›
›
›

Bài tập Hình học lớp 9

pdf 64 trang mainguyen 13141
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_hinh_hoc_lop_9.pdf

Nội dung text: Bài tập Hình học lớp 9

  1. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Hệ thức lượng trong tam giác 1. a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A. Biết rằng AB = 7cm, AC = 9cm. Tính BH, CH, AH. b) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 9cm. Tính AH, AB, AC. 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết BC = a, AH = h. Tính độ dài cạnh bên theo a, h. 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM AB3 vuông góc với AB tại M. Chứng minh rằng BM = . BC2 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết tỉ số hai cạnh góc 4 vuông là , độ dài cạnh góc vuông nhỏ bằng 6cm. Tính 5 độ dài cạnh huyền, độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền. 5. Tam giác ABC có AB = 48cm, AC = 14cm, BC = 50cm. Tính độ dài đường phân giác của góc C. 6. Tam giác ABC có cạnh AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm. Tính độ dài cạnh BC. 7. Hình thang ABCD có AB = 15cm, CD = 20cm. Cạnh bên AD = 12cm và vuông góc với hai đáy. Tính độ dài cạnh BC. 8. Tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh đáy bằng 18cm. Tính độ dài các đướng cao. 1
  2. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 9. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = c, CB = b. Cho 2 biết diện tích tam giác là S = bc. Tính cạnh BC theo 5 b, c. 10. Tính diện tích của hình thang có độ dài các đáy là a, b(a > b) các góc kề với đáy lớn lần lượt là 30o và 45o. 11. Cho tam giác ABC có BAC[ > 90o. Kẻ đường cao CH. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 + 2.AB.AH. 12. Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) AED\ = ABC[ 13. Cho tam giác nhọn ABC với BD, CE là hai đường cao. Các điểm N, M trên các đường thẳng BD, CE sao cho AMB\ = ANC\ = 90o. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 14. Cho hình thoi ABCD có Ab = 120o. Tia Ax tạo với AB một góc BAx[ một góc bằng 15o và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. 1 1 1 Chứng minh rằng: + = AM 2 AN 2 3AB2 15. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD. 16. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC, CA là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng HM = 2. 2
  3. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 17. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI 18. Chứng minh rằng trong một tam giác: a) Bình phương của cạnh đối diện với góc nhọn bằng tổng các bính phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. b) Bình phương của cạnh đối diện với góc tù bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia cộng với hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. 19. Qua điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC ta kẻ các đường vuông góc DH và DK lần lượt xuống các cạnh AB và AC. Chứng minh hệ thức: DB.DC = HA.HC + KA.KC 20. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: EB AB3 a) = FC AC3 b) BC.BE.CF = AH3 21. Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến CM. Ta kẻ đường cao MH của tam giác MBC và đặt trên tia AB đoạn AD = BH. Chứng minh rằng tam giác CDM cân. 22. Tam giác ABC cân tại A, gọi I là√ giao điểm của các đường phân giác. Biết rằng IA = 2 5cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB. 3
  4. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 23. Tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD dài 45cm, đường cao AH dài 36cm. Tính các độ dài BD, DC. 24. Không dùng bảng số và máy tính, tính : sin 15o. 25. Chứng minh các công thức sau: a) sin 2α = 2 sin α. cos α b) 1 + cos 2α = cos2α 26. Tam giác ABC có Ab = Bb + 2Cb và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các cạnh của tam giác. 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 a) S = AB.AC sin BAC[ nếu BAC[ ≤ 90o. ABC 2 1 b) S = AB.AC sin(180o − BAC[ ) nếu BAC[ > 90o. ABC 2 28. Với mọi góc nhọn α, chứng minh: 1 a) tgα = cotgα tgα sin2 α b) = cotgα cos2 α c) sin2 α − cos4 α = sin2 α − cos2 α √ 29. Cho√ tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 3cm, AC = 2 5. Tính BC, tính các góc B, C. 30. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O và không vuông góc với nhau. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G, I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC, AOD. a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác 4
  5. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt IEG và HFK đồng dạng. b) Chứng minh rằng IG⊥HK 31. Cho tam giác có ba góc nhọn. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. a b c Chứng minh rằng: = = sin Ab sin Bb sin Cb 32. Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 − 2bc. cos Ab 33. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng A a minh rằng: sin ≤ √ . 2 2 bc A B C 1 Từ đó suy ra: sin . sin . sin ≤ 2 2 2 8 34. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc nhau. Chứng minh rằng cot B + cot C ≥ 2 3 1 35. Cho góc nhọn α. Tìm giá trị lớn nhất nhất của: + sin4 α 1 . cos4 α 5
  6. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Định nghĩa và sự xác định đường tròn 1. Tính bán kính đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác cân có cạnh đáy bằng đường cao tương ứng h. 2. Hình chữ nhật ABCD có các đỉnh thuộc đường tròn (O; R). Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm M ∈ (O) đến các đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí của M và tính tổng đó theo R. 3. Cho hình thang cân ABCD ( đáy nhỏ AB), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: a) Độ dài đường cao và độ dài đường trung bình của hình thang là bằng nhau. b) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AC cố định. BD là dây cung vuông góc với AC. a) Viết công thức tính diện tích tứ giác ABCD theo hai đường chéo AC, BD. b) Tìm vị trí của dây BD lúc ABCD có diện tích lớn nhất, chứng tỏ lúc ấy ABCD là hình vuông. 5. Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 5cm và dây cung BA = 3cm. a) Chứng tỏ 4ABC vuông tại A, tính độ dài AC và đường cao AH của 4ABC. b) Gọi D là đỉnh của 4BCD có CD = 3cm, BD = 4cm. Chứng tỏ D nằm trên đường tròn (O). 6
  7. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. a) Xác định tâm O của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. b) Vẽ đường cao AH và đường kính AD. Chứng tỏ hai tam giác CAH, DAB đồng dạng, suy ra AB.AC = AH.AD. 7. Cho tam giác ABC (Ab 6= 90o), đường tròn có đường kính BC cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. Hai đường thẳng CD, BE cắt nhau tại H. Chứng tỏ H là trực tâm của 4ABC và suy ra AH vuông góc với BC. 8. Cho đường tròn (O) có đường kính BC cố định và điểm A ∈ (O). Trên tia đối của tia AB lấy đoạn AD = AC,trên tia đối của tia AC lấy đoạn AE = AB. a) Chứng tỏ 4ABC và 4AED bằng nhau. b) Đường thẳng qua đường cao AH của 4ABC cắt DE tại M. Chứng tỏ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. c) Chứng minh AO⊥DE 9. Cho hai điểm A và B cố định. Một đường thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d. a) Tìm quỹ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A. b) Xác định vị trí của để BP có độ dài lớn nhất. Xác định vị trí của d để BP có độ dài bé nhất. 10. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); BC = CD = 1 AD = a. 2 a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh AC⊥OB. 7
  8. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 11. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác; N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh ONP Q là hình bình hành. 12. Cho tam giác ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tâm S đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D, E, cắt đường tròn (O) tại H, K(các điểm xếp theo thứ tự D, H, E, K) a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ABC[ , CK, CH là những đường phân giác của góc ACB[ . b) Chứng minh rằng BDAE, AHCK là những hình chữ nhật. 13. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH⊥OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH. a) Khi M chạy trên cung AC thì điểm P chạy trên đường nào? b) Tìm những điểm P chạy trên bán kính PM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp (O) 14. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Lấy điểm C tùy ý trên đường tròn. Trên tia AC, lấy điểm M sao cho AM = BC. Điểm M chạy trên đường nào khi C chạy trên đường tròn (O). 8
  9. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Tính chất đối xứng 1. Trong đường tròn (O; R) cho dây cung AB di động nhưng có độ dài không đổi AB = l. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh OI⊥AB b) Tính độ dài OI theo R, l và suy ra I di động trên một đường tròn cố định 2. Cho tam giác ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có độ dài cạnh AB = AC = R. a) Chứng minh rằng tia AO là phân giác của góc BAC[ b) Chứng tỏ BC > AB, suy ra thứ tự khoảng cách từ tâm O đến các cạnh của tam giác ABC. c) Tính theo R độ dài cạnh BC, chiều cao hạ từ A và diện tích của 4ABC 3. Trong đường tròn (O; R√) cho dây cung di động AB có độ dài không đổi l = R 3. Chứng minh rằng các trung điểm I của AB thuộc một đường tròn cố định tâm O R bán kình r = . 2 4. Cho đường tròn (O) có đường kính BC vuông góc với dây cung AD tại H. a) Chứng minh hai tam giác BAD, CAD cân và tứ giác BACD có các góc đối diện bù nhau. b) Chứng tỏ HB.HC = HA2 = HD2. 5. Trong đường tròn (O; R) có hai bán kính OA, OB vuông góc nhau, M là trung điểm của AB. a) Chứng minh OM⊥AB. b) Tính đột dài AB, OM theo R. 9
