Hướng dẫn ôn tập Toán Lớp 9 – Học kì II - Năm học 2010 – 2011

Nội dung text: Hướng dẫn ôn tập Toán Lớp 9 – Học kì II - Năm học 2010 – 2011

1. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN LỚP 9 – HỌC KÌ II ( 2010 – 2011) I. LÝ THUYẾT: ĐẠI SỐ: Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a 0). Viết Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình công thức tính ngiệm của phương trình trên . bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn Áp dụng : Giải phương trình x 2 3 x 2 0 . có thể có bao nhiêu nghiệm? * = b2 – 4ac *Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ Nếu > 0 , pt có 2 nghiệm phân biệt: thức dạng ax by c ,Trong đó a,b và c là các số đã biết ( a 0 hoặc b 0 ).Phương b b x1= ; x2 = trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số 2a 2a nghiệm. b Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai Nếu = 0, pt có nghiệm kép:x1= x2 = phương trình bậc nhất hai ẩn số. 2a * Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có Nếu 0. a và c trái dấu nên phương trình nhau. có hai nghiệm phân biệt b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô b 4 c 3 nghiệm thì luôn tương đương với nhau. x 1 x 2 ; x 1 .x 2 * Hai hệ phương trình được gọi là tương a 5 a 5 Câu 8: Cho phương trình : 2 (a 0) có hai đương với nhau nếu chúng có cùng tập ax bx c 0 b c nghiệm. nghiệm x1 và x2 .Ch/minh S x x ; P x x 1 2 a 1 2 a a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với - b + D - b - D x1 = ;x 2 = nhau. ( s ) 2a 2a b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô - b + D - b - D - 2b a Þ x + x = + = = ; nghiệm thì luôn tương đương với nhau.( Đ) 1 2 2a 2a 2a b Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình - b + D - b - D b 2 - b 2 + 4ac c bậc hai .Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của x 1.x 2 = . = = 2a 2a 4a2 a phương trình 3 x 2 3 x 1 0 *Dạng tổng quát của phương trình bậc hai Câu9 :Phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là S và ax2 + bx+ c = 0 (a 0) tích hai nghịêm là P có dạng : X2 - SX + P = 0 Áp dụng : Áp dụng : 3x 2 3x 1 0(a 3;b 3;c 1) Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 1
2. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 nghiệm có tổng là S và có tích là P (không S = 2 + 2 + 2 - 2 = 4;P = (2 + 2).(2 - 2) = 4 - 2 = 2 cần chứng minh ) Vaäy 2+ 2 vaø 2- 2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai 2 nghiệm là:2 2 và 2 2 X - 4X + 2 = 0 Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax2 (a 0) Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn Cho đường tròn (O) bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng C D CD: dây cung GT nhau” AB: đường kính A B AB // CD Cho đường O B tròn (O) C GT KL »AC B»D »AB C»D KL A Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ O AB = CD D và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON sao cho:·AOM 400 , B· ON 800 . So sánh: Ta có: »AB C»D ( GT) AM, MN và NB ? ·AOB C· OD ( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau ) N Cho đường tròn (O) M GT Nên : VAOB VCOD ( c.g.c) M,N (O): · 0 · 0 AB = CD (đpcm) A B AOM 40 , BON 80 O KL So sánh: AM, MN, Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong BN? một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho·AMO 400 . Ta có: Tính số đo cung BM ? M· ON 1800 ·AOM B· ON ( vì ·AOB 1800 ) M· ON 1800 400 800 Cho đường tròn ·AOM M· ON N· OB M (O) ¼ ¼ » GT AB: Đường kính A M M N N B Dây AM sao cho: ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn) · 0 AM < MN < NB A B AMO 40 O KL ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn) Tính B· OM ? Câu 5: Chứng minh đlí:“ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 ”. Ta có: OA = OB ( bán kính) Cho đường tròn VAOM cân tại O (O) B· OM = 2·AMO 2.400 =800 GT . ABCD nội tiếp ( đlí về góc ngoài AOM) (O) Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 2
3. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 B µ µ 0 cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. A KL A C 180 (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: µ µ 0 một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả B D 180 đường tròn) O Ta có: ·AOC O· CD ( So le trong) D C B· OD O· DC ( So le trong) Mà O· CD O· DC ( VOCD cân tại O) µ 1 ¼ · · » » Ta có: A sđ BCD ( Đlí về góc nội tiếp) AOC BOD AC BD 2 ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng 1 Cµ sđ B¼(ĐlíAD về góc nội tiếp) nhau) 2 Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường 1 1 µA Cµ sđ( B¼CD B¼AD ) = .3600 =1800 tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của 2 2 cung bị chắn( Chỉ chứng minh một trường hợp: có Tương tự: Bµ Dµ 1800 ( hoặc Bµ Dµ 3600 1800 1800 một cạnh của góc đi qua tâm ) GT : Cho (O ; R) ( tính chất tổng 4 góc của tứ giác) · Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở BAC lµ gãc néi tiÕp . bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị 1 KL : chøng minh B· AC s® B»C chắn”. 2 Cho đường tròn (O) Chøng minh: Tr­êng hîp: T©m O n»m trªn 1 m A D GT B· EC : góc có đỉnh bên trong(O) · c¹nh cña gãc BAC : E Ta cã: OA=OB = R AOB c©n t¹i O KL 1 O B· EC = sđ( B¼nC ¼AmD 1 1 C B· AC = B· OC B· AC s® B»C (®pcm) 2 2 2 B Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo n bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của Xét tam giác BDE, ta có: cung bị chắn”. B· EC = Bµ Dµ ( định lí góc ngoài của tam giác BDE) ( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của 1 Mà Bµ sđ ¼AmD (Đlí về góc nội tiếp ) đường tròn nằm ở ngoài của góc). 2 · 1 T©m O n»m bªn ngoµi gãc BAx : Dµ sđ B¼nC (Đlí về góc nội tiếp ) 2 Cho đường tròn (O) 1 Nên: B· EC = sđ(+¼AmD B¼nC GT x· AB : góc tạo bởi tia tiếp tuyến 2 O B Và dây cung. KL 1 Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn H x· AB = sđ »AB 2 (O). A x Chứng minh: AB + CD = AD + BC. VÏ ®­êng cao OH cña AOB c©n t¹i O ta cã: B A M Cho đường tròn (O) B· Ax ·AOH (1) (Hai gãc cïng phô víi O· AH ) Q N GT ABCD ngoại tiếp 1 đường tròn (O) Mµ: ·AOH = s® A»B (2) O 2 KL 1 D · » C AB+CD = AD+BC Tõ (1) vµ (2) BAx s® AB (®pcm) P 2 Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0 của hình quạt Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau) tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R BM = BN ( nt ) Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 3
4. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 = 3 cm). DP = DQ ( nt ) Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600 ? CP = CN ( nt ) Cộng từng vế, ta có: Cho đường tròn AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN B GT (O; R = 3cm) Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm) Sđ »AB 600 A O KL Tính độ dài »AB Rn Ta có:l Với:R = 3cm và n = sđ »AB 600 »AB 180 .3.60 ( gt) Vậy: l (cm) »AB 180 II.BÀI TẬP: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 3x 2y 1 3x 2y 1 5x 5 x 1 x 1 a/ x y 3 2x 2y 6 x y 3 1 y 3 y 2 3x 5y 1 3x 5y 1 7x 21 x 3 x 3 b/ 2x y 4 10x 5y 20 2x y 4 2.( 3) y 4 y 2 x 0 x 0 4x 3y 15 8x 6y 30 x 0 c/ 3x 2y 20 3.0 2y 10 3x 2y 10 9x 6y 30 y 5 3 x y 5 9 x 3 y 15 11 x 33 x 3 x 3 x 9 d/ y 16 2 x 3 y 18 2 x 3 y 18 2 x 3 y 18 2.3 3 y 18 y 4 1 1 5 x y 8 2 e/ Cộng từng vế hai phương trình ta được: 1 x 2 1 1 3 x x y 8 1 1 5 1 5 1 1 1 Thay x 2 vào được: y 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8) x y 8 y 8 2 y 8 2 1 1 x y 2x y x y 1 1 f/ Đặt a ;b Điều kiện y 1 5 2x y x y x 6 2 x y 2x y 2a b 1 a 1 Ta có hệ phương trình Giải ra ta được 5a b 6 b 1 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 4
5. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 1 2 2 1 x x 2x y 2x y 1 3 3 Giải hệ phương trình ( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)= 1 x y 1 1 1 1 y y x y 3 3 5(x 2y) 3x 1 5x 10y 3x 1 2x 10y 1 2x 10y 1 h/ 2x 4 3(x 5y) 12 2x 4 3x 15y 12 x 15y 16 2x 30y 32 33 y x 15y 16 40 29 33 Vậy (x; y) ( ; ) 40y 33 29 8 40 x 8 Bài 2: 2ax by 12 Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình Có nghiệm là (x 2; y 1) ax 2by 6 mx 3y 1 Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm. x ny 2 2ax by 12 Giải câu 1: Do (x 2; y 1) là nghiệm của hệ phương trình ax 2by 6 9 9 a a 4a b 12 4a b 12 5a 9 5 5 Nên 2a 2b 6 a b 3 a b 3 9 24 b 3 b 5 5 mx 3y 1 Câu 2: Do (x 2; y 3) là nghiệm của hệ phương trình x ny 2 2m 3.3 1 2m 9 1 2m 8 m 4 Nên 2 3n 2 2 3n 2 3n 0 n 0 Bài 3: mx 3y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: . Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 4x 6y 9 x 2y 5 Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm. ax 3y a x 3y m Câu 3: Cho hệ phương trình Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm. 2x 6y 8 Giải mx 3y 5 m 3 3.4 Câu 1: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất m m 2 4x 6y 9 4 6 6 x 2y 5 1 2 3.1 3 Câu 2: a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất a a ax 3y a a 3 2 2 1 2 5 3 b/ Hệ phương trình vô nghiệm a a 3 a 2 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 5
6. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 x 3y m 1 3 1 m Câu 3: .Ta có .Nếu m 4 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. 2x 6y 8 2 6 2 8 1 m Nếu m 4 thì hệ phương trình vô nghiệm. 2 8 Bài 4: Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9) Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y x và y 2x 1 Giải Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 2a b 4 2a b 4 7a 0 a 0 Và qua B(-5 ; 4) nên 5a b 4 Ta có hệ pt Vậy y 4 5a b 4 2a b 4 b 4 b/ Vì đường thẳng y ax b qua A(3 ; -1) nên 3a b 1 Và qua B(-2 ; 9) nên 2a b 9 3a b 1 5a 10 a 2 a 2 Ta có hệ phương trình Vậy y 2x 5 2a b 9 2a b 9 2( 2) b 9 b 5 Câu 2: .Xác định giao điểm B của hai đường thẳng : y x và y 2x 1 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng: x 2x 1 x 1 y 1 Vậy B(1 ; -1) .Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được y 2x 3 Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d) a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1. b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng . c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) Giải ïì A Î (P ) ïì y = x 2 a/ íï Û íï A A Û A (1;- 1),A Î (d ) Û - 1 = - 2.1+ m Û m = 1 ï x = 1 ï îï A îï x A = 1 b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x2 x 0 -3/2 y=-2x-3 -3 0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 éx = - 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :- x 2 = - 2x - 3 Û x 2 - 2x - 3 = 0 Û ê ëêx = 3 Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9) c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :- x2 = - 2x + m Û x2 - 2m + m = 0 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 6
7. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D ' = 1- m > 0 Û m 1 2 a / 3x2 75 0;b / x2 384 0;c / x(x 15) 3(27 5x) Bài 6: Giải phương trình : 3 d / x(2x 7) 12 4(3 x);e /(3x 2)2 2(x 1)2 2 Giải : 1/ 3x 2 + 75 = 0;3x 2 + 75 > 0" x Nên phương trình vô nghiệm. 2 é x = 24 x2 - 384 = 0 Û 2x2 = 1152 Û x2 = 576 Û ê 1 2/ ê 3 ë x2 = - 24 éx = 9 3/ x (x - 15) = 3(27- 5x );Û x 2 = 81 Û ê 1 ê ëx 2 = - 9 éx = 0 4/ x (2x - 7)- 12 = - 4(3- x ) Û 2x 2 - 7x - 12 = - 12 + 4x Û 2x 2 - 11x = 0 Û x (x - 11) = 0 Û ê 1 ê ëx 2 = 11 5/ é x 1 = 0 2 2 2 2 2 ê (3x - 2) - 2(x - 1) = 2 Û 9x - 12x + 4 - 2x + 4x - 2 = 2 Û 7x - 8x = 0 Û x (7x - 8) = 0 Û ê 8 êx = ëê 2 7 Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn ) 1/ x2 5x 14;2 / 3x2 10x 80 0;3/ 25x2 20x 4 0 2 2 Giải : 1/ x 5x 14 Û x + 5x - 14 = 0(a = 1;b = 5;c = - 14);D = 25 + 56 = 81> 0 Þ x 1 = 2;x 2 = - 7 2/ 3x2 10x 80 0 (a 3;b 10;c 80) ;D ' = 25-240 = -215 0 Û 9m2 > 0 Û m ¹ 0 c/ 25 x2 + mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);D = m2 -4.25.2= m2 -200 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 7
8. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 ém = 2 ê 1 10 2 Để phương trình có nghiệm kép thì D =0 Û m - 200 = 0 Û ê ëêm2 = - 10 2 Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1) 1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m . 2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại . 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau 5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ; 2 2 6/ Tìm m để x1 x2 đạt gía trị lớn nhất 7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ; 8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m. 3 3 9/ Tính x1 x2 Giải: 1/ x2 + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m) D =(m+1)2 -4.1.m= (m+1)2³ 0 với mọi m 2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)2 +(m+1)(-2) + m = 0 4-2m-2+ m = 0Û m = 2 c x .x = = m Û - 2.x = 2 Û x = - 1 1 2 a 2 2 3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau Û x1 +x2 =0Û -(m+1) = 0Û m = -1 4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau Û x1 x2=1Û m = 1 5/Theo hệ thức Vi-et 6/Theo hệ thức Vi-et ì + = - + ì ï x1 x2 (m 1)(1) ï x1 + x2 = - (m + 1)(1) í íï ï x .x = m(2) ï îï 1. 2 îï x1 x2 = m(2) x - x = 2 2 2 2 1 2 x 1 + x 2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 2 2 2 2 Û (x1 - x2 ) = 4 Û (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 4 = m + 2m + 1- 2m = m + 1³ 1 Û m2 + 2m + 1- 4m = 4 Û m2 - 2m - 3 = 0 Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0 ém = - 1 Vậy : GTNN là 1 khi m=0 Û ê ëêm = 3 Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì x1 x2 2 ì 2 ïì D ³ 0 ï (m- 1) ³ 0 ïì m ³ 1 ï ï ï 7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương Û íï P > 0 Û íï m > 0 Û íï m > 0 ï ï ï îï S > 0 îï - (m + 1)> 0 îï m < - 1 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm đều dương 8/Ta có 9/Ta có ïì x + x = - (m + 1) ïì x + x = - m - 1 x 3 + x 3 = (x + x )(x 2 - x x + x 2 ) íï 1 2 Û íï 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ï x .x = m ï x .x = m 3 3 2 îï 1 2 îï 1 2 Û x 1 + x 2 = (- m - 1)(m + 1- m ) Þ x + x + x .x = - 1 3 3 2 1 2 1 2 Û x 1 + x 2 = - (m + 1)(m - m + 1) Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m 3 3 3 Û x 1 + x 2 = - (m + 1) Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 8
9. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 15 1 1 Bài 10: Giải phương trình :1/ x 2;2 / 1;3/ 2x4 7x2 4 0;4 / x5 x3 x2 1 0 x x 1 x 1 1/ 3/ 2x4 - 7x2 – 4 = 0 15 Đặt t = x 2 ³ 0 .Ta có phương trình : x - = 2(x ¹ 0) x 2 é 2t - 7t - 4 = 0;D = 49- 4.2(- 4) = 49 + 32 = 81 2 2 x = - 3 Û x - 15 = 2x Û x - 2x - 15 = 0 Û ê 7 + 9 7- 9 - 2 - 1 ëêx = 5 t = = 4(tmñk )t = = = (ktñk ) 1 4 2 4 4 2 (Thỏa điều kiện) é x 1 = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5 Þ x 2 = 4 Û ê ê 2/ ëx 2 = - 2 1 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 - = 1(x ¹ ± 1) 1 x + 1 x - 1 và x2 = -2 5 3 2 Þ x - 1- (x + 1) = x 2 - 1 Û x - 1- x - 1 = x 2 - 1 x - x - x + 1 = 0 3 2 2 2 3 Û x 2 = - 1 4/ Û x (x - 1)- (x - 1) = 0 Û (x - 1)(x - 1) = 0 Vậy phương trình vô nghiệm . éx = 1 éx 2 - 1 = 0 éx 2 = 1 ê Û ê Û ê Û êx = - 1 ê 3 ê 3 ê ëx - 1 = 0 ëx = 1 ê ëx = 1 Vậy nghiệm của phương trình là x1 1; x2 1 II.BÀI TẬP: Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh : a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn. b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành. c/. Tích CM.CN không đổi. C d Cho đường tròn(O;R) AB, CD: đường kính, AB  CD tại O. A B GT M AB, CM cắt (O) tại N x O Đường thẳng d  AB tại M N Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P P D a/. OMNP nội tiếp được 1 đường tròn KL b/. CMPO là hình bình hành c/. CM.CN không đổi. a/. Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn: Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 9
10. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 Ta có: O· MP 900 ( d  AB)Và O· NP 900 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) O· MP O· NP Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi). b/. Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành: 1 Ta có: ·AMC sđ »AC B»N ( Định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn(O)) 2 1 và C· Nx sđ B»C B»N ( Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và 1 dây cung) 2 mà sđ »AC = sđ B»C =900 ( do AB  CD) Do đó: ·AMC = C· Nx (1) Ta lại có: C· Nx = M· OP ( cùng bù với M· NP ) (2) Từ (1), (2) ·AMC = M· OP Mà ·AMC , M· OP ở vị trí so le trong. =>: CM // OP (3) Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4) Từ (3), (4) CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) c/. Chứng minh tích CM.CN không đổi: Ta có: C· ND 900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) CM CO Nên ta chứng minh được: VOMC : VNDC (g.g) CD CN Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R2 Mà R không đổi 2R2 không đổi Nên: CM.CN không đổi (đpcm) Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. a/. Chứng minh: DI  BC. b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn. c/. Giả sử ·AMB 450 .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM. D Cho đường tròn (O), đường kính : BC = 2R GT A (O): BA = R; M cung AC nhỏ. A M BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D. · 0 I ABM 45 : (c) B C O a/. DI  BC KL b/. AIMD nội tiếp (O) c/. Tính độ dài AC và SquatAOM ? a/. Chứng minh : DI  BC: Ta có: B· AC 900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 10
11. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 CA  BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (1) Và B· MC 900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) BM  CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (2) Từ (1), (2) I là trực tâm của tam giác BDC DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC Nên DI  BC b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn: Ta có: I·AD 900 ( CA  BD ) Và I·MD 900 ( BM  CD I·AD + I·MD 900 +900 1800 Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn. ( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 1800 ) c/. Tính độ dài AD. Diện tích hình quạt AOM: *Tính AD: Nếu ·ABM 450 thì VABI vuông cân tại A ( Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 450 ) AB = AI = R Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: ·ADI ·AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI ) 1 1 Mà ·AMI sđ »AB = .600 300 ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và VAOB đều) 2 2 Nên: ·ADI 300 Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều. ID = 2R Lúc đó: AD = ID2 AI 2 3R2 R 3 (đvđd) * Tính diện tích hình quạt AOM: R2n Ta có: S = , với n = ·AOM 2.·ABM 900 quatAOM 360 R2.90 R2 Nên: S = (đvdt) quatAOM 360 4 Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C). a/. Chứng minh : OF  AB. b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F. c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng. Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 11
12. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 C Cho đường tròn (O), đường kính AB C (O): CA>CB D tia đối của tia BC: ACDE là hình A O B vuông. GT D CE cắt (O) tại F CF cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M: (c) F E a/. OF  AB M KL b/. Tam giác BDF cân tại F. c/. D, E, M thẳng hàng. a/. Chứng minh: OF  AB Ta có: ·ACF B· CF 450 ( Tính chất của đường chéo hình vuông) »AF B»F ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau) AF = BF VAFB cân tại F Mà O là trung điểm của AB FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO  AB b/. Chứng minh tam giác BDF cân tại F: F đường chéo CE của hình vuông ACDE FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1) Mà: FA = BF ( cmt) FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân tại F c/. Chứng minh: D, E, M thẳng hàng: Xét tam giác ABM, ta có: O là trung điểm của AB Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB) F là trung điểm của B FM = FB (3) Từ (1),(2),(3) FA = FB = FD = FM ABDM là tứ giác nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 4 đỉnh cách đều F) B· AM B· DM 1800 Mà B· AM 900 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) B· DM 900 DM  BD (4) Ta lại có: DE  BD ( do B· DE 900 ) (5) Từ (4),(5) DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng. ( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh D· EM 1800 bằng cách xét:VAEM và VACB ) Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 12
13. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q. a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng. b/. Chứng minh: MA  PQ. c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn. A Cho VABC vuông tại A AM: trung tuyến, AH: đường cao Q GT I Đường tròn (H; HA) cắt AB tại P và B C H M AC tại Q P a/. Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng. KL b/. MA  PQ c/. BPCQ nội tiếp được đường tròn. a/. Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng: Ta có: P· AQ 900 (GT) Mà P· AQ là góc nội tiếp P· AQ chắn cung nửa đường tròn PQ là đường kính của đường tròn tâm H P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm) b/. Chứng minh: MA  PQ: Gọi I là giao điểm của AM và PQ Ta có: Cµ M· AC ( Tam giác MAC cân tại M) Mà Cµ H· AC 900 ( Tam giác AHC vuông tại H) Và H· AC ·AQH ( Tam giác AHQ cân tại H) M· AC ·AQH 900 Nên: Tam giác AIQ vuông tại I Hay PQ vuông góc với AM tại I c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn: Ta có: Cµ B· AH ( cùng phụ với)C· AH mà Pµ B· AH ( Tam giác AHP cân tại H) Cµ Pµ Tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi) Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 13
14. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q. a/. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn. b/. Chứng minh : PQ // AB. c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC. C Cho đường tròn (O) E AB, CD là 2 đường kính:AB CD tại O GT P Q AE cắt OC tại P ( P: trung điểm OC) ED cắt BC tại Q A B O a/. CPQE nội tiếp được 1 đường tròn KL b/. PQ // AB c/ So sánh SCPQ và SABC ? D a/. Chứng minh: CPQE nội tiếp được 1 đường tròn: Ta có: P· CQ chắn cung BD P· EQ chắn cung AD Mà: B»D »AD ( do B· OD ·AOD 900 ) Nên: P· CQ = P· EQ Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn. ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi) b/. Chứng minh: PQ // AB: Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn (cmt) C· EP C· QP ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP) Ta lại có: C· EP = Bµ ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn(O)) C· QP Bµ Mà C· QP, Bµ ở vị trí đồng vị Nên: PQ // AB c/. So sánh SCPQ và SABC ? Ta có: P là trung điểm OC (GT) Mà PQ // AB (cmt) Q là trung điểm của BC Nên: PQ là đường trung bình của tam giác BOC 1 S = S CPQ 4 BOC Mà CO là trung tuyến của tam giác ABC 1 1 1 1 S = S Do đó: S = .S = S BOC 2 ABC CPQ 4 2 ABC 8 ABC Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 14
15. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 ĐẠI SỐ I. LÍ THUYẾT: Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số. Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương. Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai: a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau. b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai . Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình 3x2 3x 1 0 Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a 0). Viết công thức tính ngiệm của phương trình trên . Áp dụng : Giải phương trình x2 3x 2 0 . 2 Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng : 5x 4x 3 0 .Tính x1+ x2 và x1 x2 2 Câu 8: Cho phương trình : ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 .Chứng minh : b c S x x ; P x x 1 2 a 1 2 a Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không cần chứng minh ) Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2 và 2 2 Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax2 (a 0) II. BÀI TẬP Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 3x 2y 1 3x 5y 1 4x 3y 15 3 x y 5 a/ b/ c/ d/ x y 3 2x y 4 3x 2y 10 2 x 3 y 18 1 1 5 2 1 1 x y 8 2x y x y 5(x 2y) 3x 1 e/ f/ h/ 1 1 3 1 5 2x 4 3(x 5y) 12 6 x y 8 x y 2x y Bài 2: 2ax by 12 Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình Có nghiệm là (x 2; y 1) ax 2by 6 mx 3y 1 Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm. x ny 2 Bài 3: mx 3y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: . Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 4x 6y 9 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 15
16. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 x 2y 5 Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình ax 3y a a/ Có một nghiệm duy nhất b/ Vô nghiệm. x 3y m Câu 3: Cho hệ phương trình Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm. 2x 6y 8 Bài 4: Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9) Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y x và y 2x 1 Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d) a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1. b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng . c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) Bài 6: Giải phương trình : 2 a / 3x2 75 0;b / x2 384 0;c / x(x 15) 3(27 5x) 3 d / x(2x 7) 12 4(3 x);e /(3x 2)2 2(x 1)2 2 Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn ) 1/ x2 5x 14;2 / 3x2 10x 80 0;3/ 25x2 20x 4 0 Bài 8:Định m để phương trình : a/ 3x2 2x m 0 voâ nghieäm b/ 2x2 mx m2 0 co ù 2 nghieäm phaân bieät c/ 25x2 +mx + 2 = 0 coù nghieäm keùp Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1) 1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m . 2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại . 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau 5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ; 2 2 6/ Tìm m để x1 x2 đạt gía trị lớn nhất 7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ; 8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m. 3 3 9/ Tính x1 x2 Bài 10: Giải phương trình 15 1/ x 2 x 1 1 2 / 1 x 1 x 1 3/ 2x 4 7x 2 4 0 4 / x 5 x 3 x 2 1 0 Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 16
17. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 HÌNH HỌC I. LÍ THUYẾT: Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau” Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho·AMO 400 . Tính số đo cung BM ? Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn) Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON saocho: ·AOM 400 , B· ON 800 . So sánh: AM, MN và NB ? Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 ”. Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”. ( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ). Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở ngoài của góc). Câu 8: Chứng minh định lí: “ Sđ của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng sđ hai cung bị chắn”. Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0 của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600 ? Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: AB + CD = AD + BC. II. BÀI TẬP: Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh : a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn. b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành. c/. Tích CM.CN không đổi. Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. a/. Chứng minh: DI  BC. b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn. c/. Giả sử ·AMB 450 .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM. Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C). a/. Chứng minh : OF  AB. b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F. c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q. Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 17
18. Tài liệu ôn thi học kì II- Toán 9 a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng. b/. Chứng minh: MA  PQ. c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn. Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q. a/. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn. b/. Chứng minh : PQ // AB. c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC. Giáo viên : Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 18