›
›
›

Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

doc 46 trang dichphong 6300
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_tuyen_sinh_vao_lop_10_thpt_mon_toan_nam_hoc_2013_2014.doc

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2013-2014 (Có đáp án)

  1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Khúa ngày 27 thỏng 6 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN: TOÁN Thời gian: 120 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1 (2,0 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức sau (khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay) a) M = 27 + 512 - 2 3 1 1 a b) N = : , với a > 0 và a 4 a 2 a 2 a 4 Cõu 2 (1,5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: (khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay) 2x y 2 a) x2 – 5x +4 = 0 b) x 3y 8 Cõu 3 (2đ) Cho phương trỡnh x2 -2(m-3)x – 1 =0 a) Giải phương trỡnh khi m=1 b) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 2 2 A=x1 – x1x2 + x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. Câu IV (1,5 điểm) Một ôtô khách và một ôtô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đường dài 180 km do vận tốc của ôtô khách lớn hơn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trước ôtô tải 36 phút.Tính vận tốc của mỗi ôtô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi ôtô không đổi. Cõu 5 (3,0 điểm) Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp nửa đường trũn (O) đường kớnh AD. Hai đường chộo AC va BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuụng gúc với AD (F AD; F O). a) Chứng minh: Tứ giỏc ABEF nội tiếp; b) Chứng minh: Tia CA là tia phõn giỏc của gúc BCF; c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh: CM.DB = DF.DO b2 1 Cõu 6 1 đ Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 + = 4 4 a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2011.
  2. HẾT Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI Cõu 1 (2,0 điểm): Rỳt gọn cỏc biểu thức sau a)M= 27 5 12 2 3 32.3 5 22.3 2 3 3 3 5.2 3 2 3 (3 10 2) 3 11 3 1 1 a b)N = : a 2 a 2 a 4 a 2 a 2 a N = : ( a 2)( a 2) ( a 2)( a 2) 2 a ( a 2)( a 2) N =  ( a 2)( a 2) a N = 2. Cõu 2 (1,5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh (khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay) a) x2 – 5x + 4 = 0 Ta cú a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 0 nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm: c 4 1 và 4 . x1 x2 a 1 Vậy tập nghiệm của PT là: S = 1,4 x 1 1 b) , Điều kiện: x 0 x 3 2 2( x 1) x 3 2( x 3) 2( x 3) 2( x 1) = x 3 2 x x 3 2 x 1 x 1 (Thỏa món x 0 ) Vậy tập nghiệm của PT là: S = 1 Cõu 3 (1,0 điểm) b) Gọi A(a,a) là điểm nằm trờn đường thẳng (d) cú hoành độ bằng tung độ. Vỡ đường thẳng (d) đi qua A nờn ta cú: 3 a = -a + 3 a + a = 3 2a = 3 a = 2 3 3 Vậy điểm cần tỡm cú tọa độ là ; . 2 2 Cõu 4 (1,0 điểm) Theo hệ thức Vi-et ta cú:
  3. x1 x2 3 x1 x2 5 2 2 2 Ta lại cú: x1 x2 = (x1 x2 ) - 2x1x2 = (-3)2 - 2.(-5) = 19. Cõu 5 (1,5 điểm) Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập hệ phương trỡnh: Gọi chiều rộng hỡnh chữ nhật là x(m), chiều dài là y(m); điều kiện (x > 2; y>x). Khi tăng mỗi chiều hỡnh chữ nhật thờm 4m thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật tăng thờm 80m2, nờn ta cú phương trỡnh: (x + 4)(y + 4) = xy + 80 (1) Khi giảm chiều rộng đi 2m và tăng chiều dài 5m thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật bằng diện tớch ban đầu nờn ta cú phương trỡnh: (x-2)(y+5) = xy (2) Từ (1), (2) ta cú hệ phương trỡnh: (x 4)(y 4) xy 80 Giải hệ phương trỡnh này ta được x = 6 và y = 10 (x - 2)(y 5) xy Vậy chu vi hỡnh chữ nhật là: (6 + 10).2 = 32m. Cõu 6 (3,0 điểm) B C E M D A O F a, Ta cú: ABD 900 (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) hay ABE 900 Mặt khỏc: AFE 900 (EF  AD ). ABE AFE 1800 . Vậy tứ giỏc ABEF nội tiếp. b, Chứng minh: CA là tia phõn giỏc của gúc BCF. Ta cú: ACD 900 (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) hay ECD 900 Mặt khỏc: DFE 900 (EF  AD ). ECD DFE 1800 . Vậy tứ giỏc CDFE nội tiếp. ECF EDF (cựng chắn cung EF) hay ACF ADB (1) Mặt khỏc tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O) nờn ACB ADB (cựng chắn cung AB) (2) Từ (1), (2) ACF ACB . Vậy CA là tia phõn giỏc của gúc BCF. c) Chứng minh: CM.DB = DF.DO Ta cú: BOD cõn tại O, suy ra OBD ODB (3) 1 Bờn cạnh đú DMF cõn tại M do (MF = MD = DE ), suy ra MFD MDF (4) 2
  4. Từ (3) và (4) suy ra OBD MFD (5). Xột BOD và FMD cú: OBD MFD (Từ (5)) ADB (Chung) BOD đồng dạng với MFD (gúc - gúc) DM DF DM DO 1 mà CM DM DE (CM là đường trung tuyến của tam giỏc DO DB DF DB 2 vuụng DCE), nờn: DM DO CM DO CM.DB = DF.DO Điều phải chứng minh. DF DB DF DB SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Mụn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 60 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC năm 2014 Đợt 1 Cõu 1 (3,0 điểm) 1) Giải cỏc phương trỡnh: a. 5(x+1) = 3x + 7 4 2 3x 4 b. x 1 x x(x 1) 1 1 5. 2. Rút gọn 5 2 5 2 Cõu 2 ( 2,0 điểm) Cho phương trỡnh: x2 2(m 1)x 2m 0 1) Giải phương trỡnh khi m = 1 2) CMR PT luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. Cõu 3 ( 1,0 điểm) Một hỡnh chữ nhật cú chu vi là 52 m. Nếu giảm mỗi cạnh đi 4m thỡ được một hỡnh chữ nhật mới cú diện tớch 77m2. Tớnh cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật ban đầu? Cõu 3(1 điểm) Quóng đường AB dài 120 km. Hai xe mỏy khởi hành cựng một lỳc đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nờn xe mỏy thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ. Tớnh vận tốc của mỗi xe.
  5. Lời giải: Cõu 1 (3 điểm)1) Giải cỏc PT: 4 2 3x 4 a) 5 x 1 3x 7 b) 5x + 5 = 3x + 7 x 1 x x(x 1) 5x - 3x = 7 - 5 Đ K : x 0 và x 1 y 2x 5 2) Tọa2x độ = 2giao điểm I là nghiệm của hệ: 4x 2(x 1) 3x 4 y P T 4x 1 x = 1 x(x 1) x(x 1) x(x 1) Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình. 4x + 2x - 2 = 3x + 4 4x + 2x - 3x = 4 + 2 3x = 6 x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. y 2x 5 2) Tọa độ giao điểm I của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ: y 4x 1 2x 5 4x 1 6x 6 x 1 x 1 I( 1;3) y 2x 5 y 2x 5 y 2. (-1) 5 y 3 Đường thẳng (d3) đi qua I (-1;3) suy ra x = -1, y = 3 thỏa món PT đường thẳng (d3) Ta có :3 m 1 . 1 2m – 1 m 2m = 3 + 2 m = 5 Vậy m = 5 Cõu 2 ( 2 điểm)