  10. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt c) Cho A, B di động nhưng vẫn có OA⊥OB. Chứng minh các điểm M thuộc về một đường tròn cố định. 6. Trên đường trình (O; R) có ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A. a) Cho trước A hãy vẽ B, C. b) Chứng tỏ AO là tia phân giác của góc BAC và đường thẳng AO là trung trực của BC. c) Cho biết R = 5cm, AB = 8cm và gọi A0 là điểm đối xứng của A qua O. Tính độ dài các đoạn thẳng BA0, BC. 7. Cho 4ABC đều có cạnh a, chiều cao AH. a) Hãy vẽ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Chứng tõ 4OHB là nửa tam giác đều. Tính OH, h, a theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Dựa vào vị trí cùa H trên đường kính AD mà suy ra một các vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên một đường tròn cho trước. 8. Gọi I là trung điểm của dây cung không qua tâm AB của đường tròn (O; R) a) Chứng minh OI⊥AB b) Qua I vẽ dây cung EF , chứng tỏ EF ≥ AB. Tìm độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của các dây cung quay quanh I c) Cho R = 5cm, OI = 4cm, tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I. 9. Cho điểm A cố định trong đường tròn (O; R) và MN là dây cung quay quanh A. a) Chứng minh rằng trung điểm I của các dây cung MN 10
  11. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt thuộc về đường tròn cố định có đường kính OA b) Tia OI cắt đường tròn tại C. Chứng tỏ tứ giác OACB là hình thoi, tính diện tích của OACB theo R. 10. Trong một đường tròn tâm O, cho hai dây AB và CD song song với nhau. Biết AB = 30cm, CD = 40cm; khoảng cách giữa AB và CD là 35cm. Tính bán kính của đường tròn. 11. Cho đường tròn tâm A bán kính AB. Dây EF kéo dài cắt đường thẳng AB tại C (E nằm giữa F và C). Hạ AD⊥CF . Cho AB = 10cm; AD = 8cm; CF = 21cm. Tính CE và CA. 12. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh: a) Tam giác AEF cân b) OD⊥OE c) D, A, E, O cùng nằm trên một đường tròn. 13. *Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Dựng ra phía ngoài tam giác các hình chữ nhật ACDE và BCF G có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng OC đi qua trung điểm N của DF . 14. Cho đường tròn (O) cố định và dây cung AB không qua tâm cố định của (O). C là điểm do động trên cung AB. M là trung điểm BC. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại H. a) Chứng minh rằng MH luôn đi qua một 11
  12. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt điểm cố định. b) Tìm đường di chuyển của M khi C di chuyển trên cung nhỏ AB. 12
  13. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn 1. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O; R) gặp nhau tại C. Đường vuông góc với OA kẻ từ O gặp BC tại D; đường vuông góc với AC kẻ từ C gặp OB tại E. a) Chứng mình rằng các tam giác DOC và EOC là các tam giác cân. b) Suy ra DE là đường trung trực của đoạn OC. c) Tính khoảng các OC theo R để tam giác EOC đều. Lúc đó chứng tỏ D là trọng tâm của tam giác EOC. 2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB và hai tiếp tuyến (a), (b) tại A và B. Một tiếp tuyến khác tại M cắt (a), (b) lần lượt tại C và D. a) Chứng minh rằng: CD = AC + BD b) Chứng tỏ tam giác COD vuông và đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. c) Với vị trí nào của điểm M thì tổng AC + BD nhỏ nhất. d) Chứng minh hệ thức: AB2 = 4.AC.BD 3. Qua điểm P ở bên trong đường tròn (O) ta kẻ hai dây AB và CD vuông góc và bằng nhau. Mỗi dây bị điểm P chia thành hai đoạn thẳng dài 3cm và 21cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây và bán kính đường tròn. 4. Cho đường tròn (O; R) và hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn. Kẻ AD (D nằm giữa O và M) sao cho MAD\ = 45o. a) Chứng minh DO.BM = AO.DM 13
  14. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt b) Chứng minh BD là đường phân giác của OBM\ c) Từ M kẻ đường thẳng song song với OB, đường thẳng này cắt OA tại N. Chứng minh NO = NM. 5. Cho đường tròn (O; R), hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn, AB cắt OM tại H. a) Chứng minh AM.BM = MH.MO OA b) Đường thẳng OA cắt MB tại N. Chứng minh = ON MB MN c) Từ O kẻ OK song song với AM( K Thuộc MB). Chứng minh OK = MK. 6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn và tia Oz vuông góc với AB (các tia Ax, By, Cz cùng phía với nửa đường tròn đối với AB). Gọi E là điểm bất kì của nửa đường tròn. Qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax, By, Oz theo thứ tự tại C, D, M. Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì: a) Tích AC.BD không đổi. b) Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật. Tính diện tích nhỏ nhất đó. 7. Cho hình thang vuông ABCD (Ab = Db = 90o), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD. a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA). b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a. c) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I) nói trên. K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với DC. 14
  15. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH,BH = 20cm, HC = 45cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H). a) Tính diện tích tứ giác BMNC. b) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK, KN. c) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Tính các độ dài IM, IB 9. Trên một đường thẳng d cho hai điểm A, B. Các tia Ax, By nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d và cung vuông góc với d. Trên Ax lấy một điểm C và trên By lấy một điểm D thỏa mãn hệ thức: AB2 = 4.AC.BD. Vẽ các đường tròn tâm C và D theo thứ tự tiếp xúc với d tại các điểm A và B. Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc với nhau. 10. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax của (O) ta lấy điểm C và trên tiếp tuyến By của (O) ta lấy điểm D sao cho AC + BD = CD. Chứng rằng CD tiếp xúc (O). 11. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Đặt BC = a, CA = b, AB = c, p là nửa chu vi tam giác.Chứng minh rằng: a) Diện tích của tam giác ABClà S = pr b) AE = AF = p − a; BD = BF = p − b; CD = CE = p − c 12. Cho đường trònh (O) có đường kính AB. Tiếp tuyến tại điểm M thuộc (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B của 15
  16. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt (O) lần lượt tại B vàC. Vẽ đường tròn (I) có đưo27ng kính CD. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với (I) tại O. √ 13. Trên tiếp tuyến tại A thuộc (O; R) lấy đoạn IA = R 3 a) Tính độ dài OI theo R và số đo các góc của tam giác AOI b) Kéo dài đường cao AH của tam giác AOI cắt (O) tại B, chứng tỏ IA = IB và IB cũng là tiếp tuyến của (O) c) Chứng tỏ tam giác AIB đều. 14. Cho góc xOyd = 60o. Một đường tròn tâm I bán kính R = 5cm tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ điểm M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, Oy tại F . a) Tính chu vi tam giác OEF , chứng minh rằng chu vi đó không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh rằng EOF[ có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I, đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính CH cắt AC tại F . Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F . 16. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) KH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. 17. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm 16
  17. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính BD cắt tiếp tuyến CB tại E. a) Tứ giác AECD là hình gì? b) Chứng minh tam giác HCE cân tại H. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. 18. Cho nửa đường tròn đường kínhAB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến qua M, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A0 là giao điểm BM với Ax, B0 là giao điểm AM vớiBy. Chứng minh: a) 4A0AB và 4ABB0 đồng dạng, suy ra AA0.BB0 = AB2. b) CA = CA0, DB = DB0 c) Ba đường thẳng B0A0, DC, AB đồng qui. 19. Ba đường tròn nằm trong tam giác ABC có cùng bán kính a, cùng đi qua một điểm sao cho cứ hai đường tròn lấy theo đôi một thì cùng tiếp xúc với một cạnh của tam giác ABC. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp 4ABC theo R và a. 20. Cho đường tròn bán kính r nội tiếp 4ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D, với AC tại E, với AB tại F . Vẽ đường kính DD0. Cho BD\0C = 90o, BC = a, CA = b, AB = c. Tính độ dài AE, AF theo a. 21. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC (AB > AC)tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi R, S lần 17
