đối xứng O qua AB và vẽ cung tròn (O’; O’A) ta được cung thứ hai. Vấn đề: tứ giác nội tiếp. 1. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn. 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa 4 điểm A; B; C và D cùng nằm trên 1 đường tròn. 3. Tứ giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn gọi là ngoại tiếp tứ giác đó. 4. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tứ giác đó. 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) khi đó OA= OB= OC = OD =R. 6. Chú ý: O có thể nằm ngoài tứ giác; cũng có thể nằm trong hoặc nằm trên một cạnh chứ không phải lúc nào cũng nằm trong. 7. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800. 8. Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 hoặc B+D=1800 thì ABCD nội tiếp. 9. Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: 1. Chỉ ra A+C =1800. 2. Chỉ ra B+D=1800. 3. Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể. 4. Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau. Vấn đề: đa giác đều ngoại tiếp nội tiếp đường tròn. 1. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và góc đều bằng nhau. 2. Đa giác nội tiếp (O) là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên (O). Khi đó đường tròn gọi là ngoại tiếp đa giác. 3. Đa giác ngoại tiếp (O) là đa giác có các cạnh cùng tiếp xúc (O). Khi đó (O) gọi là ngoại tiếp đa giác. 4. Mỗi đa giác đều bất kỳ có một đường tròn ngoại tiếp và 1 đường tròn nôị tiếp và hai đường này đồng tâm. Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc. 5. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= 6. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh. Khoảng cách này gọi là trung đoạn của đa giác. 7. Cho n giác đều cạnh a khi đó: Chu vi của đa giác: 2p= na với p là nửa chu vi (tên thường dùng). 0 Mỗi góc có số đo: A=B= =(n 2).180 . n Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=a .(dùng tỉ số lượng giác). 1800 2sin n GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 Bán kính đường tròn nội tiếp r=a . 1800 2 tan n Ta có: R2-r2 = a2/4. Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r. .Vấn đề: độ dài đường tròn diện tích hình tròn. 1. Đường tròn chỉ là đường biên ngoài còn hình tròn là cả phần trong và biên. 2. Cho (O; R) khi đó độ dài đường tròn chính là chu vi của đường tròn: C= 2R. R.n0 3. Nếu cho cung n0 trên (O; R) thì độ dài cung là: l . Vì cả đường tròn 3600 dài 1800 2R R 2 R nên 10 dài sau đó ta nhân lên. 360 180 4. Diện tích của(O; R) là : S=  R2. 0 5. Trên (O; R) cho cung AB có số đo n khi đó hình quạt OAB có diện tích: Squạt OAB 0 2 n = R .= lab.R/2. 3600 6. Hình viên phân là ta lấy phần quạt rồi bỏ đi tam giác OAB là được viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB. 7. Hình xuyến là hình tạo ra khi có hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Bằng cách lấy đường tròn lớn và bỏ đi đường tròn nhỏ. Phần ở giữa là hình xuyến. 2 2 Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ( R -r ). 8. =3.14 nhưng thường dùng là =3.14. Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. 1. Ta có thể chỉ ra ba điểm tạo thành góc bẹt (1800). 2. Vận dụng tính chất các đường đồng quy. 3. C/m hai tia AB và AC trùng nhau theo tiên đề Ơclit(cùng song song 1 đường). 4. Chỉ ra 3 điểm cùng nằm trên 1 đường nào đó. 5. Có thể chỉ ra AB+BC=AC. Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng bằng nhau. 1. Dùng hai tam giác bằng nhau. 2. Dùng tính chất của tam giác; hình thang cân; hình bình hành; 3. Sử dụng tính chất của đường chéo các hình. Tính chất đường trung bình. 4. Sử dụng tính chất bắc cầu. Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc. 1. Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có 1 góc vuông 900. 2. Cho điểm O và d khi đó có duy nhất một đường thẳng qua O và  d. 3. Cho a//b khi đó nếu c  a thì c  b. 4. Ngoài ra ta còn dùng các tính chất khác như xem hai đường thẳng là hai cạnh của tam giác vuông. Xét các tính chấtấtm giác cân; tam giác vuông; hình thoi, hình chữ nhật; Để c/m hai đường thẳng vuông góc. Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song. 1. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung( không làm được gì). 