  6. a) b) ' (m 1)2 1. 2m Với m = 1 ta cú phương trỡnh: 2 x2 2(1 1)x 2 0 = m 2m + 1 - 2m = m2 1 0 m 2 x 4x 2 0 Vậy PT luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m ' ( 2)2 1.2 = 2 x1 2 2 ' 2 x2 2 2 Vậy c) TheoVi et : x1 x2 2(m 1); x1.x2 2m x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 12 nờn: x1; x2 > 0 => S=x1 x2 > 0 và P= x1x2 >0 từ đú suy ra m > 0 2 x2 x2 )2 x 12 Và : 1 2 12 (x1 x2 2x1 2 4(m 1)2 - 2.2m = 12 m2 m 2 = 0 PT có dạng :a b c 1 1 ( 2) 0 m1 1 hoặc m2 2 (Loại) Vậy m = 1 Cõu 3 ( 1 điểm) Gọi chiều rộng, chiều dài của HCN ban đầu lần lượt là x, y (m) ĐK: y > x> 4. Theo bài: chu vi của HCN là 52 m nờn ta cú: (x + y). 2 = 52 => x + y = 26 (1) Khi giảm mỗi cạnh đi 4m thỡ được một hỡnh chữ nhật mới cú diện tớch 77m2 nờn ta cú: (x - 4). (y - 4) = 77 (2) x + y 26 Từ (1) và (2) ta cú hệ: (x-4)(y-4) 77 Giải hệ tỡm được: x =11 ; y = 15 thỏa món Vậy kớch thước của HCN là 15m, 11m. Cõu4 ( 3 điểm) D E A H O O' B C F x 1) Cú Bã EC 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn O) Bã DC 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn O’) => Tứ giỏc BCDE nội tiếp được đường trũn đường kớnh BC.
  7. Vậy bốn điểm B, C, D, E cựng nằm trờn một đường trũn. 2) *) Cú Ã FB 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn O) Ã FC 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn O’) => Bã FC Ã FB Ã FC 900 900 1800 . Vậy ba điểm B, F, C thẳng hàng. *) Cú Ã FE Ã BE (1) (hai gúc nội tiếp cựng chắn AằE của (O)) Ã FD Ã CD (2) (hai gúc nội tiếp cựng chắn AằD của (O’)) Ã BE Ã CD (3) (hai gúc nội tiếp cựng chắn EằD của đường trũn đường kớnh BC) Từ (1), (2) và (3) => Ã FE Ã FD . Vậy FA là phõn giỏc của Eã FD . AD FD 3) * Trong tam giỏc DHF cú FA là phõn giỏc trong của Eã FD (4)Mà AH FH BH FH AF BC ( CMT) FB là phõn giỏc ngoài của DFH cắt DH tại B (5) BD FD BH AH Từ (4) và (5) BH.AD = AH.BD(đpcm) BD AD Cõu 5 .Ta cú 3x yz (x y z)x yz (x y)(x z) (vỡ x + y +z = 3) Theo bất đẳng thức BunhiaCopxki ta cú : ( xz yx )2 (x y)(z x) xz yx (x y)(z x) xz yx 3x yz x xz yx x 3x yz x x x x 3x yz x xz yx x y z y y Chứng minh tương tự ; y 3y xz x y z z z z 3z xy x y z Cộng cỏc vế của 3 bất đẳng thức cựng chiều ta được x y z 1 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 x 3x yz y 3y xz z 3z xy
  8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông THÁI BèNH Năm học 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán (Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 3 1 x 9 1. Rút gọn biểu thức: A . với x > 0, x 9 x 3 x x 3 x 1 1 2. Chứng minh rằng: 5. 10 5 2 5 2 Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm A(0; 2) và B(-1; 0) 1. Tìm giá trị của k và n để : a) Đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B. b) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ) : y = x + 2 – k 2. Cho n = 2. Tìm k để đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Bài 3. ( 2,0 điểm) Cho phơng trình bậc hai: x2 – 2mx +m – 7 = 0 (1) với m là tham số 1. Giải phơng trình với m = -1 2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1 3. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức 16 x1 x2 Bài 4 . ( 3,5 điểm)