  18. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA và T là giao điểm của PQ và RS. Chứng minh rằng T nằm trên đường phân giác của góc B. 22. Cho tam giác ABC có AB < AC < BC. Trên hai cạnh AC, BC lấy D, E sao cho AB = AD = AE. Xác định vị trí tương đối giữa DE và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 23. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đoạn AB lấy 1 điểm C. Dựng đường tròn tâm I đường kính BC. Đường trung trực của AC cắt (O) tại D, DB cắt (I) tại N. Chứng minh rằng: a) OD = MI (M là trung điểm của AC) b) IN = OM c) 4OMD = 4INM, suy ra MN là tiếp tuyến của (I). 24. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại hai điểm B, C. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D nằm trên một đường thẳng cố định. 25. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại C cắt AB tại D. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác trong góc OCD\, đường thẳng này cắt CD tại M. Chứng minh rằng M thuộc một đường cố định khi C di chuyển trên nửa đường tròn. 26. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M thay đổi trên cạnh BC. Gọi D là tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AB tại B; E là tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AC tại C. a) Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. b) Chứng 18
  19. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt minh rằng trung điểm N của DE thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên cạnh BC. 27. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By. Tiếp tuyến tại một điểm M bất kì trên nửa đường tròn cắt Ax tại C và cắt By tại D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. P là giao điểm của OC và AN, Q là giao điểm của OP và BM.Chứng minh rằng: a) MN//AC b) P Q//AB c) Ba điểm P, N, Q thẳng hàng. 28. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH. 19
  20. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác 1. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r) và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại D, E, F . Chứng minh rằng: a) AB + AC − BC = 2AD 1 b) S = pr (P là nửa chu vi của tam giác ABC) ABC 2 c) ha + hb + hc = 9r 2. Cho tam giác ABC với AC > BC. Đường trung tuyến CD tiếp xúc với các đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD tại E và F . Chứng minh hệ thức: AC − BC = 2EF . 3. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại D, biết rằng: AC.BC = 2.AD.DB. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C. 4. Tam giác ABC có chu vi 80cm và ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC cắt AB theo thứ tự tại M, N. a) Cho biết MN = 9, 6cm. Tính độ dài BC. b) Cho biết AC − AB = 6cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC để MN có độ dài lớn nhất. 5. Cho một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm, diện tích bằng 24cm2. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (O; r), (O1, r1), (O2, r2) theo thứ tự là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh 20
  21. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt rằng: a) Chứng minh rằng: r + r1 + r2 = AH 2 2 2 b) Chứng minh rằng: r = r1 + r2. 7. * Tính các góc của một tam giác vuông biết rằng tỉ số giữa bán kính√ đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp bằng 3 + 1. 8. Đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với các cạnh của tam giác ABC cắt từ tam giác ABC thành 3 tam giác nhỏ. Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác nhỏ đó. Chứng minh rằng r = r1 + r2 + r3. 9. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài IG. 10. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF . Chứng minh rằng BHE\ = CHF\. 11. Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B trong cùng một nửa mặt phẳng là đường thẳng d ta dựng hai tia Ax, By cùng vuông góc với d và trên Ax lấy một điểm C, trên tia By lấy một điểm D. Chứng minh rằng điều kiện cần cà đủ để CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB là: a) AB2 = 4.AC.BD b) CD = AC + BD. 12. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD⊥xy và BC⊥xy. 21
  22. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh rằng MC = MD. b) Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không phụ thuộc và vị trí điểm M trên nửa đường tròn đường kính AB. c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. 13. *Cho nửa đường tròn đường kính AB. Một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn. Hạ CH⊥AB ( H thuộc AB). Gọi O1,O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHC, BHC. BO2 cắt AO1,CO1 tại I và K. CI cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng: a) I là trực tâm của tam giác CO1O2. b) 4IKC = 4O1KO2, suy ra CI = O1O2. c) DA = DB = DI d) Khi OA = CB thì O1O2 đạt giá trị lớn nhất. 14. Cho tam giác đều ABC (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. M ∈ cạnhAB, N ∈ cạnhAC. Đặt AB = a. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (I) khi và chỉ khi: a) AM + AN + MN = a AM AN b) + = 1 BM NC 15. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi r là bán kính đường√ tròn nội tiếp tam giác 2 ABC. Chứng minh rằng: r = SABC + R − R 16. Cho tam giác ABC và đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác. Các tiếp tuyến với (I) song song với các cạnh của tam giác và tạo với các cạnh này 3 tam giác nhỏ. Gọi 22
  23. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt r1, r2, r3 là các bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác này. Chứng minh rằng r = r1 + r2 + r3 17. Cho tam giác ABC cân tại A có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi ra, rb, rc là lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp của góc A, B và C. a) Tính các cạnh của tam giác theo r, ra 1 1 1 1 b) Chứng minh + + = . Từ đó suy ra rb, rc ra rb rc r theo r, ra. 18. *Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường vuông góc với CI tại I cắt AC tại M, AB tại N. Chứng minh rằng: a) AM.AN = IM 2 = IN 2 IA2 IB2 IC2 b) + + = 1 bc ac ab 19. *Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa bán kính√ đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác bằng 3 + 1 23
  24. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Vị trí tương đối giữa hai đường tròn 1. Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R, H là điểm nằm giữa B và C. Gọi (O1), (O2) là hai đường tròn có đường kính lần lượt là HB, HC. a) Chứng tỏ các đường tròn (O), (O1), (O2) đôi một tiếp xúc nhau. b) Từ một điểm I bất kì trên đường tiếp tuyến chung tại H của (O1) và (O2), vẽ các tiếp tuyến IE, IF đến (O1), (O2). Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác EHF có tâm là I. 2. Cho hai đường tròn (O; R), (O0; r) với R = 12, r = 5, d = OO0 = 13 a) Chứng tỏ hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm A và B. b) Chứng tỏ 4AOO0 vuông, suy ra các tiếp tuyến vẽ từ tâm đường tròn này đến đường tròn kia là các đường nào? c) Tính độ dài AB 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, I là điểm đi động trên (O). Gọi C là điểm đối xứng của B qua AI. a) Chứng tỏ 4AIB vuông và 4ABC cân. b) Chứng tỏ C thuộc đường tròn tiếp xúc với (O) tại B. 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O0; R0) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O0). a) Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) tại M, cắt (O0) tại N. Tìm vị trí của cát tuyết để độ dài MN lớn nhất. 24
  25. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 5. Cho điểm A nằm giữa hai điểm O, O0 cố định: a) Chứng tỏ hai đường tròn (O; OA = R) và (O0; O0A = R0) tiếp xúc ngoài nhau. b) Gọi a là tiếp tuyến chung tại A và a cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại D; E là điểm đối xứng của A qua D. Chứng tỏ BD = DC và ABEC√ là hình chữ nhật. c) Chứng minh rằng AE = 2 RR0 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Chứng tỏ ba đường tròn đường kính BC, BH, HC tiếp xúc đôi một. b) AB cắt đường tròn đường kính BH tại D; AC cắt đường tròn đường kính CH tại E. Chứng minh DE = AH. c) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của cả hai đường tròn đường kính BH, CH. 7. Cho hai đường tròn (O; R) và (O0; R0) có bán kính R = 3cm, R0 = 2cm, OO0 = 7cm. Gọi AA0 là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn. Từ O0 kẻ O0H⊥OA. a) Chứng tỏ AA0O0H là hình chữ nhật và O0H là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính r = 1cm. b) Suy ra cách vẽ tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O0). c) Tương tự gọi BB0 là tiếp tuyến chung trong của (O) và (O0). Từ O0 kẻ O0K⊥OB. Chứng tỏ O0K kà tiếp tuyến tuyến của đường tròn tâm O, bán kính r0 = 5cm. Suy ra cách vẽ tiếp tuyến chung trong của (O) và(O0) 8. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt đường thẳng DE tại F . 25
