Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên môn Toán năm 2017 - Đại học Sư phạm hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên môn Toán năm 2017 - Đại học Sư phạm hà Nội (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên ) Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức: 2 3 b a a 2b 3 2 2 a a a ab a b b P : 2 2 1 b a b a b 1 a a b 2 a a với a 0,b 0,a b,a b a2 . 1. Chứng minh P a b . 2. Tìm a,b biết rằng P 1 và a3 b3 7. 1 1 1 Câu 2 ( 1 điểm ) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn: . x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 Hãy tính S . x2 1 y2 1 xy 1 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2ax 4a, với a là tham số. 1 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi a . 2 2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn | x1 | | x2 | 3. Câu 4 ( 1 điểm ) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C ) anh Nam đi với vận tốc không đổi là a (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ ) kể từ B là v 8t a (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S 4t2 at . Tính quãng đường AB, biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16 km. Câu 5 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh M· EP M· DP 2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6 ( 1 điểm ) Các số thực không âm x1, x2 , , x9 thỏa mãn: x1 x2 x9 10 x1 2x2 9x9 18 Chứng minh 1.19x1 2.18x2 9.11x9 270 , đẳng thức xảy ra khi nào?
2. Hướng dẫn giải: b2 a3 a 2b a a a 1 a b b Câu 1 1. Ta có: P : a a b a b a b a b . a a b a a4 a2 2ab b2 a2 a b : a2 a b a b 2 2 a a b a a b a b . a2 a b a2 a b a b a b 1 a b 1 a b 1 2. b 1 Vậy và . 3 3 2 2 a 2 b 1 a b 7 a ab b 7 b 2 loai 1 1 1 Câu 2 Ta có: x2 1 y2 1 xy 1 xy3 y2 xy 1 x3 y x2 xy 1 2x2 2y2 2x2 y2 2 x y 2 xy 1 0 xy 1 Do x y 1 y x Thay vào ta có S 2. 1 Câu 3 1. Với a ta có pt đường thẳng (d) là: y x 2. 2 Khi đó ta có pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 x 2 x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 x 1 1 Vậy với a thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(2;4) và N(-1;1). 2 2. Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 2ax 4a x2 2ax 4a 0 1 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt ' 0 a2 4a 0 a a 4 0 a 4 a 0 Với a 4 hoặc a 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 . x1 x2 2a Theo định lí Vi-ét ta có x1x2 4a
3. Theo đề bài ta có: | x1 | | x2 | 3 2 2 x1 2 | x1x2 | x2 9 2 x1 x2 2x1x2 2 | x1x2 | 9 Thay hệ thức Vi-ét vào ta được: 4a2 8a 8 | a | 9 (2) 9 3 Với a 4 thì 2 4a2 9 a2 a (ktm) Do a 4 4 2 2 1 9 Với a 0 thì 2 4a 16a 9 0 4 a a 0 2 2 1 a 2 9 a (ktm) 2 Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 1 thỏa mãn | x | | x | 3 khi a 1 2 2 a Câu 4 Vì tại C xe dừng hẳn nên thời gian t để xe đi từ B đến C là 8t a 0 t o o o 8 2 2 a a 2 Do đó quãng đường BC là 16 4to ato 4 a. a 256 a 16 8 8 Vậy quãng đường AB là S vt 16.1,5 24 (km) Câu 5 1. M là trung điểm BC BC  OP Ta có tứ giác BMPD nội tiếp M· BP M· DP 1 Tương tự tứ giác MCEF nội tiếp M· EP M· CP 2 Tam giác BCP cân tại P M· CP M· BP 3 Từ 1 , 2 , 3 M· EP M· DP 2. Aµ C· BP ( Cùng chắn cung BC ) Ta có Aµ ·ABC ·ACB 180O và C· BP ·ABC P· BD 180O ·ACB P· BD Mà ·ACB M· PE ( Cùng bù góc E· CM ) và M· PE P· MD (Cùng chắn cung PD do BMPD nội tiếp ) M· PE P· MD MD / /PE Tương tự ME//PD nên MEPD là hbh Suy ra ED đi qua trung điểm F cố định của MP 3. Tam giác ABC đều thì A,O,M,F thẳng hàng và AF  DE , M là trung điểm AP 27 3 S R2 ADE 16 Câu 6 Nhân cả hai vế pt đầu với 9 rồi trừ cho pt sau ta có 8x1 7x2 x8 72 Đặt P 1.19x1 2.18x2 9.11x9 8.1x1 7.2x2 6.3x3 1.8x8 11 x1 2x2 9x9 8.1x 7.2x 6.3x 1.8x 198 1 2 3 8 8x1 7x2 x8 7x2 2.6x3 7x8 198 7x2 2.6x3 7x8 270
4. Vậy P 270 khi x1 9, x2 x8 0, x9 1