  9. Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đ- ờng tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E. 1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK 2. Qua N kẻ đờng thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh NFK cân. 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2. Bài 5 . ( 0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a 1 b 1 c 1 4 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Giám thị 1: Giám thị 2: . Sở Giáo dục và đào tạo Năm học 2010 – 2011 THÁI BèNH Đề CHíNH THứC Hớng dẫn chấm môn Toán 7 (Gồm 04 trang) Bài 1. (2,0 điểm) 3 1 x 9 1. Rút gọn biểu thức: A . với x > 0, x 9 x 3 x x 3 x 1 1 2. Chứng minh rằng: 5. 10 5 2 5 2 Câu Nội dung Điểm 1 3 1 x 9 A . x 3 x x 3 x 3 1 x 9 0,25 A . x( x 3) x 3 x 3 x 9 x 3 x ( x 3)( x 3) 0,25 A . x( x 3)( x 3) x (x 9).( x 3)( x 3) 0,25 A x( x 3)( x 3) x 0,25 x 9 A x 2 Biến đổi vế trái: 1 1 VT 5( ) 5 2 5 2 5 2 5 2 5 0,5 ( 5 2)( 5 2) 2 5 = 5 10 0,5 5 4
  10. Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm A(0; 2) và B(- 1; 0) 1. Tìm giá trị của k và n để : a) Đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B. b) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ) : y = x + 2 – k 2. Cho n = 2. Tìm k để đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Câu Nội dung Điểm 1a Đờng thẳng (d) đi qua điểm A(0; 2) n = 2 0,25 Đờng thẳng (d) đi qua điểm B (-1; 0) 0 = (k -1) (-1) + n 0 = - k + 1 +2 k = 3 0,25 Vậy với k = 3; n = 2 thì (d) đi qua hai diểm A và B 0,25 1b Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ) : y = x + 2 – k k 1 1 0,25 2 k n k 2 0,25 n 0 k 2 Vậy với thì Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ) 0,25 n 0 2 Với n = 2 phơng trình của (d) là: y = (k - 1) x + 2 đờng thẳng (d) cắt trục Ox k - 1 ≠ 0 k ≠ 1 0,25 2 Giao điểm của (d) với Ox là C( ;0) 1 k y các OAB và OAC vuông tại O 1 1 SOAC OA.OC ; SOAB OA.OB ( ) 2 2 SOAC = 2SOAB OC = 2.OB A(0;2) xc 2. xB 2 2. 1 x 1 k 2 B(-1; 0) O 1 2 C( ; 0) 2 1-k 2 k 0 1 k ( thoả 2 2 k 2 1 k mãn) 0,25 Vậy với k = 0 hoặc k = 2 thì SOAC = 2SOAB Bài 3. ( 2,0 điểm) Cho phơng trình bậc hai: x2 – 2mx + m – 7 = 0 (1) với m là tham số 1. Giải phơng trình với m = -1 2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1 3. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức 16 x1 x2 Câu Nội dung Điểm 1 Với m = -1 ta có pT: x2 + 2x -8 = 0 ' = 12 - 1(-8) = 9 0,25 0,25 x1 = - 1 +9 = 2; x2 = -1 - 9 = -4 0,25 Vậy với m = - 1phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2; x2= - 4 2 ' = m2 - m + 7 0,25