  26. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh hai đường tròn (A; AD) và (B; BE) tiếp xúc nhau. b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng. 9. Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định thuộc đường tròn. Đường thẳng d ở ngoài đường tròn. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d, đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. 10. Cho hai đường tròn tâm O, O0 bán kính lần lượt là 3R, R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng d1 qua A cắt 0 0 (O) tại B, cắt (O ) tại B . Đường thẳng d2 vuông góc 0 0 với d1 tại A cắt (O) tại C và (O ) tại C . a) Chứng minh rằng BC0,CB0 và OO0 đồng qui tại một điểm M cố định. b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP 0 và TT 0 cắt nhau tại M. c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC. Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và d2 thay đổi vị trí( vẫn qua A và vuông góc với nhau) 11. Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quan xung quan A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O0) tại C. a) Chứng minh OB//O0C b) Gọi C0 là điểm đối xứng của C qua O0. Chứng minh B, A, C0 thẳng hàng. c) Qua O vẽ d⊥AB, nó cắt BC tại M. Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vuông góc với nhau. 12. Cho tam giác nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính R tiếp xúc với AC tại 26
  27. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt E, tiếp xúc với CB tại F . Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) tại K và tiếp xúc với hai cạnh AB, BC của tam giác ABC. Chứng minh C, O, D thẳng hàng. 13. *Cho 3 đường tròn ngoài nhau và có tâm cùng nằm trên một đường thẳng. Đường tròn thứ tư tiếp xúc với cả ba đường tròn đã cho. Chứng minh rằng bán kính đường tròn thứ tư sẽ lớn hơn bán kính của ít nhất một trong ba đường tròn đã cho. 14. *Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng BD = CM. 15. Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H.M, N lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng EF . Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF ∼ 4ABC b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF . c) A, B, C là tâm của các đường tròn bàng tiếp của tam giác DEF . d) DE + DF = MN 16. Hai đường tròn (O) và (O0) có cùng bán kính R, cắt nhau tại A và B, trong đó OAO\0 = 90o. Vẽ cát tuyến chung MAN, M thuộc (O), N thuộc (O0). Tính AM 2 + AN 2 theo R. 17. Cho ba đường tròn tâm O1,O2,O3 có cùng bán kính và cùng đi qua một điểm I. Gọi các giao điểm khác của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Chứng minh rằng: a) 4ABC = 4O1O2O3 b) I là trực tâm của tam giác ABC. 27
  28. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Liên hệ giữa cung và dây cung 1. Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm I, đường kính AB, và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại H. a) Chứng minh điểm H nằm trên cạnh BC. b) Một cát tuyến d đi qua A cắt đường tròn (I) tại E, cắt đưo27ng tròn (K) tại F (A nằm giữa E và F ). Hãy nêu các đặc điểm của tứ giác BCEF c) D ở vị trí nào thì A là trung điểm của EF . 2. Cho hai đường tròn đồng tâm (O, r) và (O, R). Tìm quĩ tích những điểm M sao cho từ đó ta vẽ các tiếp tuyến MP với (O, R) và MQ với (O, r) và MP ⊥MQ 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy điểm C, D không trùng A, B. Từ C kẻ CH vuông góc AB, nó cắt tiếp đường tròn tại E. Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt tiếp đường tròn tại F . Chứng minh DE = BF 4. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. a) Chứng minh điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, nằm trên phân giác của góc BAC[ b) Điểm I là điểm đặc biệt gì đối với tam giác ABC. 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại H. Một đường thẳng d đi qua A, thuộc miền ngoài tam giác cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn 28
  29. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt (K) tại F . a) Tìm quĩ tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vị trí. b) Xác định vị trí của d để BCEF có chu vi lớn nhất. 29
  30. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Góc nội tiếp 1. Cho đường tròn (O; R), các√ dây AB, CD,√ EF có độ dài như sau: AB = R, CD = R 2, EF = R 3. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD , EF. 2. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BC. D là điểm trên nửa đường tròn sao cho số đo cung nhỏ CD bằng 60o. Gọi M là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng BM = 2CM. 3. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (điểm H nằm trên cạnh BC). Tính bán kính của đường tròn. 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2cm, dây CD song song với AB(C thuộc cung AD). Tính độ dài các cạnh của hình thang ABDC biết chi vi hình thang bằng 5cm. 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 12cm. Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) ở M và cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở N. Gọi I là trung điểm của MN. Tính độ dài AN biết rằng AI = 13cm. 6. Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, AC = b, AB = c và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. a b c Chứng minh rằng: = = = 2R sin A sin B sin C 7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. 30
  31. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc OAH. b) Cho BAC[ = 60o, chứng minh IO = IH 8. *Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. a) Chứng minh rằng MA = MB + MC. b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh MD MD rằng + = 1. MB MC c) Tính tổng MA2 + MB2 + MC2 theo R. 9. Cho điểm A nằm bên trong đường tròn đường kính BC (A không thuộc BC). Kẻ các dây BE và CF qua A. Các đường thẳng BF và CE cắt nhau tại D. a) A là điểm đặc biệt gì của tam giác BCD; D là điểm đặc biệt gì của tam giác ABC? b) Chứng minh rằng khi đường kính BC quay xung quanh tâm của đường tròn thì AD luôn vuông góc với BC. 10. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AH; AD là đường kính; M là điểm chính giữa cung BC không chứa A. Chứng minh: a) BAH\ = CAD\; BAD\ = CAH\ b) Tia AM là phân giác của góc HAD\ 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). D là điểm chính giữa cung AC không chứa B. Ta kẻ dây DE song song với cạnh AB, cắt BC tại I. Chứng tỏ các tam giác ICE và IBD cân. 12. Hai dây AB và CD của một đường tròn (O; R) cắt nhau ở M. Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD = R2 − OM 31
  32. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 13. *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), gọi (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, H là tiếp điểm của AB với đường tròn (I), D là giao điểm của AI với đường tròn (O), DK là đường kính của đường tròn (O). Gọi d là độ dài của OI. Chứng minh rằng: a) Tam giác AIH và tam giác KCD đồng dạng. b) DI = DB = DC. c) IA.ID = R2 − d2. d) d2 = R2 − 2Rr (Định lí Euler). 14. Cho tam giác ABC vân tại A nội tiếp đường tròn (O; R). Ta kẻ dây AM cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng tam giác ABN đồng dạng với tam giác AMB b) Chứng minh rằng tích AM.AN không phụ thuộc vào vị trí của M và tính tích đó theo R và đường cao h của tam giác ABC kẻ từ A. 15. Tứ giác ABCD có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn (O; R) (A, C cố định), hai đỉnh còn lại di chuyển trên hai cung tròn nhận A và C là hai đầu mút. a) Chứng tỏ các tia phân giác của các góc B và D đi qua hai điểm cố định E, F . b) Chứng minh rằng đường thẳng EF là trung trực của dây AC. c) Với vị trí nào của hai đỉnh B, D thì tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của diện tích đó khi số đo cung ABC bằng 120o. 16. Tam giác ABC vuông tại A, có AN là trung tuyến. Ta vẽ đường tròn tâm O thuộc cạnh AC và tiếp xúc với BC ở D. Từ B ta kẻ tiếp tuyến BT (khác BC) có T là tiếp điểm. Tiếp tuyến này cắc AN ở M. a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, D, O, T cùng thuộc 32
  33. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt một đường tròn. b) So sánh MA và MT 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trònh (O). Gọi D là điểm chính giữa cung BC không chứa A. Ta kẻ qua D các đường song song với AB và AC, chúng cắt AC ở M và AB ở N. a) Chứng minh AD vuông góc với MN. b) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AMDN là hình vuông. 18. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H. Lấy điểm M tùy ý trên đường tròn. Hai đường thẳng CM và AB cắt nhau tại F . Hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại E. a) Chứng mình hai tam giác EMB và EAD đồng dạng. EB FB b) Chứng minh = EA FA 19. Hai đường tròn tâm O và O0 cắt nhau tại M và N. Trên đường tròn (O)lấy ba điểm A, B, C. Các đường thẳng MA, MB, MC cắt đường tròn (O0) tại A0,B0,C0 NA a) Tính tỉ số theo các bán kính r, r0 của các đường NA0 tròn (O), (O0). b) Chứng minh rằng 4NAB ∼ 4NA0B0, 4ABC ∼ 4A0B0C0 20. Cho đường tròn tâm O và điểm P ở ngoài (O). Vẽ đường tròn (P ; PO). Hai đường trònh (O) và (P ) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OP cắt đường trònh (P ) tại điểm thứ hai C a) Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Lấy điểm D thuộc cung BA của đường tròn (P ) ( 33
  34. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Cung chứa điểm C). Chứng minh rằng DO là tia phân giác của góc ADB\. c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn (O). Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAD\ 21. Cho đường tròn đường kính AB. Lấy điểm M trên đường tròn ( khác A, B) sao cho MA < MB. Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE ( E thuộc đoạn MB). Gọi F là giao điểm của DE và AB. a) Chứng minh 4ADF ∼ 4BMA b) Lấy C làm điểm chính giữa cung AB( không chứa M). Chứng minh CE = CE = CA. c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB. 22. 34
