Kế hoạch và giáo án ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Vương Thị Mỹ Hòa

123 trang dichphong 6200

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kế hoạch và giáo án ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Vương Thị Mỹ Hòa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ke_hoach_va_giao_an_on_thi_vao_lop_10_mon_toan_nam_hoc_2017.doc

Nội dung text: Kế hoạch và giáo án ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Vương Thị Mỹ Hòa

Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 4) BÊt ®¼ng thøc Trª- B-SÐp: a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c DÊu b»ng x¶y ra khi A B C Bài 6: Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: x y 2 4xy Tacã a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c VËy a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Bài 7: Cho a>b>c>0 vµ a 2 b 2 c 2 1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1 b c a c a b 2 Gi¶i: 2 2 2 a b c Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö a b c a b c b c a c a b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b 2 . c 2 . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Gi¶i: Ta cã a 2 b 2 2ab c 2 d 2 2cd 1 Do abcd =1 nªn cd = ab 1 Ta cã a 2 b 2 c 2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab MÆt kh¸c: a b c b c d d c a =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) ĐT liên hệ: 59 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc Bài 9: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Gi¶i: Ta có: a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski Tacã ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Bài 10: Chøng minh r»ng a 2 b 2 c 2 ab bc ac Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã: 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a d 1 (1) a b c a b c a b c d a a MÆt kh¸c : (2) a b c a b c d Tõ (1) vµ (2) ta cã a a a d < < (3) a b c d a b c a b c d T¬ng tù ta cã b b b a (4) a b c d b c d a b c d c c b c (5) a b c d c d a a b c d d d d c (6) a b c d d a b a b c d céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã ĐT liên hệ: 60 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An a b c d 1 2 ®iÒu ph¶i chøng minh a b c b c d c d a d a b Bài 11: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2 (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0 a b c a2 a(b c) 2 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2+b2+c2 b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0 c > a-b c2 c2 (a b)2 0 Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®îc a 2b 2 c 2 a 2 b c 2 b 2 c a 2 c 2 a b 2  a 2b 2 c 2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b a b c 3 Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng (1) b c c a a b 2 Gi¶i : y z x z x y x y z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b = ; c = 2 2 2 y z x z x y x y z 3 ta cã (1) 2x 2y 2z 2 y z x z x y 1 1 1 3 x x y y z z y x z x z y ( ) ( ) ( ) 6 x y x z y z y x z x z y BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng v× ( 2; 2 ; 2 nªn ta cã ®iÒu ph¶i x y x z y z chøng minh Bài 13: Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c 0 x y z ĐT liên hệ: 61 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã x y z 3.3 xyz 1 1 1 1 3. . 3 x y z xyz 1 1 1 x y z . 9 x y z Mµ x+y+z y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 2 x2 y 2 8 x y 2 Gi¶i : Ta cã x2 y 2 x y 2 2xy x y 2 2 (v× xy = 1) 2 x2 y 2 x y 4 4. x y 2 4 Do ®ã B§T cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi x y 4 4 x y 2 4 8. x y 2 x y 4 4 x y 2 4 0 2  x y 2 2 0 B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bài 15: Cho xy 1 .Chøng minh r»ng 1 1 2 1 x2 1 y 2 1 xy Gi¶i : 1 1 2 Ta cã 1 x2 1 y 2 1 xy 1 1 1 1 0 2 2 2 1 x 1 y 1 y 1 xy xy x2 xy y 2 0 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy x(y x) y(x y) 0 1 x2 . 1 xy 1 y 2 . 1 xy y x 2 xy 1 0 1 x2 . 1 y 2 . 1 xy B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bài 16: a. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 1 Chøng minh r»ng a2 b2 c2 3 b. Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng 1 1 1 Chøng minh r»ng a b c . 9 a b c Gi¶i : ĐT liên hệ: 62 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An a. ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã 1.a 1.b 1.c 2 1 1 1 . a2 b2 c2 a b c 2 3. a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 3 1 1 1 b. a b c . 9 a b c a a b b c c 1 1 1 9 b c a c a a a b a c b c 3 9 b a c a c b x y ¸p dông B§T phô 2 Víi x,y > 0 y x Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng 1 1 1 VËy a b c . 9 (®pcm) a b c Bài 17: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Vµ x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 Bài 18: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 Gi¶i : V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z 33 xyz 1 1 3 xyz xyz 3 27 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 2 33 x y . y z . z x 1 DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= 3 ĐT liên hệ: 63 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 8 1 8 VËy S . 27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x=y=z= 729 3 Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 y4 z4 Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) 2 Ta cã xy yz zx 2 x2 y2 z2 2 1 x2 y2 z2 (1) Ap dông B§T Bunhiacèpski cho (x2 , y2 , z2 ) vµ (1,1,1) (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 )(x4 y4 z4 ) Ta cã (x2 y2 z2 )2 3(x4 y4 z4 ) Tõ (1) vµ (2) 1 3(x4 y4 z4 ) 1 x4 y4 z4 3 1 3 VËy x4 y4 z4 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x=y=z= 3 3 Bµi 20: T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 x2 y2 z2 xy 3y 2z 3 0 2 2 2 y 3y 2 x xy 3y 3 z 2z 1 0 4 4 2 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 (*) 2 2 2 2 y y 2 Mµ x 3 1 z 1 0 x, y R 2 2 2 2 y y 2 x 3 1 z 1 0 2 2 y x 0 2 x 1 y 1 0 y 2 2 z 1 z 1 0 ĐT liên hệ: 64 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An x 1 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ y 2 z 1 VẤN ĐỀ 7: HÌNH HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Phần I: Lý thuyết cần nhớ: I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. ĐT liên hệ: 65 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Trong một tam giác vuông: a.AH 2 BH.CH A Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền. b.AH.BC AB.AC Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh B huyền với đường cao tương ứng. H C c.AB2 BC.BH, AC 2 BC.HC Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. 1 1 1 d. AH 2 AB2 AC 2 Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông. II. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong A tam giác vuông. 1. Các tỉ số lượng giác. Cạnh kề Cạnh đối AC AB Sin ,Cos BC BC B AC AB Cạnh huyền tg ,Cotg AB AC Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tg Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn” 2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ: a. Với góc nhọn (0 90 ) thì 0 sin ,cos 1 sin cos b. tg ,cot g cos sin 1 1 c. tg ,cot g tg .cot g 1 cot g tg d. sin2 cos2 1 sin 1 cos2 ,cos 1 sin2 (Các bạn nhớ chỉ được lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất a ở mục này) e. Với góc nhọn và sin sin   1 1 f. 1 tg 2 ,1 cot g 2 (Công thức này thầy đã chứng minh cho các bạn) cos2 sin2 3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau. Nếu  90 thì các giá trị lượng giác của và  chéo nhau, tức là: ĐT liên hệ: 66 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An s in c o s  , c o s s in  , tg c o t g  , c o t g tg  4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. A b a . sin B a . c o s C c a . sin C a . c o s B c b b c.tg B c. c o t g C c b.tg C b. c o t g B Vậy: Trong một tam giác vuông: B a C a. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc cos góc kề. b. Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tg góc đối hoặc cotg góc kề. Note: Giải tam giác là khái niệm của việc đi tính số đo của các góc nhọn, độ dài các cạnh của một tam giác vuông. II. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN §êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm 0 cho tríc mét kho¶ng c¸ch R > 0 kh«ng ®æi gäi lµ ®êng trßn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R) 2, VÞ trÝ t¬ng ®èi: * Cña mét ®iÓm víi mét ®êng trßn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× VÞ trÝ t¬ng ®èi HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn( O ; R ) hay M thuéc( O ; R) OM = R M n»m trong ( O ; R ) OM R giao nhau ĐT liên hệ: 67 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An * Cña hai ®êng trßn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai ®êng trßn c¾t nhau 2 R – r R + r +®êng trßn lín ®ùng ®êng trßn nhá : d < R -r 3 . TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn : a. §Þnh nghÜa : ®êng th¼ng d ®îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn nÕu nã chØ cã mét ®iÓm chung víi ®êng ®ã . b, TÝnh chÊt : + TÝnh chÊt 1 : NÕu mét ®êng th¼ng lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm . + TÝnh chÊt 2 : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th× giao ®iÓm nµy c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm vµ tia kÎ tõ giao ®iÓm ®ã qua t©m ®êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn . c, C¸ch chøng minh : C¸ch 1 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã cã mét ®iÓm chung víi ®êng trßn ®ã . C¸ch 2 : chøng minh ®êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã t¹i mét ®iÓm vµ ®iÓm ®ã thuéc ®êng trßn . 4 . Quan hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cung : ĐT liên hệ: 68 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An * §Þnh lÝ 1 : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra thµnh hai phÇn b»ng nhau . * §Þnh lÝ 2 : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hÖ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ 1 : Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m . * §Þnh lÝ 2 : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau cña mét ®êng trßn, d©y cung lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n . Gãc trong ®êng trßn: 1, C¸c lo¹i gãc trong ®êng trßn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr¬ng hai cung b»ng nhau. * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tø gi¸c néi tiÕp mét ®êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn . §¬ng trßn ®ã ®îc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b, C¸ch chøng minh : * C¸ch 1: chøng minh bèn ®Ønh cña tø gi¸c cïng thuéc mét ®êng trßn * C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 * C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau nh×n c¹nh ®èi diÖn díi cïng mét gãc. ĐT liên hệ: 69 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An H×nh häc kh«ng gian. 1. C¸c vÞ trÝ t¬ng ®èi: a.VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng: * a // b a , b  (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung. * a c¾t b a , b  (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung. * a vµ b chÐo nhau a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. b. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P): * a // (P) a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung. * a c¾t (P) a vµ (P) cã mét ®iÓm chung. * a  (P) a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung. c. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q): * (P) // (Q) kh«ng cã ®iÓm chung. * (P)  (Q) = a cã mét ®êng th¼ng a chung ( a gäi lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng). * (P)  (Q). 2. Mét sè c¸ch chøng minh: a. Chøng minh hai ®êng th¼ng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung. C2: a // c vµ b // c. (P) //(Q)  C3 : (P)  (R) a a // b (Q)  (R) b b.Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng: a // b   a //(P) b  (P) c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: ĐT liên hệ: 70 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An a,b  (Q),aXb  (P) //(Q) a //(P),b //(P)  d.Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc: a  (P)  a  b b  (P) e.Chøng minh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng: a  b,a  c   a  (P) bXc,b  (P),c  (P) g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a  (P)  (P)  (Q) a  (Q) Mét sè h×nh kh«ng gian: 1. H×nh l¨ng trô: 1. H×nh trô: Sxq = P . h víi P: chu vi ®¸y Sxq = P.h = 2 R.h víi R: b¸n kÝnh ®¸y V = B . h h : chiÒu cao V = B.h = R2.h h: chiÒu cao. B: diÖn tÝch ®¸y 2. H×nh chãp: 2. H×nh nãn: 1 1 S xq P.d S xq P.d R.l 2 víi d: ®êng cao mÆt bªn 2 1 1 1 V B.h V B.h R 2 .h 3 3 3 d: ®êng sinh; h: chiÒu cao. 3. H×nh chãp côt: 3. H×nh nãn côt: 1 1 S P P' .d S P P' .d R r d xq 2 xq 2 1 1 .h V B B' B.B' .h V B B' B.B' .h R 2 r 2 R.r 3 3 3 ĐT liên hệ: 71 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 4. H×nh cÇu: S 4 R 2 4 V R 3 3 B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI. Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: ĐT liên hệ: 72 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF HD GIẢI: A N 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: 0 0  CEH = 90 , CDH = 90 ( V× BE, AD lµ ®êng cao) 1 E 0 =>  CEH +  CDH = 180 P F 1 2 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do O H ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp - 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC 1 ( B ( C 0 D 2 => BEC = 90 . - CF lµ ®êng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C 1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E 1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao A AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i 1 tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . O 1 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng 2 E trßn. H 3 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 B 1 D C 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. ĐT liên hệ: 73 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An HD GIẢI: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao)  CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mµ  CEH vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE  AC => BEA = 900. AD lµ ®êng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 90 0 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 0 0 Mµ E1 + E2 = BEA = 90 => E2 + E3 = 90 = OED => DE  OE t¹i E. VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t y nhau t¹i N. x D / 1. Chøng minh AC + BD = CD. I 2. Chøng minh COD = 900. M AB2 / 3. Chøng minh AC. BD = . C 4 N 4. Chøng minh OC // BM 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD. A O B 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. HD GIẢI: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. ĐT liên hệ: 74 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, AB2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn A néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). I 1 3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, 1 B 2 C BC = 24 Cm. H o K HD GIẢI: 1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B Do ®ã BI  BK hayIBK = 900 . T¬ng tù ta còng cã ICK = 90 0 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. 0 0 C2 + I1 = 90 (2) ( v× IHC = 90 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) 0 Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). ĐT liên hệ: 75 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm) CH 2 122 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm) Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ d gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ A tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao P K D ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. N 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. H O M 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng I n»m trªn mét ®êng trßn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. C 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. B 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d HD GIẢI: 1. (HS tù lµm). 2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). ĐT liên hệ: 76 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. E D VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. A 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh I r»ng AI = AH. 1 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng 2 trßn (A; AH). B H C 4. Chøng minh BE = BH + DE. HD GIẢI: 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho X N J AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. P 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc 1 I mét ®êng trßn. M 2. Chøng minh BM // OP. 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i K N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 2 BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo 1 ( 1 ( A B dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. O ĐT liên hệ: 77 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An HD GIẢI: 1. (HS tù lµm). 2. Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t 2 AOM nhau ) =>  AOP = (2) 2 Mµ  ABM vµ  AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3. XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Tõ (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). X Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ I tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia F BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. M 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. H 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. E 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. K 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 1 2 2 1 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc A O B mét ®êng trßn. HD GIẢI: 1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => KMF + KEF = 1800 . Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. ĐT liên hệ: 78 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 45 0 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ 2. Chøng minh  ABD =  DFB. lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît tiÕp. ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). HD GIẢI: 1. C thuéc nöa ®êng trßn nªn ACB X = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => E BC  AE. ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao 2 C => AC. AE = AB (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ D F ®êng cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. A O B ĐT liên hệ: 79 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 2. ADB cã ADB = 90 0 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 180 0 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM SPA = 90 0 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 90 0 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AS. VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H =>MM’// SS’(cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 0 0 mµ M3 + M2 = AMB = 90 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M. ĐT liên hệ: 80 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 2. DF // BC. D F 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. O BD BM 4. CB CF I HD GIẢI: B M E C 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD s® cung DF DEF => DF // BC. AB AC 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn . 4. XÐt tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM  BDM  CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng C AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P. Chøng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. M O 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. A B 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P N ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. A' P D B' HD GIẢI: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM. ĐT liên hệ: 81 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC  NDC CM CO => => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi CD CN => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 90 0 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ > AC), ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt nhËt. ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa 3. AE. AB = AF. AC. ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn HD GIẢI: 1. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) A => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) E 1 I => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) 2 1( F EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) 1 Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã )1 2 ba gãc vu«ng). B O1 H O2 C 2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn =>F 1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) 0 => B 1= F 1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 180 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo AE AF Chøng minh trªn) => AEF  ACB => AC AB => AE. AB = AF. AC. * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC ( ) Tõ (*) vµ ( ) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . ĐT liên hệ: 82 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. 0 0 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 90 => E1 + E2 = O1EF = 90 => O1E EF . Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa E ®êng trßn (I), (K). N 3. TÝnh MN. 3 1 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa H 2 1 ®êng trßn M 1 2 1 A I C O K B HD GIẢI: 1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m K) => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m I) => EMC = 90 0 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) 0 0 Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 90 => N3 + N2 = MNK = 90 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã: 2 2 2 2 2 2 S(o) = .OA = 25 = 625 ; S(I) = . IA = .5 = 25 ; S(k) = .KB = . 20 = 400 . ĐT liên hệ: 83 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = .200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. HD GIẢI: C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 E 2 S M D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ¼ ¼ D1= C 3 => SM EM => C 2 = C 3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. ¼ ¼ 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 180 0 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => C»E C»S S¼M E¼M => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng gi¸c EBD. ĐT liên hệ: 84 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . ®êng thẳng CD, AE lÇn lît c¾t ®êng 3. AC // FG. trßn t¹i F, G.Chøng minh : 4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. HD GIẢI: 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( B v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 90 0 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => DEB = BAC = 90 0 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB  CAB . O 2. Theo trªn DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (v× hai gãc E 0 kÒ bï); BAC = 90 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC 1 = 900 => DEC + DAC = 180 0 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi F 1 G nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp . D 1 S A C * BAC = 90 0 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 90 0 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. PHẦN II: MỘT SỐ ĐỀ THI CÓ LỜI GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ THI MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ 1 x 3 6x 4 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức :P= x 1 x 1 x2 1 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức P. 2. Rút gọn P 2x ay 4 Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình : ax 3y 5 1. Giải hệ phương trình với a=1 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. ĐT liên hệ: 85 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Câu 3 (2,0 điểm). Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng: 1. 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn thẳng ME = R. 3. Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó. Câu 5 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4. Chứng minh rằng : 4 a3 4 b3 4 c3 2 2 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM SỐ 1 Câu Đáp án, gợi ý Điểm C1.1 x 1 0 (0,75 Biểu thức P xác định x 1 0 0,5 điểm) 2 x 1 0 x 1 0,25 x 1 x 3 6x 4 x(x 1) 3(x 1) (6x 4) C1.2 P= 0,25 (1,25 x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) điểm) x 2 x 3x 3 6x 4 x 2 2x 1 0,5 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1) 2 x 1 0,5 (voi x 1) (x 1)(x 1) x 1 C2.1 2x y 4 0,25 Với a = 1, hệ phương trình có dạng: (1,0 x 3y 5 điểm) 6x 3y 12 7x 7 x 3y 5 x 3y 5 0,25 x 1 x 1 0,25 1 3y 5 y 2 x 1 0,25 Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: y 2 ĐT liên hệ: 86 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An C2.2 x 2 0,25 2x 4 (1,0 -Nếu a = 0, hệ có dạng: 5 => có nghiệm duy 3y 5 y điểm) 3 nhất 2 a 0,25 -Nếu a 0 , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a 3 a 2 6 (luôn đúng, vì a 2 0 với mọi a) 0,25 Do đó, với a 0 , hệ luôn có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi 0,25 a. C3 Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4. 0,25 (2,0 Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: x (m) điểm) 2 x x 2 0,25 => diện tích hình chữ nhật đã cho là: x. (m2) 2 2 Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình x chữ nhật lần lượt là: x 2 va 2 (m) 0,25 2 Khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có x 1 x 2 0,25 phương trình: (x 2)( 2)  2 2 2 0,25 x 2 x 2 2x x 4 x 2 12x 16 0 2 4 .