  11. 1 27 (m ) 2 > 0 với mọi m 2 4 0,25 Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 0,25 3 Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m x1 x2 2m nên theo Viet ta có: 0,25 x1 x2 m 7 1 1 x x 2m Theo bài ra 16 1 2 16 16 m = 8 x1 x2 x1 x2 m 7 KL: m = 8 0,25 Bài 4 . ( 3,5 điểm) Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đờng tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E. 1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và CAE đồng dạng với CHK 2. Qua N kẻ đờng thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh NFK cân. 3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2. Câu Nội dung Điểm M M H O H O A B A B E E T N N K K F C C h2 h1 1 Ta có  AKE = 900 ( .) 0,25 và  AHE = 90o ( vì MN  AB) 0,25  AKE +  AHE = 1800 0,25 AHEK là tứ giác nọi tiếp 0,25 Xét CAE và CHK có :  C là góc chung  CAE =  CHK ( cùng chắn cung KE) 0,25 CAE ~ CHK (gg) 0,25 2 ta có NF  AC; KB  AC NF // KB 0,25  MKB =  KFN (1)( đồng vị) và  BKN =  KNF (2) (slt) 0,25 mà MN  AB Cung MB = cung NB  MKB =  BKN (3) Từ 1,2,3  KFN =  KNF 0,25 NFK cân tại K 0,25 3 Nếu KE = KC KEC vuông cân tại K  KEC = 450 0,25  ABK = 450 Sđ cung AK = 900
  12. K là điểm chính giữa cung AB KO  AB mà MN  AB nên OK // MN 0,25 Kẻ đờng kính MT chứng minh KT = KN 0,25 mà MKT vuông tại K nên KM2 + KT2 = MT2 hay KM2 + KN2 = (2R)2 hay KM2 + KN2 = 4R2 0,25 Bài 5 . ( 0,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a 1 b 1 c 1 4 Câu Nội dung Điểm Cỏch 1. Khụng giảm tổng quỏt, cú thể giả sử c = min(a ; b ; c). Từ giả thiết a + b + c = 3 3c a + b + c c 1. Do đú 0 c 1. Đặt a = 1 + x, b = 1 + y thỡ c = 1 – x – y. Do 0 c 1 nờn 0 x + y 1. Ta cú : (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 = x3 + y3 + (-x – y)3 = -3xy(x + y). (x y)2 (x y)3 Mặt khỏc (x – y)2 0 x, y xy xy(x + y) 4 4 1 (vỡ 0 x + y 1) 4 3 1 3 -3xy(x + y) . Dấu bằng xảy ra x = y = (khi đú a = b = , 4 2 2 c = 0) 3 Vậy (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 . 4 Cỏch 2. Ta cú: 2 3 3 2 2 3 3 (a 1) a 3a 3a 1 a(a 3a 3) 1 a a a 1 2 4 2 3 3 3 (a 1) a 1 (1) (do a 0 và a 0 ) 4 2 3 Tương tự: (b 1)3 b 1 (2) 4 3 (c 1)3 c 1 (3) 4 Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được : 3 3 3 (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 (a b c) 3 3 3 4 4 4 3 Vậy (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 . 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
  13. 2 3 a a 0 3 2 a 0 a 3 2 a 0, b c 2 2 3 3 b b 0 b 0 b 3 2 2 b 0, a c 2 2 3 3 c 0 c c c 0 3 2 c 0, a b 2 2 a b c 3 a b c 3 SỞ GD&ĐT HềA BèNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MễN TOÁN Đề chớnh thức LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG PT DTNT TỈNH Ngày thi : 21 thỏng 7 năm 2010 Thời gian làm bài 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề ) ( Đề thi gồm cú 01 trang ) 2 2 x - 6 Cõu 1 (2 điểm) Cho biểu thức : A = 1- + : 2 x - 2 x + 2 x - 2 a) Tỡm x để biểu thức A cú nghĩa ; b) Rỳt gọn biểu thức A. Cõu 2 (2 điểm) Cho phương trỡnh : x2 - mx - x - m - 3 = 0 (1), (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1;x2 với mọi giỏ trị của m ; 2 2 b) Tỡm giỏ trị của m để biểu thứcđPạt= giỏx1 +trịx 2nhỏ- x 1nhất.x2 + 3 x1+ 3x2 Cõu 3 (2 điểm) Một canụ đi xuụi dũng sụng từ bến A đến bến B hết 6 giờ, đi ngược dũng sụng từ bến B về bến A hết 8 giờ. (Vận tốc dũng nước khụng thay đổi) a) Hỏi vận tốc của canụ khi nước yờn lặng gấp mấy lần vận tốc dũng nước chảy ?