  35. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây cung 1. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng đi qua B cắt (O) tại M và (O0) tại N ( M, N khác B). Các tiếp tuyến tại M và N của hai đường tròn căt nhau tại P . a) Tính MPM\ cho biết MAN\ = α. b) Chứng tỏ rằng tam giác MNP vuông tại P khi và chỉ khi OAO\0 = 90o 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại C cắt cạnh AC tại D và cạnh BC tại E. Chứng tỏ hai tam giác ABC và DEC đồng dạng và CA.CD = CB.CE 3. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và CH là đường cao. M, N là hình chiếu của đỉnh C lần lượt trên các tiếp tuyến ở A và B của đường tròn. a) Chứng tỏ 4ACH ∼ 4BCN, 4BCH ∼ 4ACM. b) So sánh CM + CN và 2CH c) Tam giác ABC phải thỏa điều kiện gì để CM +CN = 2CH? 4. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) ta kẻ một tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đường tròn tại B và C. Chứng minh hệ thức: MA2 = MB.MC = OM 2 − R2 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Qua đỉnh B ta kẻ một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn, đường này cắt AC tại M. a) Chứng minh hệ thức AB2 = AC.AM. 35
  36. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt b) Chứng tỏ rằng đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đi qua B, C và M. 6. Cho hao đường tròn cắt nhau tại A và B. M là điểm thuộc đường thẳng AB và ở ngoài đường tròn đã cho. Từ M ta kẻ các tiếp tuyến MC, MD đến một đường tròn và các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn còn lại. Chứng tỏ bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. 7. Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Kẻ dây BD song song với AC. Gọi I là giao điểm của CD với đường tròn. Chứng minh rằng IAB[ = IBC[ = ICA[. 8. *Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính 5cm. Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt tia phân giác của góc B tại K. Tính độ dài BK, biết rằng BK cắt AC tại D và BD = 4cm. 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I. IB AB2 a) Chứng minh rằng = IC AC2 b) Tính IA, IC biết rằng AB = 20cm, AC = 28cm, BC = 24cm. 10. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC0 (C ∈ (O),C0 ∈ (O0)), kẻ đường kính COD. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO0 với C0D, CC0. Chứng minh rằng: a) EAF[ = 90o (A, C, C0 nằm cùng phía đối với OO0) b) FA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CAC0. 36
  37. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Góc có đỉnh bên trong hay bên ngoài đường tròn 1. Cho hai đường kính AB và CD vuông góc của đường tròn (O) và M là điểm thuộc bán kính OA. Kẻ dây DE qua M. Tiếp tuyến tại E cắt AB tại F . a) Chứng minh tam giác FME cân. b) Chứng minh FM = F A.F B. c) FD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh FM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE. 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Ta lấy điểm E trên cung nhỏ AB và gọi M là giao điểm của tia AE với BC. a) So sánh ECA[ và EMB\ b) Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MEB và AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE. 3. Tam giác ABC có các phân giác đồng qui tại I; các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại A0,B0,C0. Chứng minh: a) A0I = A0B b) Lục giác AB0CA0BC0 có AB0 = B0C, CA0 = A0B, BC0 = C0A c) A0,B0,C0 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác IBC, ICA, IAB. 37
  38. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Cung chứa góc 1. Đường tròn (O) có đường kính AB cố định. C là điểm di động trên đường tròn đó (C khác A, B). Tìm quĩ tích giao điểm ba phân giác của tam giác ABC. 2. Tam giác vuông ABC có các cạnh huyền BC cố định, đỉnh A thay đổi. Ta dựng bên ngoài tam giác đó hình vuông ABMN. Tìm quĩ tích điểm N. 3. Cho nữa đường tròn đường kính AB và dây cung MN có độ dài bằng bán kính(M thuộc cung AN). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K. a) Tính MIN,\ AKB\ b) Khi dây MN thay đổi vị trí thì các điểm I,K chạy trên đường nào. c) Cho biết I là điểm đặc biệt gì của tam giác AKB; K là điểm đặc biệt gì của tam giác ABI. d) AB và IK cắt nhau tại H. Chứng tỏ HA.HB = HI.HK e) Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó cho biết AB = 2R. 4. Tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O; R) có cạnh AB = R. DE là đường kính vuông góc với BC(A và D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC). AD, AC, AB lần lượt cắt OB, BE, EC tại M, N và P . a) Tính các góc AMO,\ CNE,\ BP\ C b) Chứng tỏ M và N cùng thuộc một cung chứa góc có hai đầu mút A và B. c) Xác định tâm đường tròn đi qua A, B, M, N. 38
  39. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 5. Cho điểm M di chuyển trên cung AB của đường tròn (O). Trên tia đối của tia MB ta đặt đoạn MC = MA. a) Tìm quĩ tích của điểm C. b) Xác định tâm đường tròn đi qua A, B và C. c) Với vị trí nào của M thì tam giác MAB có chu vi lớn nhất. 6. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, có đường cao AH = h. Chứng minh rằng AB.AC = 2Rh. 7. Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. Ta dựng nửa đường tròn đường kính AO ( Hai nửa đường tròn này cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Từ một điểm C thuộc đoạn thẳng OA ta kẻ đường vuông góc với OA cắt nửa đường tròn nhỏ tại D và nửa đường tròn lớn tại E. AD a) Chứng minh rằng tỉ số không phụ thuộc vào vị AE trí của C trên đoạn OA. Tính tỉ số đó. b) Chứng tỏ rằng tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng AE thì có cạnh bên bằng AD. 8. Trong tam giác cân ABC có AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp. 9. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác cân biết rằng cạnh đáy và đường cao tương ứng đều có độ dài 8cm. 39
  40. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Bài tập về tứ giác nội tiếp 1. Hình bình hành ABCD có góc tù Bb, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Dựng DE vuông góc AC, DF vuông góc AB, DG vuông góc BC. Chứng minh rằng tứ giác OEGF nội tiếp đường tròn. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của BC, D là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC. Gọi E, F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD. Chứng minh rằng 5 điểm A, E, D, I, F cùng thuộc một đường tròn. 3. Cho 4ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AI. Gọi E là trung điểm của AB, K là trung điểm của OI. a) Chứng minh rằng 4EKB cân. b) Chứng minh rằng tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn. 4. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại M, D, N. Lấy điểm E thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác EBC cũng tiếp xúc với BC tại D và tiếp xúc với EB, EC tại P, Q. Chứng minh rằng MNPQ nội tiếp đường tròn. 5. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và AB = CD. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC tại Q. Gọi R là giao điểm của đường thẳng AB và CD. a) Chứng minh rằng AQRC nội tiếp. b) Chứng minh AD//QR 6. Cho đường tròn (I) nội tiếp tma giác ABC tiếp xúc AB, AC tại M, N. MN cắt IB tại D. Chứng minh rằng 40
  41. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt INDC là tứ giác nội tiếp. 7. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thang ABCD ( BC//AD). Lấy M, N là điểm thuộc OA, N là điểm thuộc OD sao cho BMD\ = AMC\. Chứng minh rằng BMNC là tứ giác nội tiếp. 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH a) Chứng minh rằng AI⊥JK b) Chứng minh rằng BJKC là tứ giác nội tiếp. 9. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CD. AM cắt BN tại E, DM tại P và AN tại F . Chứng minh rằng tứ giác AEP F nội tiếp. 10. Cho (O) và (O1) cắt nhau tại M, N. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt (O1) tại B. Tiếp tuyến tại M của (O1) cắt (O) tại A. Gọi P là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh rằng tứ giác MAP B nội tiếp. 11. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E là hai tiếp điểmm của (I) với AB, AC. Các tiap hân giác trong của góc các góc B,b Cb gặp DE tại M và N. Chứng minh rằng B, M, N, C cùng nằm trên một đường tròn. 12. Cho điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O). Một đường thẳng (d) ở ngoài (O) và vuông góc với OM. CM, BM cắt d tại D và E. Chứng minh rằng B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. 13. Hai dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của IC và N đối xứng với I qua 41