2. Hai đường thẳng song song khi có đường thẳng cắt qua và tạo các cặp: So le trong bằng nhau. Đồng vị bằng nhau. Các góc trong cùng phía đồng vị. GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 3. Hai đường thẳng cùng vuông góc đường thứ ba thì song song. 4. Hai cạnh đối của hình bình hành thì song song. 5. Tính chất dường trung bình tam giác và hình thang. 6. Các tính chất của các hình khác như hình hộp chữ nhật 7. Tính chất bắc cầu: chỉ ra a//b và b//c thì a//c. Vấn đề: c/m các đường thẳng đồng quy. 1. Các đường thẳng đồng quy là các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm. 2. Ta có thể chỉ ra một điểm O nào đó và c/m các đường thẳng cùng đi qua nó. 3. Ta gọi O là giao điểm hai đường thẳng và chỉ ra đường còn lại cũng qua nó. 4. Ta dùng tính chất các đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để chỉ ra các đường cùng đi qua trung điểm cạnh nào đó. 5. Vận dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác 6. Ta vận dụng định lí Talet đảo về các đoạn song song. Vấn đề: c/m hệ thức hình học. 1. Tức là ta phải đi c/m một đẳng thức đúng từ các dữ kiện đề bài cho. 2. Ta thường dùng các công thức của tam giác vuông nếu trong bài xuất hiện góc vuông. (xem phần trước). 3. Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số bằng nhau và từ tỉ số này ta suy ra đẳng thức cần c/m. 4. Chú ý là có thể sử dụng tính chất bắc cầu trong nhiều tam giác đồng dạng. 5. Vận dụng công thức diện tích và phân tích một hình thành nhiều tam giác và cộng diện tích lại. 6. Sử dụng tam giác bằng nhau để chuyển cạnh khi cần thiết. 7. Dùng các tính chất của đường trung bình ,HBH; đoạn chắn bỡi các đường thẳng // Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp. Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: 1. Chỉ ra A+C =1800. 2. Chỉ ra B+D=1800. 3. Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể. 4. Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau. Vấn đề: tính góc. 1. Để tính góc ta dùng các tính chất về góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ nhau. 2. Các tính chất về góc của tam giác; góc trong và góc ngoài. 3. Vận dụng tính chất tổng các góc tam giác; tứ giác. 4. Vận dụng tính chất phân giác; phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc. 5. Vạn dụng tính chất của góc nội tiếp. 6. Vận dụng tính chất các tam giác đồng dạng. 7. Các tính chất về góc và hai đường thẳng song song. 8. Các tính chất của hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi; II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn : 1. Baát ñaúng thöùc Cauchy: GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 a b Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : ab 2 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2, an ta coù : a a a 1 2 n n a .a a n 1 2 n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 = = an 2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski : Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : (ax by)2 (a2 b2 )(x2 y2 ) Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá (a1,a2 , an ) vaø (b1,b2 , ,bn ) ta coù : 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 anbn ) (a1 a2 an )(b1 b2 bn ) a a a Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi 1 2 n vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng b1 b2 bn baèng 3) Baát ñaúng thöùc cô baûn: 1 1 1 1 a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù: ( ) x y 4 x y Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù: x 2 y 2 2xy Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y III. Baát ñaúng thöùc JENSEN : 1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) 0 x (a;b) (f laø haøm loõm) thì Vôùi moïi x1, x2 , , xn (a;b) ta coù: GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9 f (x ) f (x ) f (x ) x x x 1 2 n f ( 1 2 n ) (n 2) n n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x1 x2 xn Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A B (>, , ) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau: Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS, ) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh II. DiÖn tÝch c¸c h×nh b h h a a a a S a.b 2 S a S 1 ah S 1 ah 2 2 b h E F a h a S 1 ah S 1 (a b)h EF.h 2 2 d2 h d1 a S a.h S 1 d  d 2 1 2 ®©y chØ lµ mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ch¬ng tr×nh to¸n 9 ®Ó «n tËp tèt h¬n c¸c em cÇn ®äc kü tµi liÖu vµ xem thªm s¸ch gi¸o khoa to¸n GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880