  14. b) Nếu thả trụi một bố nứa từ bến A đến bến B thỡ hết bao nhiờu thời gian ? Cõu 4 (3 điểm) 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A và AB = 10cm. Gọi H là chõn đường cao kẻ từ A xuống BC. Biết rằng HB = 6cm, tớnh độ dài cạnh huyền BC. 2. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O), H là trực tõm của tam giỏc, AH cắt đường trũn (O) tại D (D khỏc A). Chứng minh rằng tam giỏc HBD cõn. 3. Hóy nờu cỏch vẽ hỡnh vuụng ABCD khi biết tõm I của hỡnh vuụng và cỏc điểm M, N lần lượt thuộc cỏc đường thẳng AB, CD. (Ba điểm M, I, N khụng thẳng hàng). x2 y2 - xy - 2 = 0 Cõu 5 (1 điểm) Giải hệ ph ng trỡnh : ươ 2 2 2 2 x + y = x y Hết Họ và tờn thớ sinh : Số bỏo danh : Phũng thi : Giỏm thị 1 (Họ và tờn, chữ ký) : Giỏm thị 2 (Họ và tờn, chữ ký) : Sở GD & ĐT Hoà Bình kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM DTNT Chất lượng cao (Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tương ứng) Cõu ý Hướng dẫn chấm Điểm 1a x 2, x 2, x 6 1 x2 2 x 2 2 x 2 2 x 6 0.5 A : 1 x2 2 x2 2 1b x2 6 x2 2 . x 6 x2 2 x 6 0.5 Viết (1) x2 (m 1)x (m 3) 0 0.5 2a Ta có (m 1)2 4(m 3) m2 6m 13 (m 3)2 4 0m 0.5 Vì 0 m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2 x1 x2 m 1 + Theo định lý Viet ta cú: 0.5 x1x2 (m 3) 2b + Lỳc đú: P (m 1)2 3(m 3) 3(m 1) m2 8m 13 (m 4)2 3 3 0.5 + Vậy với m = - 4 thỡ P đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng -3. + Gọi x, y lần lượt là vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước chảy, từ giả thiết ta 3 3a có phương trình: 6(x y) 8(x y) 2x 14y x 7y . 0.5 + Vậy vận tốc của canô khi nước yờn lặng gấp 7 lần vận tốc dòng nước. 0.5
  15. + Gọi khoảng cách giữa hai bến A, B là S, ta có: 6(x y) S 48y S . 0.5 3b S + Vậy thả trụi bè nứa xuôi từ A đến B hết số thời gian là 48 (giờ). 0.5 y áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A ABC, ta có: 2 2 BA 50 BA BH.BC BC . 10 4a BH 3 1 50 Vậy độ dài cạnh huyền là: (cm) 3 6 B C H A + BH cắt AC tại E. Chứng minh được 4 ΔBHI : ΔAHE Hã AC Hã BC (1) E + Lại có: Hã AC=Dã BC (2) 0.5 H + Từ (1) và (2) suy ra: BC là phân giác của Dã BH 4b O (3) I + Kết hợp (3) với giả thiết BC  HD suy ra tam 0.5 B C giác DBH cân tại B. D + Gọi M’ và N’ lần lượt là điểm đối xứng của M và N qua tõm I của hỡnh vuụng ABCD. Suy ra MN’ // M’N 0.5 + Gọi H, K lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc hạ từ I xuống cỏc đường thẳng MN’ và M’N. Vẽ đường trũn tõm H, bỏn kớnh HI cắt MN’ tại hai điểm A và B; vẽ đường trũn tõm K, bỏn kớnh KI cắt M’N tại hai điểm C và D. 0.5 + Nối 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự ta được hỡnh vuụng ABCD. 4 4c M A H N' B I C M' D N K (Thí sinh không cần phân tích, chứng minh cách dựng) xy 1 + Có x2 y2 xy 2 0 0.5 xy 2 5