  42. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt D. Chứng minh rằng AMBN nội tiếp một đường trò. 14. Hình vuông ABCD lấy M ∈ AD và N ∈ CD sao cho MBN\ = 45o. BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F . Chứng minh rằng MEF N nội tiếp đường tròn. 15. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi A0,B0,C0 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Vẽ ba đường tròn bằng nhau có tâm là A, B, C. Đường tròn (A) cắt B0C0 tại D, D0. Đường tròn (B) cắt A0C0 tại E, E0. Đường tròn (C) cắt A0B0 tại F, F 0. Chứng minh rằng 6 điểm , D, D0, E, E0, F, F 0 cùng nằm trên đường tròn tâm H. 16. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong là AD. Trong miền trong các góc BAD, CAD lần lượt vẽ hai tia AM và AN sao cho MAD\ = NAD\ (M ∈ BD, N ∈ CD). Gọi M1,M2 lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; N1,N2 lần lượt là hình chiếu của N lên AB, AC.Chứng minh rằng: a) M1,M2,N1,N2 cùng thuộc một đường tròn. BM.BN AB2 b) = CM.CN AC2 17. Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh BC. AM cắt DC tại E, DM cắt BE tại K. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, K, C, D cùng thuộc một đường tròn. 18. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A, B. Qua điểm I nằm trên AB vẽ cát tuyến IMN đến (O) và cát tuyến IPQ đến (O0). Chứng minh rằng MNPQ là tứ giác nội tiếp. 19. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d vuông góc với AB tại H ( H ở ngoài (O)). Từ A kẻ tia 42
  43. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Ax cắt (O) tại C và d tại D. Từ A vẽ tia Ay cắt (O) tại E và d tại F . Chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 20. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm M tùy ý trên dây BC kẻ các đường song song với các cạnh bên cắt AB tại P và cắt AC tại Q. D là điểm đối xứng của M qua PQ. Chứng minh rằng ADBC nội tiếp đường tròn. 21. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD và BC cắt nhau tại E, AB và CD cắt nhau tại F . Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi EA.ED + F A.F B = EF 2. 22. Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E và F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF , EF cắt BC tại I. Đường vuông góc với EF vẽ từ I cắt AH tại D. Chứng minh rằng tứ giác AEDF nội tiếp. 23. Cho tứ giác ABCD ( có góc A tù) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ tia Ax⊥AD cắt BC tại E, EO cắt CD tại F . Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua EF . a) Chứng minh rằng 4 điểm E, F, A0,C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng AF ⊥AB. 24. Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc BAD\ cắt BC và CD tại M và N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CNM. Chứng minh rằng B, I, C, D cùng nằm trên một đường tròn. 25. Cho tam giác ABC có Ab = 60o. Gọi O, I, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường trón nội 43
  44. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt tiếp và trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng 5 điểm B, C, O, I, H cùng nằm trên một đường tròn, 26. Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. 27. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi I,K là tâm đường tròn nội tiếp 4ACH, 4ABH. Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này cắt AB và AC tại M, N và cắt đường cao AH tại P . a) Chứng minh 4AMN ∼ 4ABC. b) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, N, I, K cùng thuộc một đường tròn có tâm là P và có bán kính bằng bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC. 28. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy E sao cho 1 BE = BC. Trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho 3 1 CF = BC. Gọi M là giao điểm của AE và BF . Chứng 2 minh rằng 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn. 29. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là tiếp tuyến của (O) tại A và B. Điểm C nằm giữa A và O, M ∈ (O). Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với CM, d cắt Ax tại D và By tại E. MB cắt CE tại I và MA cắt CD tại K. a) Chứng minh rằng MICK nội tiếp trong một đường tròn. b) Chứng minh IK//AB c) Xác định vị trí của M để DE = 2AB. 30. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B. 44
  45. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Một cát tuyến qua A cắt (O) tại C và cắt (O0) tại D. Đường kính vẽ từ D của (O0) và đường kính vẽ từ C của (O) cắt nhau tại E. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. 31. Cho điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC. Gọi O và O0 là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABM, 4ACM. Hai bán kính BO, CO0 kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AKOO0 là tứ giác nội tiếp. 32. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là hính chiếu của D trên AB, BC, AC. Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng. 33. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD và trung tuyến AM. Đường tròn ngoại tiếp 4ADM cắt AB tại E và AC tại F . Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm của EF, EC và FB. a) Chứng minh BE = CF . b) Chứng minh tứ giác IHMK nội tiếp. 34. Cho hình bính hành ABCD ( Ab > 90o). Trên tia BA kéo dài lấy điểm I sao cho DI = DA. Trên tia đối của tia DA kéo dài lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng 5 điểm I, K, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. 35. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi AC.BD + AD.BC = AC.DB 36. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt (O) tại D và cắt tia CB tại E. AD cắt EO tại I. Chứng minh rằng tứ giác BIOC là tứ giác nội tiếp. 45
  46. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Bất đẳng thức và cực trị hình học 1. Cho đường tròn (O; R), BC là dây cung cố định BC < 2R. A là điểm di động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để: a) Diện tích tam giác ABC lớn nhất. b) Chu vi tam giác ABC lớn nhất. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD⊥AB, ME⊥AC(D ∈ AB, E ∈ AC). Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. 3. Cho điểm A cố định ở bên trong đường tròn (O; R) (A khác O), MN là dây cung quanh xung quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là dài nhất? Ngắn nhất? 4. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt đường tròn thứ nhất tại C và cắt đường tròn thứ hai tại D sao cho A nằm trên đoạn thẳng CD. Tìm vị trí của cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất. 5. Cho (O) và đường thẳng d ( Không cắt (O)). Tìm M trên (O) sao cho khoảng cách từ M đến d là: a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất. 6. Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí của M để MA.BC + MB.CA đạt giá trị nhỏ nhất. 46
  47. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 7. Cho tam giác đều ABC, các điểm M và N lần lượt di động trên các cạnh BC và AC sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. 8. Cho tam giác đều ABC, M là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ MD⊥AB, ME⊥AC. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE lớn nhất. 9. Cho đoạn thẳng AB = a, M là điểm di động trên đoạn AB. Kẻ tia Mx⊥AB tại M, trên tia Mx lần lượt lấy các điểm C, D sao cho MA = MC, MB = MD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE lớn nhất. 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, H di chuyển trên cạnh BC. Gọi E, F là điểm đối xứng của H qua AB, AC. Xác định vị trí của H để diện tích tam giác EHF là lớn nhất. 11. Cho tam giác ABC. Qua điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB, BC, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành đó có diện tích lớn nhất. 12. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b. O là trung điểm của AB. Một góc vuông quanh xung quanh O cắt cạnh AD ở M và cạnh BC ở N. Định vị trí của M, N để diện tích tam giác OMN nhỏ nhất. 13. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn,từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn IH, IK, IL lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Tìm vị trí của I để tổng AL2 + BH2 + CK2 có giá trị nhỏ nhất. 47
  48. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 14. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Trên hai cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác AMN lớn nhất. 15. Cho điểm A di động trên cung lớn BC cố định của đường tròn (O; R). Xác định vị trí của A sao cho diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ BC, dây AB và AC là lớn nhất. 16. Cho tam giác ABC có Ab = 60o. M là điểm trên cạnh BC. Gọi D, E là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AC. Tìm vị trí của M sao cho DE có độ dài nhỏ nhất. 17. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Ta vẽ hai đường thẳng bất kì vuông góc nhau tại H, đường thẳng thứ nhất cắt AB tại D, đường thẳng thứ hai cắt AC tại E. Nối DE. Xác định vị trí của HD và HE để độ dài DE nhỏ nhất. 18. Cho BC là dây cố định của (O; R). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác BHC đạt giá trị nhỏ nhất. 19. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là điểm di động trêm đoạn thẳng AB. Kẻ MC⊥AB tại M (C thuộc nửa đường tròn). Gọi D, E là hình chiếu của M trên CA, CB. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và BM. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác DEP Q là lớn nhất. 20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). D là điểm trên cung BC không chứa A của (O), kẻ DH⊥BC, DI⊥CA 48