=> x1 6 2 5 (thoả mãn x>4); 0,5 x2 6 2 5 (loại vì không thoả mãn x>4) 0,25 Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 6 2 5 (m). C4.1 1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn B (1,0 Ta có: MOB 900 (vì MB là tiếp tuyến) điểm) MCO 900 (vì MC là tiếp tuyến) 0,25 1 O =>  MBO +  MCO = M 2 1 = 900 + 900 = 1800 K 0,25 => Tứ giác MBOC nội tiếp E 1 0,25 (vì có tổng 2 góc đối =1800) B C =>4 điểm M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn ’ 0,25 C4.2 2) Chứng minh ME = R: (1,0 Ta có MB//EO (vì cùng vuông góc với BB’) điểm) =>  O1 =  M1 (so le trong) Mà  M1 =  M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) =>  M2 = 0,25  O1 (1) C/m được MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC) 0,25 =>  O1 =  E1 (so le trong) (2) Từ (1), (2) =>  M2 =  E1 => MOCE nội tiếp 0,25 =>  MEO =  MCO = 900 =>  MEO =  MBO =  BOE = 900 => MBOE là hình chữ 0,25 nhật ĐT liên hệ: 87 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An => ME = OB = R (điều phải chứng minh) C4.3 3) Chứng minh khi OM=2R thì K di động trên 1 đường tròn cố (1,0 định: điểm) Chứng minh được Tam giác MBC đều =>  BMC = 600 0,25 =>  BOC = 1200 0,25 0 0 0 0 0 =>  KOC = 60 -  O1 = 60 -  M1 = 60 – 30 = 30 Trong tam giác KOC vuông tại C, ta có: OC OC 3 2 3R 0,25 CosKOC OK R : OK Cos300 2 3 Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm 0,25 O, bán kính = 2 3R (điều phải chứng minh) 3 C5 4 4a3 4 4b3 4 4c3 (1,0 0,25 4 3 4 3 4 3 điểm) a b c a a b c b a b c c 4 a4 4 b4 4 c4 0,25 a b c 4 0,25 4 4 Do đó, 4 a3 4 b3 4 c3 2 2 4 4 2 0,25 Câu 5 Cach 2: Đặt x = 4 a;y 4 b;z 4 c => x, y , z > 0 và x4 + y4 + z4 = 4. BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3 > 2 2 hay 2 (x3 + y3 + z3 ) > 4 = x4 + y4 + z4  x3(2 -x) + y3(2 -y)+ z3(2 -z) > 0 (*). Ta xét 2 trường hợp: - Nếu trong 3 sô x, y, z tồn tại it nhât một sô 2 , giả sử x 2 thì x3 2 2 . Khi đo: x3 + y3 + z3 > 2 2 ( do y, z > 0). - Nếu cả 3 sô x, y, z đều nhỏ 2 thì BĐT(*) luôn đung. Vậy x3 + y3 + z3 > 2 2 được CM. KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – Không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 2 Câu I (2,0 điểm) x 1 1) Giải phương trình x 1 . 3 x 3 3 3 0 2) Giải hệ phương trình . 3x 2y 11 Câu II ( 1,0 điểm) ĐT liên hệ: 88 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1 1 a + 1 Rút gọn biểu thức P = + : với a > 0 và a 4 . 2 a - a 2 - a a - 2 a Câu III (1,0 điểm) Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó. Câu IV (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d):y = 2x -m +1 và parabol (P): y = x2 . 2 1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2 y1 + y2 48 0 . Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC x 3 3 3 3x 2y 11 (2) x=3 0,25 Thay x=3 vào (2)=>3.3 2y 11 2y=2 0,25 y=1 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(3;1) 0,25 ĐT liên hệ: 89 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Câu II 1 1 a + 1 0,25 P = + : (1,0đ) a 2 - a 2 - a a 2 a 1 + a a 2 a 0,25 =  a ( 2 a ) a + 1 a a 2 0,25 = a 2 - a a 2 0,25 = =-1 2 - a Câu III Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0 độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + 7 )(cm) Vì chu vi của tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là: 30–(x + x +7)= 23–2x (cm) Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình x2 + (x + 7)2 = (23 - 2x)2 0,25 x2 - 53x + 240 = 0 (1) Giải phương trình (1) được nghiệm x = 5; 0,25 x = 48 Đối chiếu với điều kiện có x = 5 (TM đk); x = 48 (không TM đk) 0,25 Vậy độ dài một cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là 30 – (5 + 12) = 13cm Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 Vì (d) đi qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 và y = 3 vào hàm số y = 0,25 điểm 2x – m + 1 ta có 2.(-1) – m +1 = 3 -1 – m = 3 0,25 m = -4 0,25 Vậy m = -4 thì (d) đi qua điểm A(-1; 3) 0,25 2) 1,0 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình 0,25 1 điểm x2 2x m 1 2 x2 4x 2m 2 0 (1) ; Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên (1) 0,25 có hai nghiệm phân biệt ' 0 6 2m 0 m 3 Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là 0,25 nghiệm của phương trình (1) và y1 = 2x1 m 1 , y2 = 2x2 m 1 Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x2 = 4, x1x2 = 2m-2 .Thay y1,y2 vào x1x2 y1 +y2 48 0 có x1x2 2x1 +2x2 -2m+2 48 0 (2m - 2)(10 - 2m) + 48 = 0 m2 - 6m - 7 = 0 m=-1(thỏa mãn m<3) hoặc m=7(không thỏa mãn 0,25 m<3) Vậy m = -1 thỏa mãn đề bài Câu V (3,0đ) ĐT liên hệ: 90 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1) 1,0 D Vẽ đúng hình theo yêu cầu chung của đề bài 0,25 điểm C E A O B VìBD là tiếp tuyến của (O) nên BD  OB => ΔABD vuông tại B 0,25 Vì AB là đường kính của (O) nên AE  BE 0,25 Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD (A· BD=900 ;BE  AD) ta có BE2 0,25 = AE.DE 2) 1,0 D 0,25 điểm Có DB= DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), OB = OC (bán kính của (O)) C E => OD là đường trung trực của đoạn BC => I O· FC=900 (1) F A H O B Có CH // BD (gt), mà AB  BD (vì BD là tiếp tuyến của (O)) 0,25 => CH  AB => O· HC=900 (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có O· FC+ O· HC = 1800 => tứ giác CHOF nội tiếp 0,25 3)1,0 Có CH //BD=>H· CB=C· BD (hai góc ở vị trí so le trong) mà 0,25 điểm ΔBCD cân tại D => C· BD D· CB nên CB là tia phân giác của H· CD do CA  CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của 0,25 AI CI ΔICD = (3) AD CD AI HI Trong ΔABD có HI // BD => = (4) 0,25 AD BD CI HI Từ (3) và (4) => = mà CD=BD CI=HI I là trung điểm 0,25 CD BD của CH Câu VI Với a 0;b 0 ta có: (a2 b)2 0 a4 2a2b b2 0 a4 b2 2a2b 0,25 (1,0đ) 1 1 a4 b2 2ab2 2a2b 2ab2 (1) a4 b2 2ab2 2ab a b 1 1 Tương tự có (2) . Từ (1) và (2) 0,25 b4 a2 2a2b 2ab a b 1 Q ab a b 1 1 1 1 Vì 2 a b 2ab mà a b 2 ab ab 1 Q . 0,25 a b 2(ab)2 2 1 1 Khi a = b = 1 thì Q . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 0,25 2 2 ĐT liên hệ: 91 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 3 Bài I (2,5 điểm) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên Bài II (2,0 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nếu mỗi 5 người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 1 2 x y 1) Giải hệ phương trình: 6 2 1 x y 2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có 2 2 hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 x2 7 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh A· CM A· CK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C 4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, AP.MB C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và R . Chứng minh đường thẳng PB đi MA qua trung điểm của đoạn thẳng HK Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2 ,y tìm giá trị nhỏ nhất x2 y2 của biểu thức: M xy GỢI Ý – ĐÁP ÁN Bài I: (2,5 điểm) ĐT liên hệ: 92 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 36 4 10 5 1) Với x = 36, ta có : A = 36 2 8 4 2) Với x , x 16 ta có : x( x 4) 4( x 4) x 2 (x 16)( x 2) x 2 B = = x 16 x 16 x 16 (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 ( 1) . 1 . 3) Ta có: B A . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B(A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18  Bài II: (2,0 điểm) 12 Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 (cv), người thứ hai làm được 1 (cv) x x 2 12 12 Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=1: 5 5 5 (cv) 12 Do đó ta có phương trình 1 1 5 x x 2 12 x 2 x 5 x(x 2) 12 5x2 – 14x – 24 = 0 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 7 13 6 7 13 20 => x (loại) và x 4 (TMĐK) 5 5 5 5 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ. 2 1 2 x y Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ: , (ĐK: x, y 0 ). 6 2 1 x y 4 2 4 6 10 4 4 1 5 x 2 x y x x x x 2 Hệ 2 1 .(TMĐK) 6 2 2 1 2 1 2 y 1 1 2 2 2 y x y x y x y Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1). ĐT liên hệ: 93 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 2) + Phương trình đã cho có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt m x1 x2 4m 1 + Theo ĐL Vi –ét, ta có: 2 . x1x2 3m 2m 2 2 2 Khi đó: x1 x2 7 (x1 x2 ) 2x1x2 7 (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 10m2 – 4m – 6 = 0 5m2 – 2m – 3 = 0 Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0 => m = 1 hay m = 3 . 5 Trả lời: Vậy Bài IV: (3,5 điểm) C M H E A K O B 1) Ta có H· CB 900 ( do chắn nửa đường tròn đk AB) H· KB 900 (do K là hình chiếu của H trên AB) => H· CB H· KB 1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB. 2) Ta có ·ACM ·ABM (do cùng chắn ¼AM của (O)) và ·ACK H· CK H· BK (vì cùng chắn H¼K .của đtròn đk HB) Vậy ·ACM ·ACK 3) Vì OC  AB nên C là điểm chính giữa của cung AB AC = BC và sd »AC sd B»C 900 Xét 2 tam giác MAC và EBC có MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và M· AC = M· BC vì cùng chắn cung M¼ C của (O) MAC và EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân tại C (1) Ta lại có C· MB 450 (vì chắn cung C»B 900 ) C· EM C· MB 450 (tính chất tam giác MCE cân tại C) Mà C· ME C· EM M· CE 1800 (Tính chất tổng ba góc trong tam giác) M· CE 900 (2) Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm). S C M H P E N 94 ĐT liên hệ: 0917188926,A K0969813358 B O
