Bài ôn tập môn Toán học 9

Nội dung text: Bài ôn tập môn Toán học 9

1. ĐỀ ÔN TẬP. Bài 2. Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 3 0 1 a) Giải phương trình với m 3 . 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thứcx 1 + x2 10 . c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. 1) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 x = 0 x = - 8 2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: ∆’ 0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 1 15 m2 - m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m 2 4 Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m x1 + x2 = 2(m - 1) (1) Theo hệ thức Vi ét ta có: x1 - x2 = - m - 3 (2) 2 2 2 2 Ta có x1 + x2 = 10 (x1 + x2) - 2x1x2 = 10 4 (m - 1) + 2 (m + 3) = 10 m = 0 4m2 - 6m + 10 = 10 2m (2m - 3) = 0 3 m = 2 3) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có: x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Bài 2. Cho phương trình: x2 m 5 x m 6 0 1 a) Giải phương trình với m 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm: x 2 2 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 + x1x2 = 24 x2 m 5 x m 6 0 1 a) Khi m = 1, ta có phương trình : x2 6x 5 0 a b c 1 6 5 0 c x 1; x = 5 1 2 a b) Phương trình (1) có nghiệm : x 2 nên: 2 2 m 5  2 m 6 0 4 2m 10 m 6 0 m 20 2 c) m 5 4 m 6 m2 10m 25 4m 24 m2 14m 1
2. Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: 2 2 x1 x2 x1x2 24 x1x2 (x1 x2 ) 24 ( m 6)(m 5) 24 m2 m 6 0 m 3; m 2. Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Bài 2. Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 1; b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m; c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 x2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được: – y = – 2 y = 2 Thay y = 2 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: x = 4 – 2 = 2. x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm: y 2 Với m = 1, phương trình trở thành: x2 – 4x + 2 = 0 ' = 2. Phương trình có hai nghiệm: x1 = 2 + 2 ; x2 = 2 – 2 . Ta có: ' = [– (m + 1)]2 – 2m = m2 + 1 > 0, với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m Theo hệ thức Vi-ét: x1 + x2 = 2(m + 1); x1. x2 = 2m Theo đầu bài ta cần có x1, x2 là hai nghiệm không âm. Hay: x1 x2 0 2(m 1) 0 m 1 m 0 (*) x1x2 0 2m 0 m 0 Ta có x x1 x2 2 1 + x2 + 2 x1x2 2 2m + 2 + 22m = 2 m = 0 (thỏa mãn (*)) m 1 x y m Bài 2. Cho hệ phương trình: x m 1 y 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 – 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên. x y HƯỚNG DẪN GIẢI. m 1 x y m Thay m = 3 vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở x m 1 y 2 thành 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 3x 4 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 x 2y 2
3. 4 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y 3 3 3 3 4 1 Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ; 3 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m 1 Xét hệ phương trình x m 1 y 2 2 2 x y Từ phương trình 2 x my y 2 my 2 x y m y 2 x y thay m vào phương trình 1 ta có phương trình: y 2 x y 2 x y 2 x y y 2 x y 1 x y .x y y y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2x x2 y2 2 x y x2 y2 3x y 2 0 Vậy x2 y2 3x y 2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. m 1 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 m 1 x x m. m 1 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. m 2 x m 1 m 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 x m 2m m 1 m 1 y m m 1 m 1 x x m m m 1 1 m 1 y y m m m 1 1 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = ; m m +) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 2 1 m m m m
4. 2m2 4m 2 7m m2 m2 3m 2 0 m 2 . m 1 0 m 2 0 m 2 m 1 0 m 1 Vậy với m = 2 hoặc m = 1 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y c) Thay x ; y vào biểu thức A = ta được biểu thức m m x y m 1 1 2m 2 3 2. 3. m m 2m 1 m 2 2m 1 A = = m = : = = m 1 1 m 1 1 m m m 2 m m m 2 m 2 5 m 2 2 m 2 5 5 = = 2 m 2 m 2 m 2 2x 3y Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên x y 5 5 2 nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên m 2 m 2 5 m 2 (m+2) là ước của 5. Mà Ư(5) = 1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 1 ; m 2 Vậy với các giá trị m = -1; m = -3; m = -7; 2x 3y m = 3 thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. x y