  49. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt AC AB và DK⊥AB. Xác định vị trí của D để tổng + + DI DK BC đạt giá trị nhỏ nhất. DH 21. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chuyển động trên cung nhỏ AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC. Tìm vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất. 22. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn. Vẽ MH⊥AB. Tìm vị trí của M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH là lớn nhất. 23. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp trong tam giác ABC. Đường thẳng d qua O cắt 2 cạnh AB, AC tại D và E. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác ADE là lớn nhất. 24. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là điểm di động trên nửa đường tròn. Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến AC, BD với (M). Xác định vị trí của M để AC.BD đạt giá trị lớn nhất. 25. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB là tam giác có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác đó. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM. 26. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. M là điểm thay đổi trên một nửa đường tròn. I là tâm nội tiếp của tam giác MAB, MI cắt (O) tại C. 49
  50. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh rằng tam giác CIA cân. b) Tìm vị trí M để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB là lớn nhất. 27. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Tìm điểm M trên (I) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác là nhỏ nhất? Lớn nhất? 28. Cho đường tròn cố định tâm (O), bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp (O). Một đường thẳng thay đổi qua tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ADE. Giải 29. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C, D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM. Giải 50
  51. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 30. *Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M là điểm thay đổi trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để tổng AH + MH đạt giá trị lớn nhất. Giải 31. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi (J) là đường tròn bàng tiếp góc A, (J) tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F . 1 Chứng minh rằng S > S IBC 4 DEF 32. a) Cho đường tròn tâm (I bán kính r nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng IA + IB + IC ≥ 6r b) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P, Q, N theo thứ tự là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Chứng minh rằng OP + OQ + ON ≥ 3R 33. Gọi ha, hb, hc là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác, r là bán kính của đường tròn nội tiếp. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a)ha + hb + hc ≥ 9r 2 2 2 2 b)ha + hb + hc ≥ 27r 34. Cho đường tròn (O), A là 1 điểm nằm ngoài đường tròn. Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC. M là 1 điểm thay đổi trên cung nhỏ BC.Gọi I, H, K là hình chiếu trên M trên BC, AC, AB. Tìm M để MI.MH.MK đạt giá trị lớn nhất. 35. Cho đường tròn (O) và dây AB. Tìm điểm C thuộc cung 1 1 nhỏ AB sao cho + đạt giá trị nhỏ nhất. CA CB 51
  52. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Các bài toán định lượng 1. Cho hình bình hành ABCD có góc Ab = 60o. Phân giác trong của góc B cắt cạnh CD tại E. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác BCE, bán kính r tiếp xúc với BE tại M, tiếp xúc với AB tại S và với DE tại T . a) So sánh R và r. b) Tính OI theo r. 2. Đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định đi qua O. Lấy điểm I tùy ye1 ở ngoài đường tròn (O), vẽ đường tròn tâm I bán kính IO. Vẽ tiếp tuyến chung PQ của hai đường tròn (P thuộc (O), Q thuộc (I)). Chứng minh rằng Q chạy trên một đường cố định khi I chạy trên d ở ngoài đường tròn (O) 3. Tam giác ABC có chu vi 80cm và ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC cắt AB theo thứ tự tại M, N. a) Cho biết MN = 9, 6cm. Tính độ dài BC. b) Cho biết AC − AB = 6cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC để MN có độ dài lớn nhất. 4. Cho một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm, diện tích bằng 24cm2. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. 5. Cho nửa đường tròn tâm O1 đường kính AB. Lấy C tùy ý trên nửa đường tròn. Hãy tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết AB = 2R, SABC = S 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O1,O2,O3 là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC và bán kính lần lượt là R, r1, r2. Chứng minh rằng: 52
  53. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt p 2 2 a) R = r1 + r2 b) R + r1 + r2 = AH 7. Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai bá kính OA, OB vuông góc nhau. Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính R nó cắt cung AB tại C. Đường tròn tâm I tiếp xúc với cung OC của (A) tại D, tiếp xúc với cung AB tại E, và tiếp xúc với OB tại F . Tính bán kính x của đường tròn tâm I theo R. 8. Cho hai đường tròn tâm O1,O2 bán kính R1,R2 tiếp xúc ngoài nhau tại C. Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O1) tại B. Đường tròn tâm I tiếp xúc với cung AC tại D, tiếp xúc với cung BC tại E, tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại F . Tính bán kính x của đường tròn tâm I theo R1,R2. 9. Cho 3 đường tròn (O1, a), (O2, b), (O3, c) từng đôi một tiếp xúc nhau. Qua tiếp điểm A của (O1) và (O2) vẽ tiếp tuyến At, nó cắt đường tròn (O3) tại M, N. Tính độ dài MN theo a, b, c. 10. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cùng bán kính R cắt nhau tại M, N và O1O2 = R. Hình vuông ABCD có A, D nằm trên cung nhỏ MN của (O1) và B, C nằm trên cung nhỏ MN của (O2). Tính cạnh hình vuông theo R. 11. Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 2a, ở miền ngoài hình vuông vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB tâm E và nửa đường tròn đường kính BC tâm F . Từ các trung điểm M, N của các nửa đường tròn (E), (F ) vẽ các tiếp tuyến Mx, Ny chúng cắt nhau tại P . Hãy tính 53
  54. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt bán kính đường tròn tiếp xúc với các nửa đường tròn (E), (F ) và các tiếp tuyến Mx, Ny. 12. Cho nửa đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AC tại D, tiếp xúc với CB tại E, tâm O nằm trên cạnh AB. Biết AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính bán kính r của đường tròn (O) theo a, b, c 13. Cho hai đường tròn (O1,R), (O2, r) tiếp xúc ngoài nhau tại A (R > r). Tiếp tuyến chung trong At cắt tiếp tuyến chung ngoải BC tại D. Tính độ lớn của góc ADC\ theo R, r. 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Qua điểm P ở miền trong đường tròn vẽ hai dây AP B và CPD vuông góc với nhau. Biết OP = a, OP[ C = α(α < 90o). Tính diện tích tứ giác ABCD theo R, a, r. 15. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác BAC[ cắt BC tại E và (O) tại D. OD cắt BC tại K. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M. Biết BE = a, CE = b. Tính AM theo a, b 16. Cho tam giác đều cạnh AB = 4. Trên cạnh AB lấy M sao cho AM = 1. Từ M vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác ABC cắt AC tại N. Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác AMN. 54
  55. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Các bài toán kinh điển 1. (Bài toán con bướm). Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Gọi I là trung điểm của AB. MN, P Q là hai dây cung qua I của đường tròn(M và P là hai điểm nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). MQ, NP cắt AB theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng IH = IK. 2. Cho tam giác nhọn ABC, CB > CA. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác, CF là đường cao xuất phát từ C. Đường thẳng qua F vuông góc với OF cắt AC tại P . Chứng minh rằng FHP\ = CAB[ 3. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I và một đường thẳng 4 cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn MN khi và chi khi nó là trung điểm của đoạn PQ. 4. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H.Gọi O là trung điểm của BC. Đường thẳng 4 đi qua H cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi OM = ON. 5. Cho tứ giác ABCD có BAD\ = BCD\ = 90o. Gọi E là giao của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE, CDE cùng thuộc đường thẳng BD. 6. (Định lí P-tô-lê-mê) a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khi đó 55
  56. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt AC.BD = AB.CD + AD.BC b) Cho tứ giác ABCD. Khi đó: AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC 7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r). Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: x + y + z = R + r 8. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn để AB+ 2AC đạt giá trị lớn nhất. 9. Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (O1,O2 nằm về hai phía của AB). Một cát tuyến 4 qua A cắt (O1), (O2) lần lượt tại các điểm C, D khác A (A thuộc đoạn CD). Tiếp tuyến tại C của (O1) cắt tiếp tuyến tại D của (O2) ở M. Tìm MC MD vị trí của 4 sao cho + đạt giá trị lớn nhất. R1 R2 10. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và AC = 2AB. Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau tại P . Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC. 11. (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M thuộc đường tròn (O). Gọi A0,B0,C0 lần lượt là hính chiếu của M trên các đường thẳng BC, AC, AB. Chứng minh rằng A0,B0,C0 thẳng hàng. Đường thẳng trên được gọi là đường thẳng Simson ứng với điểm M của tam giác ABC. 12. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ BC, hạ MB0 vuông góc với AC, MC0 56
