Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Ngày thi: 14/06/2017 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (1,5 điểm) x 2 4 x Cho A ; B x 2 x 2 x 4 a) Tính A khi x = 9 b) Thu gọn T = A – B c) Tìm x để T nguyên Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx – 6m – 9 = 0 a) Giải phương trình khi m = 0 2 2 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu thỏa mãn x1 + x2 = 13 Câu 3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2m và giảm độ dài cạnh còn lại 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu. Câu 4 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, B, D, F cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng. BC AC AB c) Chứng minh MD ME MF a5 b5 c5 Câu 4: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 bc ca ab
2. Lượt giải Câu 1: 9 a) Khi x = 9: ta được A 3 9 2 b)ĐK : x 0, x 4 x 2 4 x x. x 2 2. x 2 4 x T A B x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 4 4 x x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 4 x 2 x 4 4 x 6 x 4 Cách 2: A ; B x 2 x 4 x 2 x 4 x 4 x 4 2 x 2 x 6 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 T A B x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 4 c) Từ kết quả câu a, ta có: T 1 (với x 0 , x 4 ) x 2 nên T có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 2 Ư(4) x 2 {2}(vì với x 0 , x 4 thìx 2 2 vàx 2 4 ) x 0 x 0 . Vậy T có giá trị nguyên khi x = 0. Câu 2: Ta có: x2 – 2mx – 6m – 9 = 0 (1) a) Khi m = 0, phương trình (1) x2 9 0 x2 9 x 3 Vậy khi m = 0, phương trình (1) có tập nghiệm là: S = {– 3; 3} 3 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 trái dấu khi và chỉ khi ac 0 6m 9 0 m 2 và hai nghiệm đó thỏa mãn: x1 x2 2m (hệ thức Vi-et) x 1.x2 6m 9 2 2 2 2 Khi đó: x1 x2 13 x1 x2 2x1x2 13 (2m) 2( 6m 9) 13 0 2 4m 12m 5 0 Giải phương trình ẩn m có m1 2,5(loại), m2 0,5 (nhận) Vậy m = – 0,5 Câu 3: Không mất tính tổng quát, giả sử tăng cạnh thứ nhất 2m và giảm cạnh thứ hai 1m. Gọi x(m) là độ dài cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật y (m) là độ dài cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật. ĐK: 0 < x < 12, 1 < y < 12 Diện tích mảnh đất ban đầu là : x.y (m2) Theo đề ta có phương trình: 2 (x+ y) = 24 x y 12 (1) Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2m là: x + 2 (m) Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1m là : y – 1 (m) Diện tích mảnh đất khi thay đổi khích thước: (x + 3) (y – 1) (m2) Theo đề ta có phương trình: (x + 3)(y – 1) – xy = 1 x 2y 3 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 12 x 12 y x 7 x 2y 3 3y 15 y 5
3. Cách 2: Không mất tính tổng quát, giả sử tăng cạnh thứ nhất 2m và giảm cạnh thứ hai 1m. (0 < x < 12) Gọi x(m) là độ dài cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật Độ dài cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật là 24 : 2 – x = 12 – x (m) Diện tích ban đầu của mãnh đất: x(12 – x) = 12x – x2 (m2) Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2m là: x + 2 (m) Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1m là : 12 – x – 1 = 11 – x (m) Diện tích mảnh đất khi thay đổi khích thước: (x + 2)(11 – x) = 22 9x x2 (m2) Ta có phương trình: 22 9x x2 – (12x – x2 ) = 1 21 3x x 7 (thỏa ĐK) 12 x 5 Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7m, 5m. Câu 4: a) Bốn điểm M, B, D, F cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn. Ta có: MD BC, ME  AC, MF AB và (D, E và F là hình chiếu của M trên BC, AC và AB) suy ra M· DB M· FB 900 (1) và M· DC M· EC 900 (2) Theo quỹ tích cung chứa góc thì: A (1) bốn điểm M, B, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính BM (3) (2) bốn điểm M, D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính MC (4) b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng. 1 Từ (3) F·DM F· BM (= sđF»M của đường tròn đường kính BM) 2 O · · · và FBM MCE (cùng bù ABM của tứ giác nội tiếp ABMC) E F·DM M· CE D F·DM M· DE M· CE M· DE 180o (vì MCED là tứ giác nội tiếp) B C Vậy D, E, F thẳng hàng. (5) BC AC AB F c) Chứng minh MD ME MF M S ME AE BD AE AC CE - c/m MEA MDB (g.g) (i) MD BD MD ME ME ME S MF AF CD AF AB BF - c/m MFA MDC (g.g) (ii) MD CD MD MF MF MF S ME CE CE BF - c/m MEC MFB (g.g) (iii) MF BF ME MF BD CD AC CE AB BE AC AB Từ (i), (ii), (iii) suy ra: MD MD ME ME MF MF ME MF BC AC AB Vậy: MD ME MF Cách 2: AC AB AE EC AF FB AE EC AF FB Ta có: ME MF ME MF ME ME MF MF tan A· ME tan C· ME tan A· MF tan F· MB Mà từ (3), (4) và (5) C· ME C· DE B· DF F· MB AC AB Do đó: tan A· ME tan A· MF (6) ME MF Mặt khác, từ các tứ giác AEMF, BDMF, CEDM nội tiếp suy ra: A· ME A· FE B· MD và A· MF A· EF D· MC (7) Từ (6) và (7) suy ra: AC AB BD DC BD DC BC BC AC AB tan B· MD tan M· DC . Vậy ME MF MD MD MD MD MD ME MF
4. Cách 3: Kẻ đường cao MH của tam giác MDF A - MBC và MFE có: 1 M· BC M· FE (= sđ D¼M theo kết quả (4)) 2 1 M· CB M· EF (= sđ D¼M theo kết quả (3)) E 2 S MBC MFE (g.g) D BC MD B C (tỉ số đồng dạng bằng tỉ số 2 đường cao t/ứng) H FE MH BC FE F (8) MD MH M - MFD và MAC có: S M· FD M· AC ( M· BC) và M· DF M· CA (cùng bù M· DF ) MFD MAC (g.g) FD MH FD AC (tỉ số đồng dạng) (9) AC ME MH ME S ED MH AB ED - Tương tự, MED MAB (g.g) (tỉ số đồng dạng) (10) AB MF MF MH AC AB FD ED FE BC BC AC AB Từ (8), (9) và (10) suy ra: . Vậy ME MF MH MH MH MD MD ME MF Cách 4: S MB MD MA MD -c/m MDB MEA (g.g) MB (11) MA ME ME S MD MC MA MD -c/m MDC MFA (g.g) MC (12) MF MA MF Mà MA BC = MB AC + MC AB (định lý Ptoleme) (13) Từ (11), (12) và (13) suy ra: MA MD MA MD AC AB BC AC AB MA BC AC AB BC MD . Vậy ME MF ME MF MD ME MF Cách 5: Trên BC lấy điểm K sao cho C· MK A· MB B· MK A· MC : A S MCK MAB (g.g) 1 2 MDCK SMCK MD 2 MD CK AB CK (14) S MF 1 MF AB MF MD MAB MFAB 2 E S Tương tự: MBK MAC (g.g) D K 1 B C 2 MDBK H SMBK MD 2 MD BK AC BK (15) S ME 1 ME AC ME MD MAC ME AC F 2 AC AB BK CK BC BC AC AB M Từ (14) và (15) suy ra: . Vậy ME MF MD MD MD MD ME MF Bài 5: Ta có: 3(x2 y2 z2 ) (x y z)2 (x y)2 (y z)2 (z x)2 (*) (x y z)2 x2 y2 z2 , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = z (1) 3 Từ (*) cũng suy ra: x2 y2 z2 xy yz zx , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = z (x y z)2 3(xy yz zx) 2 (x y z) (x y z) 3(xy yz zx) 0 (với x, y, z > 0), dấu “=”xãy ra khi và chỉ khi x = y = z
5. 2 (x y z) (x y z) 3(zx yz) 3xy(x y z) 0 (x y z)3 3(x y)z(x y z) 3xy(x y) 3xyz 0 (x y)3 3(x y)z(x y z) z3 3(x y)z(x y z) 3xy(x y) 3xyz x3 y3 3xy(x y) z3 3xy(x y) 3xyz x3 y3 z3 3xyz (với cá số dương x, y, z), dấu “=”xãy ra khi và chỉ khi x = y = z (2) Lần lượt áp dụng (1) và (2) với các bộ ba số dương, ta có: a5 b5 c5 a6 b6 c6 (a3 b3 c3 )2 (a3 b3 c3 )3abc a3 b3 c3 bc ca ab abc 3abc 3abc a5 b5 c5 Vậy a3 b3 c3 , dấu “=”xãy ra khi và chỉ khi a = b = c bc ca ab