Đề thi tuyên sinh vào trường trung học phổ thông chuyên Toán năm 2018

Nội dung text: Đề thi tuyên sinh vào trường trung học phổ thông chuyên Toán năm 2018

1. ĐỀ THI TUYÊN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2018 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho số thực x, y không âm thoả mãn (x + 1)(y + 1) = 2. Tính giá trị của biểu thức: q P = x2 + y2 − p2(x2 + 1)(y2 + 1) + 2 + xy Câu 2: Cho các số thực x,y,z không âm thoả mãn x2 + y2 + z2 + x2y2 + y2z2 + z2x2 = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Q = x + y + z Câu 3: 1) Cho biểu thức: (a + b)2 M = a3 + ab2 − a2b − b3 Với a,b là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh ra M không thể nhận giá trị nguyên. 2) Cho a,b là 2 số nguyên dương, đặt: A = (a + b)2 − 2a2,B = (a + b)2 − 2b2 Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương. Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy P sao cho AP vuông góc với PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q. Chứng minh rằng: 1) PB = PQ 2) O là trực tâm tam giác ADE 3) Pd AO = QACd Câu 5: Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu 2 người có số người quen nhau bằng nhau thì kaij không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp) 1) Xây dựng ví dụ để S=870 2) Chứng minh rằng S ≥ 870 1