  57. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt vuông góc với AB. Tìm vị trí của M để B0C0 lớn nhất. 13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).M là điểm thay đổi trên đường tròn. Gọi A0,B0,C0 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC, AB. Chứng minh rằng: a)A0,B0,C0 thẳng hàng. b)Đường thẳng đi qua A0,B0,C0 luôn đi qua một điểm cố định. 14. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M thuộc cung BC( cung không chứa A), M không trùng với B và C. Gọi A0,B0,C0 lần lượt là hính chiếu của M trên BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BC CA AB a) = + MA0 MB0 MC0 b) Đường thẳng B0C0 đi qua trung điểm của đoạn nối giữa trực tâm H của tam giác ABC với M. 15. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi dA là đường thẳng Simson của tam giác BCD ứng với điểm A. Các đường thẳng dB, dC , dD được định nghĩa một cách tương tự. Chứng minh rằng bốn đường thẳng này đồng quy. 16. Cho đường tròn (O) và đường thẳng 4 không cắt nó. Điểm M thay đổi trên 4, kẻ các tiếp tuyến MT,MH với (O). Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên 4 và E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định. 57
  58. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Ôn tập hình học phẳng 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Ab = 45o, các đường cao BE, CF . a) Chứng minh rằng 5 điểm B, E, O, F, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tứ giác BF OE là hình gì? 2. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B, trong đó điểm O thuộc đường tròn (O0). Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O0) ở C và cắt đường tròn (O) ở D. Chứng minh rằng tam giác CBD là tam giác cân. 3. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (O) là đường tròn đi qua A và B. Từ C vẽ đường vuông góc với OA, nó cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh rằng các độ dài AD, AE không đổi. 4. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD + CH.CE = BC2. 5. Tam giác ABC có Bb và Cb là các góc nhọn, đường cao AH và trung tuyến AM không trùng nhau. Tính BAC[ biết rằng BAH\ = MAC\ 6. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc với AC tại C. Gọi DE là một dây cung của đường tròn (O) đi qua H. Chứng minh rằng: a) ADOE là tứ giác nội tiếp. b) BAD\ = CAE[ 58
  59. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 7. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A. 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O0, O, I theo thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC. Chứng minh rằng: a) AI⊥OO0 b) IO0.IB = IO.IC c) Nếu tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định thì đường vuông góc kẻ từ A đến OO0 đi qua một điểm cố định. 9. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O (AB > AC). Đường cao AD của tam giác cắt đường tròn tại K. Gọi F là điểm đối xứng của A qua O. Hạ OM⊥BC và kéo dài OM cắt đường tròn tại E. Đường cao CK cắt đường cao AD tại H. Chứng minh rằng: a) BEKC là hình thang cân và FK = 2MD b) AE là phân giác của góc F AK c) H và K đối xứng nhau qua BC. d) H và F đối xứng nhau qua M. Suy ra AH = 2MO 10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi M là trung điểm BC. Trung trực Mx của BC cắt AC tại D. a) Chứng minh: A, D, M, B cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh : BC2 = 2.CA.CD c) Gọi E là điểm đối xứng của D qua A, gọi N là giao điểm của MA và BE. Chứng minh: BN = AC 11. Cho hai đường tròn tâm O và O0 tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD. Tiếp tuyến chung 59
  60. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt tại A cắt CD tại B. Chứng minh rằng: a) Đường tròn qua A, C, D tiếp xúc với OO0 tại A. b) Đường tròn qua O, B, O0 tiếp xúc CD tại B. 12. Cho đường tròn tâm O đường kính AC và đường tròn tâm O0 đường kính CB tiếp xúc nhau tại B. Giả sử AC > BC. Lấy M là trung điểm của AB. Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Gọi I là giao điểm của CD với (O0) ( I khác C). Chứng minh rằng: a) B, I, E thẳng hàng. b) MI là tiếp tuyến tại I của đường tròn (O0) 13. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F . Đường tròn tâm K bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại L, với AB kéo dài tại M, với AC tại N. a) Chứng minh trung điểm P của BC cũng là trung điểm của LD b) Gọi Q kà trung điểm của AD. Chứng minh P, I, Q thẳng hàng. 14. *Cho tam giác nhọn ABC. Các đường caoAD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF . b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác DEF . (a) Chứng minh OA⊥EF (b) Tính diện tích tam giác ABC theo p và R 60
  61. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 15. Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O qua A cắt cạnh AB tại K, cắt cạnh BC tại N ( O ở miền trong 4ABC). Đường tròn tâm O1 qua A, B, C và đường tròn tâm O2 qua B, K, N cắt nhau tại B và M. a) Chứng minh BO1OO2 là hình bình hành. b) Gọi I là giao điểm của O1O2 và BO. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMO. 16. Tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120o. Lấy các cạnh của tam giác ABC làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABD, ACE, BCF . a) Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy cùng đi qua một điểm K. b) Gọi M, N, P là tâm các đường tròn nói trên. Tam giác MNP là tam giác gì? c) Chứng minh AF = BE = CD = KA + KB + KC 17. Cho hình thang cân ABCD ( AB//CD), điểm M thuộc đáy CD. Gọi (O) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AD tại D. Gọi (O0) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại E ( khác M). Chứng minh rằng: a) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. b) Ba điểm E, M, B cùng thuộc một đường tròn. 18. Cho đường tròn (O), dây cung AB. Điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Vẽ hai đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, (O2) qua M và tiếp xúc AB tại B. Gọi N là giao điểm của (O1) và (O2), MN cắt (O) tại P . a) Tứ giác ANBP là hình gì? b) Xác định vị trí của M để tứ giác ANBP có diện tích lớn nhất? Chu vi lớn nhất? 61
  62. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 19. Cho hình vuông ABCD có cạnh 1. Điểm M là một điểm thay đổi thuộc đường chéo BD. (I) là đường tròn tâm M tiếp xúc với AD, CD. (K) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB, BC. a) Chứng minh rằng tổng chu vi của hai đường tròn không đổi. b) Tìm vị trí của M để tổng diện tích của hai đường tròn là nhỏ nhất. 20. Cho (O), dây AB. M là một điểm chuyển động trên cung lớn AB. H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E, F là hình chiếu của H trên MA, MB. a) Chứng minh rằng đường thẳng d qua M và vuông góc với EF luôn qua một điểm cố định. MA2 AH AD b) d cắt AB tại D. Chứng minh rằng: = . MB2 BH BD 21. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). H là trung điểm của BC. I là hình chiếu của H trên AC. Đường tròn đường kính AB cắt BI tại D. Chứng minh AD đi qua tâm HI. 22. Cho tam giác ABC cân tại A. D và E là hai điểm thay đổi trên cạnh AB, AC sao cho DE = DB + CE. Phân giác DBE\ cắt BC tại lấy F thuộc đoạn DE sao cho DF = BD. a) Chứng minh IF EC là tứ giác nội tiếp. b) DI⊥EI c) DI đi qua một điểm cố định. 23. Cho đường tròn (K), A là một điểm nằm ngoài (K). Dựng hai tiếp tuyến AB, AC với (K). Một đường thay đổi luôn tiếp xúc với (K) tại F (F thuộc cung nhỏ BC) cắt AB, AC tại D, E. KD, KE cắt BC tại I,J. 62
  63. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh IDEJ là tức giác nội tiếp. IJ b) không đổi. DE 24. Cho BC là dây cung cố định của (O). A là điểm trên cung lớn BC sao cho 4ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của 4ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (H; HA) cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: a) OA⊥DE b) Đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua điểm cố định. c) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định. 25. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thuộc đoạn AB. Qua C vẽ CD vuông góc AB ( D ∈ (O)). Đường tròn (I) tiếp xúc CD, AB và (O) tại K, E, F . a) Chứng minh F, K, B thẳng hàng. b) Chứng minh BE = DB. 26. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (I) bất kì đi qua B, C và cắt cạnh AB, AC tại M, N. Đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại D. Chứng minh rằng: a) OA⊥MN b) AKIO là hình bình hành. c) IDA[ = 90o 27. Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn. AH là đường cao của tam giác ABC. Phân giác góc BAC[ cắt (O) tại K. a) Đặt AH = x. Tính diện tích tam giác AHK theo R, x. 63
  64. Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt b) Chứng minh AH2 + HK2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A. AH r3 c) Cho = . Tính Bb. HK 5 64