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK. Xét PAM và OBM : AP.MB AP OB Theo giả thiết ta có R (vì có R = MA MA MB OB). Mặt khác ta có P· AM ·ABM (vì cùng chắn cung ¼AM của (O)) PAM ∽ OBM AP OB 1 PA PM .(do OB = OM = R) (3) PM OM Vì A· MB 900 (do chắn nửa đtròn(O)) A· MS 900 tam giác AMS vuông tại M. P· AM P· SM 900 P· MS P· SM PS PM và P· MA P· MS 900 (4) Mà PM = PA(cmt) nên P· AM P· MA Từ (3) và (4) PA = PS hay P là trung điểm của AS. NK BN HN Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: PA BP PS NK HN hay PA PS Mà PA = PS(cmt) NK NH hay BP đi qua trung điểm N của HK. (đpcm) Bài V: (0,5 điểm) Đối với bài toán này, thầy gợi ý một số cách giải sau để các em có thể lựa chọn. Cách 1(không sử dụng BĐT Co Si) x2 y2 (x2 4xy 4y2 ) 4xy 3y2 (x 2y)2 4xy 3y2 (x 2y)2 3y Ta có M = = 4 xy xy xy xy x Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy ra x = 2y y 1 3y 3 x ≥ 2y , dấu “=” xảy ra x = 2y x 2 x 2 3 5 Từ đó ta có M ≥ 0 + 4 - = , dấu “=” xảy ra x = 2y 2 2 Vậy GTNN của M là 5 , đạt được khi x = 2y 2 x2 y2 x2 y2 x y x y 3x Cách 2: Ta có M = ( ) xy xy xy y x 4y x 4y x y x y x y Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ; ta có 2 . 1 , 4y x 4y x 4y x dấu “=” xảy ra x = 2y x 3 x 6 3 Vì x ≥ 2y 2 . , dấu “=” xảy ra x = 2y y 4 y 4 2 3 5 Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra x = 2y 2 2 ĐT liên hệ: 95 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Vậy GTNN của M là 5 , đạt được khi x = 2y 2 x2 y2 x2 y2 x y x 4y 3y Cách 3: Ta có M = ( ) xy xy xy y x y x x x 4y x 4y x 4y Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ; ta có 2 . 4 , y x y x y x dấu “=” xảy ra x = 2y y 1 3y 3 Vì x ≥ 2y , dấu “=” xảy ra x = 2y x 2 x 2 3 5 Từ đó ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy ra x = 2y 2 2 Vậy GTNN của M là 5 , đạt được khi x = 2y 2 2 2 2 2 2 4x 2 x 2 3x x 2 x 2 2 2 y y y 2 y x y 3x 3x Cách 4: Ta có M = 4 4 4 4 4 xy xy xy xy 4xy xy 4y x2 x2 x2 Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ; y2 ta có y2 2 .y2 xy , 4 4 4 dấu “=” xảy ra x = 2y x 3 x 6 3 Vì x ≥ 2y 2 . , dấu “=” xảy ra x = 2y y 4 y 4 2 xy 3 3 5 Từ đó ta có M ≥ + = 1+ = , dấu “=” xảy ra x = 2y xy 2 2 2 Vậy GTNN của M là 5 , đạt được khi x = 2y 2 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 4 Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức : a 1 a 1 1 P 4 a , (Với a > 0 , a 1) a 1 a 1 2a a 2 1. Chứng minh rằng : P a 1 2. Tìm giá trị của a để P = a Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 ĐT liên hệ: 96 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 1. Giải phơng trình khi m = 4 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng 2. Tam giác COD là tam giác cân 3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O) Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : a2 b2 c2 3 a b c 1 Chứng minh rằng : a2 2b 3 b2 2c 3 c2 2a 3 2 ĐT liên hệ: 97 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An ĐÁP ÁN- GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 4 CÂU NỘI DUNG 2 1. Chứng minh rằng : P a 1 a 1 a 1 1 P 4 a a 1 a 1 2a a 2 2 a 1 a 1 4 a a 1 a 1 1 P . a 1 a 1 2a a a 2 a 1 a 2 a 1 4a a 4 a 1 P . a 1 a 1 2a a 1 4a a 1 2 P . (ĐPCM) a 1 2a a a 1 2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a 2 a a2 a 2 0 => a 1 . Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm a1 = -1 x2 – 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt c 3 3 2 x1 = -1 và x2 = a 1 2 Với x1 = -1 => y1 = (-1) = 1 => A (-1; 1) 2 Với x2 = 3 => y2 = 3 = 9 => B (3; 9) Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B 2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ ĐT liên hệ: 98 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 9 B A 1 D C -1 0 3 AD BC 1 9 S .DC .4 20 ABCD 2 2 BC.CO 9.3 S 13,5 BOC 2 2 AD.DO 1.1 S 0,5 AOD 2 2 Theo công thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt) 1. Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = 0 có ’ = 16 – 12 = 4 > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0 => 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2 Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ĐT liên hệ: 99 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng: Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) MC  MO (1) Xét đường tròn (I) : Ta có C· MD 900 MC  MD (2) Từ (1) và (2) => MO // MD MO và MD trùng nhau O, M, D thẳng hàng www.VNMATH.com 2. Tam giác COD là tam giác cân CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) CA AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại C CA  CD(4) · · 4 Từ (3) và (4) CD // AB => DCO COA (*) ( Hai góc so le trong) CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) C· OA C· OD ( ) Từ (*) và ( ) D· OC D· CO Tam giác COD cân tại D 3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn (O) * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H. C· HD 900 H (I) (Bài toán quỹ tích) DH kéo dài cắt AB tại K. Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn (I) C· ND 900 => NC NO COD can tai D Ta có tứ giác NHOK nội tiếp ¶ µ · · · 0 Vì có H2 O1 DCO ( Cùng bù với góc DHN) NHO NKO 180 (5) * Ta có : N· DH N· CH (Cùng chắn cung NH của đường tròn (I)) C· BO H· ND H· CD DHN COB (g.g) HN OB  HD OC OB OA HN ON  Mà O· NH C· DH OC OC HD CD OA CN ON OC CD CD  ĐT liên hệ: 100 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An NHO DHC (c.g.c) N· HO 900 Mà N· HO N· KO 1800 (5) N· KO 900, NK  AB NK // AC K là trung điểm của OA cố định (ĐPCM) Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : a2 b2 c2 3 a b c 1 Chứng minh rằng : a2 2b 3 b2 2c 3 c2 2a 3 2 2 2 a2 b2 a b a2 b2 c2 a b c * C/M bổ đề: và . x y x y x y x x y z Thật vậy 2 2 2 a b a b 2 2 a2 y b2 x x y xy a b ay bx 0 x y x y (Đúng) ĐPCM 2 a2 b2 c2 a b c Áp dụng 2 lần , ta có: x y x x y z * Ta có : a2 2b 3 a2 2b 1 2 2a 2b 2 , tương tự Ta có: a b c a b c A a2 2b 3 b2 2c 3 c2 2a 3 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 1 a b c A (1) 2 a b 1 b c  1c a 1 B a b c 5 Ta chứng minh 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b c 1 1 1 2 a b 1 b c 1 c a 1 b 1 c 1 a 1 2 a b 1 b c 1 c a 1 b 1 c 1 a 1 2 a b 1 b c 1 c a 1 b 1 2 c 1 2 a 1 2 2 (2) a b 1 b 1 b c 1 c 1 c a 1 a 1  3 B Áp dụng Bổ đề trên ta có: a b c 3 2 3 B a b 1 b 1 b c 1 c 1 c a 1 a 1 a b c 3 2 3 B (3) a2 b2 c2 ab bc ca 3(a b c) 3 * Mà: ĐT liên hệ: 101 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 2 2 2 2 a b c ab bc ca 3(a b c) 3 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 6a 6b 6c 6 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 6a 6b 6c 6 (Do : a2 b2 c2 3) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 6a 6b 6c 9 a b c 3 2 a b c 3 2 2 (4) a2 b2 c2 ab bc ca 3(a b c) 3 Từ (3) và (4) (2) Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 5 1 1 x 2 C©u 1: 2,5 ®iÓm: Cho biÓu thøc A = . x 2 x 2 x a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ tó gän A. 1 b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A 2 7 c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó B A ®¹t gi¸ trÞ nguyªn. 3 C©u 2: 1,5 ®iÓm: Qu¶ng ®êng AB dµi 156 km. Mét ngêi ®i xe m¸y tö A, mét ngêi ®i xe ®¹p tõ B. Hai xe xuÊt ph¸t cïng mét lóc vµ sau 3 giê gÆp nhau. BiÕt r»ng vËn tèc cña ngêi ®I xe m¸y nhanh h¬n vËn tèc cña ngêi ®I xe ®¹p lµ 28 km/h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe? C©u 3: 2 ®iÓm: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè). a) Gi¶I ph¬ng tr×nh khi m = 3 2 2 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n x1 x2 16 C©u 4: 4 ®iÓm ĐT liên hệ: 102 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn t©m O. VÏ tiÕp tuyÕn MA, MB víi ®êng trßn (A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). VÏ c¸t tuyÕn MCD kh«ng ®I qua t©m O ( C n»m gi÷a M vµ D), OM c¾t AB vµ (O) lÇn lît t¹i H vµ I. Chøng minh. a) Tø gi¸c MAOB néi tiÕp. b) MC.MD = MA2 c) OH.OM + MC.MD = MO2 d) CI lµ tia ph©n gi¸c gãc MCH. GỢI Ý – ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5 Câu 1: (2,5 điểm) a, Với x > 0 và x 4, ta có: 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 A = . = . = = x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x x 2 2 2 1 b, A = > x > 4. x 2 x 2 2 7 2 14 c, B = . = là một số nguyên x 2 là ước của 14 hay x 2 = 3 x 2 3( x 2) 1, x 2 = 7, x 2 = 14. (Giải các pt trên và tìm x) Câu 2: (1,5 điểm) Gọi vân tốc của xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0 Thì vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h) Trong 3 giờ: + Xe đạp đi được quãng đường 3x (km), + Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h) Câu 3: (2,0 điểm) a, Thay x = 3 vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 và giải phương trình: 2 x - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x1 = 1, x2 = 3. b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ĐT liên hệ: 103 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 , ta có: x1 x2 2(m 1) 2 x1.x2 m 6 2 2 2 và x1 + x2 = (x1 + x2) - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải và tìm được m = 0, m = -4 CÂU 4 A D C M O I H H B a, Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên các góc của tứ giác MAOB vuông tại A và B, nên nội tiếp được đường tròn. b, MAC và MDA có chung M¶ và M· AC = M· DA (cùng chắn A»C ), nên đồng dạng. Từ đó suy MA MD ra MC.MD MA2 (đfcm) MC MA c, MAO và AHO đồng dạng vì có chung góc O và ·AMO H· AO (cùng chắn hai cung bằng nhau của đường tròn nội tiếp tứ giác MAOB). Suy ra OH.OM = OA2 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức OH.OM = OA 2 MC.MD = MA2 để suy ra điều phải chứng minh. MH MC d, Từ MH.OM = MA2, MC.MD = MA2 suy ra MH.OM = MC.MD (*) MD MO Trong MHC và MDO có (*) và D· MO chung nên đồng dạng. MC MO MO MC MO hay (1) HC MD OA CH OA Ta lại có M· AI I·AH (cùng chắn hai cung bằng nhau) AI là phân giác của M· AH . MI MA Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: (2) IH AH MHA và MAO có O· MA chung và M· HA M· AO 900 do đó đồng dạng (g.g) ĐT liên hệ: 104 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An MO MA MC MI (3) Từ (1), (2), (3) suy ra suy ra CI là tia phân giác của góc MCH OA AH CH IH KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 6 Câu I: (2,5 điểm) 2 3 1. Thực hiện phép tính: a) 3 2 10 36 64 b) 2 3 3 2 5 . 2a 2 4 1 1 2. Cho biểu thức: P = 1 a3 1 a 1 a a) Tìm điều kiện của a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P. Câu II: (1,5 điểm) 1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là: a) Hai đường thẳng cắt nhau b) Hai đường thẳng song song. 2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2). Câu III: (1,5 điểm) 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương 3 3 trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 Câu IV: (1,5 điểm) 3x 2y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện 3x y 4m 1 x + y > 1. Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. c) Chứng mình A· DE A· CO ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 6 Câu I: (2,5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: ĐT liên hệ: 105 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An a) 3 2 10 36 64 3 8 100 2 10 12 2 3 b) 2 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 2 5 2 2a 2 4 1 1 2. Cho biểu thức: P = 1 a3 1 a 1 a a) Tìm điều kiện của a để P xác định: P xác định khi a 0 và a 1 b) Rút gọn biểu thức P. 2 2 2 2a 2 4 1 1 2a 4 1 a a a 1 1 a a a 1 P = = 1 a3 1 a 1 a 1 a a 2 a 1 2a 2 4 a 2 a 1 a 2 a a a a a 1 a 2 a a a a = 1 a a 2 a 1 2 2a 2 = = 1 a a 2 a 1 a 2 a 1 2 Vậy với a 0 và a 1 thì P = a 2 a 1 Câu II: (1,5 điểm) 1. Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là: a) Để hàm số y = (m+3)x + 4 là hàm số bậc nhất thì m + 3 0 suy ra m -3. Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau a a’ -1 m+3 m -4 Vậy với m -3 và m -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau. b) Đồ thị của hàm số đã cho là Hai đường thẳng song song a a ' 1 m 3 m 4 thỏa mãn điều kiện m -3 b b' 2 4 Vậy với m = -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. 2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2). Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 và y = 2 vào hàm số ta có phương trình 2 = a.(-1)2 suy ra a = 2 (thỏa mãn điều kiện a 0) Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-1; 2). Câu III: (1,5 điểm) 2 1. Giải phương trình x – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương 3 3 trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 . Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ’ 0  1 – m + 3 0  m 4 Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) và x1. x2 = m – 3 (2) 3 3 2 Theo đầu bài: x1 x 2 x1x 2 6 x1x 2 x1 x 2 2x1x 2 = 6 (3) ĐT liên hệ: 106 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6  2m =12  m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m 4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa 3 3 mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 . Câu IV: (1,5 điểm) 3x 2y 1 3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1 1. Giải hệ phương trình . x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2 x 1 2x y m 1 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 3x y 4m 1 1. 2x y m 1 5x 5m x m x m 3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1 Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0. Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. Câu V: (3,0 điểm HD Giải. M · · 0 a) MAO MCO 90 nên tứ giác AMCO nội tiếp D C b) M· EA M· DA 900 . Tứ giác AMDE có D, E cùng nhìn AM dưới cùng một góc 900 E Nên AMDE nội tiếp A B c) Vì AMDE nội tiếp nên A· DE A· MEcùngchan cung A»E O Vì AMCO nội tiếp nên A· CO A· MEcùngchan cung A»O Suy ra A· DE A· CO KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 7 Câu 1. (2,0 điểm) x 2 x 2 Q x x x 0, x 1 Cho biểu thức , với x 2 x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức Q b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0 , với x là ẩn số, m R a. Giải phương trình đã cho khi m – 2 ĐT liên hệ: 107 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m. Câu 3. (2,0 điểm) (m 1)x (m 1)y 4m Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. Câu 4. (2,0 điểm) Cho hàm số y x2 có đồ thị (P). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(0;1) và có hệ số góc k. a. Viết phương trình của đường thẳng d b. Tìm điều kiện của k để đt d cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt. Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D AC, E AB) a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn b. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng c. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng 1 1 1 DK2 DA2 DM2 ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 7 Câu 1. x 2 x 2 x 2 x 2 a. Q x x x x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 1 x 1 1 1 1 x x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 2 x 2x x . x . x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x Vậy Q x 1 b. Q nhận giá trị nguyên 2x 2x 2 2 2 Q 2 x 1 x 1 x 1 2 Q ¢ khi ¢ khi 2 chia hết cho x 1 x 1 ĐT liên hệ: 108 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An x 0 x 1 1 x 2 x 2 đối chiếu điều kiện thì x 1 2 x 1 x 3 x 3 Câu 2. Cho pt x2 2(m 1)x m 2 0 , với x là ẩn số, m R a. Giải phương trình đã cho khi m – 2 Ta có phương trình x2 2x 4 0 2 x2 2x 4 0 x2 2x 1 5 x 1 2 5 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 Vậy phương trinh có hai nghiệm x 1 5 và x 1 5 b. Theo Vi-et, ta có x1 x2 2m 2 (1) x1 x2 2m 2 x1 x2 2 x1x2 2 2 x x m 2 (2) m x x 2 1 2 1 2 m x1x2 2 Suy ra x1 x2 2 x1x2 2 2 x1 x2 2x1x2 6 0 (m 1)x (m 1)y 4m Câu 3. Cho hệ phương trình , với m R x (m 2)y 2 a. Giải hệ đã cho khi m –3 2x 2y 12 x y 6 x 7 Ta được hệ phương trình x 5y 2 x 5y 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y với 7;1 b. Điều kiện có nghiệm của phương trình m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 1 m 2 m 1 m 2 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 Vậy phương trình có nghiệm khi m 1 và m 1 (m 1)x (m 1)y 4m m 1 Giải hệ phương trình khi x (m 2)y 2 m 1 4m 4m 2 4m x y x (m 1)x (m 1)y 4m x y m 1 m 1 m 1 . x (m 2)y 2 2 2 x (m 2)y 2 y y m 1 m 1 4m 2 2 Vậy hệ có nghiệm (x; y) với ; m 1 m 1 Câu 4. a. Viết phương trình của đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y kx b ĐT liên hệ: 109 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1) nên 1 k.0 b b 1 Vậy d : y kx 1 b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d x2 kx 1 x2 kx 1 0 , có k2 4 d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi 0 2 2 2 2 k 2 k 4 0 k 4 k 2 k 2 k 2 Câu 5. a. BCDE nội tiếp B· EC B· DC 900 Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC b. H, J, I thẳng hàng IB  AB; CE  AB (CH  AB) Suy ra IB // CH IC  AC; BD  AC (BH  AC) Suy ra BH // IC Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng 1 c. A· CB A· IB A»B 2 A· CB D· EA cùng bù với góc D· EB của tứ giác nội tiếp BCDE B· AI A· IB 900 vì ABI vuông tại B Suy ra B· AI A· ED 900 , hay E· AK A· EK 900 Suy ra AEK vuông tại K Xét ADM vuông tại M (suy từ giả thiết) DK  AM (suy từ chứng minh trên) 1 1 1 Như vậy DK2 DA2 DM2 ĐT liên hệ: 110 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 8 Bài 1: (3, 0 điểm) Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình: 2x – 5 = 0 y x 2 b) Giải hệ phương trình: 5x 3y 10 5 a 3 3 a 1 a 2 2 a 8 c) Rút gọn biểu thức A với a 0,a 4 a 2 a 2 a 4 d) Tính giá trị của biểu thức B 4 2 3 7 4 3 Bài 2: (2, 0 điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là y mx2 và y m 2 x m 1 (m là tham số, m 0). a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). b) Chứng minh rằng với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 3: (2, 0 điểm) Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 4: (3, 0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK.AH = R2 Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB. ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 8 Bài 1: 5 a) 2x – 5 = 0 2x 5 0 2x 5 x 2 ĐT liên hệ: 111 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An y x 2 5x 5y 10 2y 20 y 10 b) 5x 3y 10 5x 3y 10 y x 2 x 8 c) 2 5 a 3 3 a 1 a 2 2 a 8 5 a 3 a 2 3 a 1 a 2 a 2 a 8 A a 2 a 2 a 4 a 2 a 2 2 5a 10 a 3 a 6 3a 6 a a 2 a 2 2 a 8 a 2 8a 16 a 8a 16 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 4 2 a 4 4 a a 4 2 2 d) B 4 2 3 7 4 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 Bài 2: a) Với m 1 P và d lần lượt trở thành y x2 ; y x 2 . Lúc đó phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 x 2 x2 x 2 0 có a b c 1 1 2 0 nên có hai nghiệm là x1 1; x2 2 . Với x1 1 y1 1 Với x2 2 y2 4 Vậy tọa độ giao điểm của P và d là 1; 1 và 2; 4 . b) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: mx2 m 2 x m 1 mx2 m 2 x m 1 0 * . Với m 0 thì * là phương trình bậc hai ẩn x có m 2 2 4m m 1 m2 4m 4 4m2 4m 5m2 4 0 với mọi m. Suy ra * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Hay với mọi m 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 3: Đổi 1h30' 1,5h Đặt địa điểm : 1,5x - Quy Nhơn là A 100-1,5x - Hai xe gặp nhau là C A C B - Bồng Sơn là B Gọi vận tốc của xe máy là x km / h . ĐK : x 0 . Suy ra : Vận tốc của ô tô là x 20 km / h . Quãng đường BC là : 1,5x km Quãng đường AC là : 100 1,5x km 100 1,5x Thời gian xe máy đi từ A đến C là : h x 1,5x Thời gian ô tô máy đi từ B đến C là : h x 20 ĐT liên hệ: 112 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 100 1,5x 1,5x Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình : x x 20 Giải pt : 100 1,5x 1,5x 100 1,5x x 20 1,5x2 100x 2000 1,5x2 30x 1,5x2 x x 20 3x2 70x 2000 0 ' 352 3.2000 1225 6000 7225 0 ' 7225 85 35 85 Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x 40 (thỏa mãn ĐK) 1 3 35 85 50 x (không thỏa mãn ĐK) 2 3 3 Vậy vận tốc của xe máy là 40km / h . K Vận tốc của ô tô là 40 20 60 km / h . M Bài 4: E H a) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. I Ta có : ·AKB 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) A B C O hay H· KB 900 ; H· CB 900 gt Tứ giác BCHK có H· KB H· CB 900 900 1800 tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) AK.AH R2 N AC AH R Dễ thấy ΔACH∽ ΔAKB g.g AK.AH AC.AB  2R R2 AK AB 2 c) NI KB OAM có OA OM R gt OAM cân tại O 1 OAM có MC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (gt) OAM cân tại M 2 1 & 2 OAM là tam giác đều M· OA 600 M· ON 1200 M· KI 600 KMI là tam giác cân (KI = KM) có M· KI 600 nên là tam giác đều MI MK 3 . 1 1 Dễ thấy BMK cân tại B có M· BN M· ON 1200 600 nên là tam giác đều 2 2 MN MB 4 Gọi E là giao điểm của AK và MI. 0 N· KB N· MB 60  Dễ thấy  N· KB M· IK KB // MI (vì có cặp góc ở vị trí so le trong · 0 MIK 60  bằng nhau) mặt khác AK  KB cmt nên AK  MI tại E H· ME 900 M· HE . H· AC 900 ·AHC  0 Ta có :H· ME 90 M· HE cmt  H· AC H· ME mặt khác H· AC K· MB (cùng chắn K»B ) · · AHC MHE dd  H· ME K· MB hay N· MI K· MB 5 3 , 4 & 5 IMN KMB c.g.c NI KB (đpcm) ĐT liên hệ: 113 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 9 Câu 1. (2 điểm) 1 1.Tính - 2 2 - 1 2 .Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm) 1 2 a- 3 a + 2 1.Rút gọn biểu thức: A = ( - ).( + 1) với a>0,a¹ 4 a - 2 a- 2 a a - 2 ïì 2x- 5y = 9 2.Giải hệ pt: íï îï 3x + y = 5 3. Chứng minh rằng pt: x2 + mx + m- 1= 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 B = x 1 + x 2 - 4.(x1 + x2 ) Câu 3: (1,5 điểm) Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB. Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K. 1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp. 2.Chứng minh KA2=KN.KP 3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc P· NM . 4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R. Câu 5: (0,5điểm) Cho a,b,c là 3 số thực khác không và thoả mãn: ïì a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) + 2 a b c = 0 íï ï 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 îï a + b + c = 1 1 1 1 Hãy tính giá trị của biểu thức Q = + + a2013 b2013 c2013 ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 9 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 1 2 + 1 2 + 1 1 - 2 = - 2 = - 2 = 2 + 1- 2 = 1 2 - 1 ( 2 - 1).( 2 + 1) ( 2)2 - 1) ĐT liên hệ: 114 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An KL: 2 Do đồ thị hàm số y = ax-1 đi qua M(1;5) nên ta có a.1- 1 1=5Û a=6 KL: 2 1 a 2 ( a - 1).( a - 2) 0,5 A = ( - ).( + 1) = a( a - 2) a( a - 2) a - 2 a - 2 1 = ( ).( a - 1+ 1) = . a = 1 0,5 a( a - 2) a KL: 2 1 ïì 2x- 5y = 9 ïì 2x- 5y = 9 ïì 2x- 5y = 9 ïì y = - 1 íï Û íï Û íï Û íï îï 3x + y = 5 îï 15x + 5y = 25 îï 17x = 34 îï x = 2 KL: 3 Xét Pt: x2 + mx + m- 1= 0 0,25 Δ = m2 - 4(m- 1) = m2 - 4m + 4 = (m- 2)2 ³ 0 Vậy pt luôn có nghiệm với mọi m ïì x + x = - m Theo hệ thức Viet ta cóíï 1 2 0,25 ï îï x1x2 = m- 1 Theo đề bài 2 2 2 B = x 1 + x 2 - 4.(x1 + x2 ) = (x1 + x2 ) - 2x1x2 - 4.(x1 + x2 ) = m2 - 2(m- 1)- 4(- m) = m2 - 2m + 2+ 4m = m2 + 2m + 1+ 1 = (m + 1)2 + 1³ 1 0,5 Vậy minB=1 khi và chỉ khi m = -1 KL: 3 Gọi độ dài quãmg đường AB là x (km) x>0 0,25 Thời gian xe tải đi từ A đến B là x h 40 0,25 Thời gian xe Taxi đi từ A đến B là :x h 60 0,25 Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = 5 nên ta có pt 2 x x 5 - = 0,25 40 60 2 Û 3x- 2x = 300 0,25 Û x = 300 Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK 0,25 Vậy độ dài quãng đường AB là 300 km. ĐT liên hệ: 115 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 4 1 Xét tứ giác APOQ có ·APO = 900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P) ·AQO = 900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q) 0,75 Þ ·APO + ·AQO = 1800 ,mà hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp P S M N I A G O K Q 2 Xét Δ AKN và Δ PAK có ·AKP là góc chung ·APN = ·AMP ( Góc nt cùng chắn cung NP) Mà N· AK = ·AMP (so le trong của PM //AQ 0,75 AK NK ΔAKN ~ Δ PKA (gg) Þ = Þ AK 2 = NK.KP (đpcm) PK AK 3 Kẻ đường kính QS của đường tròn (O) Ta có AQ^ QS (AQ là tt của (O) ở Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM^ QS 0,75 Đường kính QS ^ PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ sd P»S = sd S¼M Þ P· NS = S·NM (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau) Hay NS là tia phân giác của góc PNM 4 Chứng minh được Δ AQO vuông ở Q, có QG^ AO(theo Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 0,75 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có OQ2 R2 1 OQ2 = OI.OA Þ OI = = = R OA 3R 3 1 8 Þ AI = OA- OI = 3R- R = R 3 3 Do Δ KNQ ~Δ KQP (gg)Þ KQ2 = KN.KP mà AK 2 = NK.KP nên AK=KQ Vậy Δ APQ có các trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm 2 2 8 16 Þ AG = AI = . R = R 3 3 3 9 5 Ta có: ĐT liên hệ: 116 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An a 2 (b + c) + b 2 (c + a) + c 2 (a + b) + 2abc = 0 Û a 2b + a 2c + b 2c + b 2 a + c 2 a + c 2b + 2abc = 0 2 2 2 2 2 2 0,25 Û (a b + b a) + (c a + c b) + (2abc + b c + a c) = 0 Û ab(a + b) + c 2 (a + b) + c(a + b) 2 = 0 Û (a + b)(ab + c 2 + ac + bc) = 0 Û (a + b).(a + c).(b + c) = 0 *TH1: nếu a+ b=0 0,25 ïì a = - b ïì a = - b ï Û ï Ta có í 2013 2013 2013 í ta có îï a + b + c = 1 îï c = 1 1 1 1 Q = + + = 1 a2013 b2013 c2013 Các trường hợp còn lại xét tương tự 1 1 1 Vậy Q = + + = 1 a2013 b2013 c2013 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 10 x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = : x x x x x 1 a,Rót gän P b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m. 3 3 b.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 x2 =50 Câu 3: Qu¶ng ®êng AB dµi 156 km. Mét ngêi ®i xe m¸y tö A, mét ngêi ®i xe ®¹p tõ B. Hai xe xuÊt ph¸t cïng mét lóc vµ sau 3 giê gÆp nhau. BiÕt r»ng vËn tèc cña ngêi ®i xe m¸y nhanh h¬n vËn tèc cña ngêi ®i xe ®¹p lµ 28 km/h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe? ĐT liên hệ: 117 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. b, Gäi P vµ Q lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®êng th¼ng AB vµ AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng. c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt. ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 10 Bµi 1: (2 ®iÓm). §K: x 0; x 1 2 2x x 1 2 x 1z x 1 x 1 a, Rót gän: P = : P = x x 1 x 1 ( x 1) 2 x 1 x 1 1 x 2 x 4 x 1 2 x 1 1 x 0 x 0 b. P = 1 §Ó P nguyªn th× x 1 x 1 x 1 2 x 3 x 9 x 1 2 x 1(Loai) VËy víi x= 0;4;9 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: 2 2m 1 4 m 2 m 6 0 25 0 2 x1 x2 m m 6 0 (m 2)(m 3) 0 m 3 x x 2m 1 0 1 1 2 m 2 b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: m 2 3 (m 3) 3 50 5(3m 2 3m 7) 50 m 2 m 1 0 1 5 m1 2 1 5 m 2 2 Bµi 3 Gọi vân tốc của xe đạp là x (km/h), điều kiện x > 0 Thì vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h) Trong 3 giờ: ĐT liên hệ: 118 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An + Xe đạp đi được quãng đường 3x (km), + Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km), theo bài ra ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h) Bµi 4 a. Gi¶ sö ®· t×m ®îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . Khi ®ã: BD//HC; CD//HB v× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A CH  AB vµ BH AC => BD AB vµ CD AC . Do ®ã:  ABD = 900 vµ  ACD = 900 . Q VËy AD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn t©m O H O Ngîc l¹i nÕu D lµ ®Çu ®êng kÝnh AD P cña ®êng trßn t©m O th× B C tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. D b) V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn  APB =  ADB nhng  ADB = ACB nhng  ADB =  ACB Do ®ã:  APB =  ACB MÆt kh¸c:  AHB +  ACB = 1800 =>  APB +  AHB = 1800 Tø gi¸c APBH néi tiÕp ®îc ®êng trßn nªn  PAB =  PHB Mµ  PAB =  DAB do ®ã:  PHB =  DAB Chøng minh t¬ng tù ta cã:  CHQ =  DAC VËy  PHQ =  PHB +  BHC + CHQ =  BAC +  BHC = 1800 Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c). Ta thÊy APQ lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A Cã AP = AQ = AD vµ  PAQ =  2BAC kh«ng ®æi nªn c¹nh ®¸y PQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt  AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay  AD lµ lín nhÊt  D lµ ®Çu ®êng kÝnh kÎ tõ A cña ®êng trßn t©m O ĐT liên hệ: 119 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An PHẦN III: MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN (THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI THƯỜNG GẶP) KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 1 (x2 3)2 12x2 Bµi 1Cho biÓu thøc A = + (x 2)2 8x2 x2 a. Rót gän biÓu thøc A b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho c¸c ®êng th¼ng: y = x-2 (d1) y = 2x – 4 (d2) y = mx + (m+2) (d3) a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m. b. T×m m ®Ó ba ®êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy . Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) a. Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m. 2 2 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x 1 + x 2 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) Bµi 4: Cho ®êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn lît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE. a. Chøng minh r»ng DE// BC b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F 1 1 1 Chøng minh hÖ thøc: = + CE CQ CE a b c Bµi 5: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 1 2 a b b c c a KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 2 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc: ĐT liên hệ: 120 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An x 1 x 1 x 2 x 1 P = : 1 x 3 x 4 x 1 x 1 a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Bµi 2: (2®) Mét ngêi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®êng khã ®i nªn ngêi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i, v× thÕ ngêi ®ã ®Õn B chËm h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ®i xe ®¹p. Bµi 3: (1,5®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2y 3 2x my 1 m a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 3 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = 1 Bµi 4: (3®)Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. §iÓm M tuú ý trªn nöa ®êng trßn.Gäi N vµ P lÇn lît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB. AP c¾t BN t¹iI. a) TÝnh sè ®o gãc NIP. b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®îc. c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn trßn t©m O Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d) a) T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é hai ®iÓm ®ã. b) T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi. KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 3 2 2( x 1) x 10 x 3 Bµi 1(2 ®iÓm): Cho biÓu thøc M x 1 x x 1 x3 1 1. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc cã nghÜa 2. Rót gän biÓu thøc 3. T×m x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 2(2,5 ®iÓm):Cho hµm sè y = 2x2 (P) vµ y = 2(a-2)x - 1 a2 (d) 2 1. T×m a ®Ó (d) ®i qua ®iÓm A(0;-8) 2. Khi a thay ®æi h·y xÐt sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) tuú theo gi¸ trÞ cña a . ĐT liên hệ: 121 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 3. T×m trªn (P) nh÷ng ®iÓm cã kho¶ng c¸ch ®Õn gèc to¹ ®é O(0;0) b»ng 3 Bµi 3(2 ®iÓm): Mét tÊm t«n h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 48cm. Ngêi ta c¾t bá 4 h×nh vu«ng cã c¹nh lµ 2cm ë 4 gãc råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt(kh«ng cã n¾p). TÝnh kÝch thíc cña tÊm t«n ®ã, biÕt r»ng thÓ tÝch h×nh hép b»ng 96 cm3. Bµi 4(3 ®iÓm): Cho ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. H¹ c¸c ®êng cao AD, BE cña tam gi¸c. C¸c tia AD, BE lÇn lît c¾t (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ M, N. Chøng minh r»ng: 1. Bèn ®iÓm A,E,D,B n»m trªn mét ®êng trßn. T×m t©m I cña ®êng trßn ®ã. 2. MN// DE 3. Cho (O) vµ d©y AB cè ®Þnh, ®iÓm C di chuyÓn trªn cung lín AB. Chøng minh r»ng ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp CDE kh«ng ®æi. Bµi 5(0,5 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè (x;y) tho¶ m·n: (x2+1)( x2+ y2) = 4x2y KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 4 C©u 1: (2,0®iÓm) a(2 a 1) a 4 a 2 Cho biªñ thøc A = A 8 2 a a a 2 4 a 1) Rót gän A 2) T×m a ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn 2 x 3 y 3 a C©u2: (2,0®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x 2 y a 1) T×m a biÕt y=1 2) T×m a ®Ó : x2+y2 =17 C©u3: (2,0®iÓm) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh : y = 2x2 , mét ®êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc b»ng m vµ ®i qua ®iÓm I(0;2). 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) 2) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 3) Gäi hoµnh ®é giao ®iÓm cña A vµ B lµ x1, x2 . CMR : x 1 - x 2 2 C©u4: (3,5®iÓm) Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. LÊy D trªn cung AB (D kh¸c A,B), lÊy ®iÓm C n»m gi÷a O vµ B. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa D kÎ c¸c tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng qua D vu«ng gãc víi DC c¾t Ax vµ By lÇn lît t¹i E vµ F . ĐT liên hệ: 122 0917188926, 0969813358
Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hoà Trường THCS Hồng Sơn, tp Vinh, Nghệ An 1) CMR : Gãc DFC b»ng gãc DBC 2) CMR : ECF vu«ng 3) Gi¶ sö EC c¾t AD t¹i M, BD c¾t CF t¹i N. CMR : MN//AB 4)CMR: §êng trßn ngo¹i tiÕp EMD vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp DNF tiÕp xóc nhau t¹i D. C©u5: (0,5®iÓm) T×m x, y tho¶ m·n : 4x y 2 y 2 4x 2 y KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 5 Bµi 1: (2,5 ®iÓm) a 3 a 2 a a 1 1 Cho biÓu thøc P : ( a 2)( a 1) a 1 a 1 a 1 1) Rót gän biÓu thøc P. 1 a 1 2) T×m a ®Ó 1 P 8 Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Mét ca n« xu«i dßng trªn mét khóc s«ng tõ bÕn A ®Õn bÕn B dµi 80 km, sau ®ã l¹i ngîc dßng ®Õn ®Þa ®iÓm C c¸ch bÕn B 72 km. Thêi gian ca n« xu«i dßng Ýt h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 15 phót. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n« biÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h. Bµi 3: (1 ®iÓm) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®å thÞ hai hµm sè y = 2x+3 vµ y = x2. Gäi D vµ C lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B trªn trôc hoµnh. TÝnh SABCD Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iÓm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM . a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh AH.AK theo R. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã . Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho hai sè d¬ng x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x+y = 2. Chøng minh: x2y2(x2+ y2) 2 ĐT liên hệ: 123 0917188926, 0969813358