  16. x 0 0.25 xy 1 1 + Giải hệ y , Vô nghiệm 2 2 x y 1 x 1 x2 1 x2 x 0 xy 2 2 0.25 + Giải hệ y x y 2 2 2 x y 4 x 4 x2 4 x2 Kết luận hệ có hai nghiệm: ( 2 ; 2);( 2 ; 2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT KIấN GIANG NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN THI: TOÁN (Đề thi cú 01 trang) Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/6/2011 Cõu 1. (1,5 điểm) Tớnh: a) 12 75 48 b) Tớnh giỏ trị biểu thức: A = (10 3 11)(3 11 10) . Cõu 2. (1,5 điểm) Cho hàm số y (2 m)x m 3 (1) a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số khi m 1 b) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị hàm số (1) đồng biến. Cõu 3. (1 điểm) x 2y 5 Giải hệ phương trỡnh: 3x y 1
  17. Cõu 4. (2,5 điểm) 2 3 3 a) Phương trỡnh: x x 3 0 cú 2 nghiệm x1, x2 . Tớnh giỏ trị: X = x1 x2 x2 x1 21 b) Một phũng họp dự định cú 120 người dự họp, nhưng khi họp cú 160 người tham dự nờn phải kờ thờm 2 dóy ghế và mỗi dóy phải kờ thờm một ghế nữa thỡ vừa đủ. Tớnh số dóy ghế dự định lỳc đầu. Biết rằng số dóy ghế lỳc đầu trong phũng nhiều hơn 20 dóy ghế và số ghế trờn mỗi dóy ghế là bằng nhau. Cõu 5. (1 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Tớnh chu vi tam giỏc ABC biết: 25 AC = 5 cm, HC = cm. 13 Cõu 6. (2,5 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB; Vẽ tiếp tuyến Ax, By với đường trũn tõm O. Lấy E trờn nửa đường trũn, qua E vẽ tiếp tuyến với đường trũn cắt Ax tại D cắt By tại C a) Chứng minh: OADE nội tiếp được đường trũn b) Nối AC cắt BD tại F. Chứng minh: EF song song với AD HẾT (Thớ sinh được sử dụng mỏy tớnh theo quy chế hiện hành) ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 12 75 48 4.3 25.3 16.3 a) 2 3 5 3 4 3 3 b) A = (10 3 11)(3 11 10) = 102 (3 11)2 100 99 1 2. a) Khi m 1 thỡ hàm số (1) trở thành: x 0 -2 y x 2 Xột hàm số y x 2 ta cú bảng giỏ trị: y 2 0
  18. 3. 4. b) y (2 m)x m 3 (1) Để đồ thị của hàm số (1) đồng biến thỡ: 2 m 0 m 2 x 2y 5 x 2y 5 7x 7 x 1 x 1 3x y 1 6x 2y 1 x 2y 5 1 2y 5 y 2 a) Phương trỡnh: x2 x 3 0 (a = 1 ; b = -1 ; c = -3) Ta cú: a.c = 1 . (-3) = -3 < 0 phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 . Theo x1 x2 1 định lớ Vi-ột ta cú : (I) x1x2 3 3 3 2 2 Theo đề ta cú: X = x1 x2 x2 x1 21 = x1x2 (x1 x2 ) 21 2 = x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 21 Thay hệ thức (I) vào biểu thức X ta được: X =-3 . [12 – 2 (-3)] + 21 = -21 + 21 = 0 b) Gọi x (dóy) là số dóy ghế dự đinh lỳc đầu( x N* vàx 20 ) Khi đú x 2 (dóy) là số dóy ghế lỳc sau 120 Số ghế trong mỗi dóy lỳc đầu: (ghế) x 160 Số ghế trong mỗi dóy lỳc sau: ghế x 2 Do phải kờ thờm mỗi dóy một ghế nữa thỡ vừa đủ 5. 160 120 nờn ta cú phương trỡnh : 1 x 2 x 160x 120(x 2) x(x 2) x2 38x 240 0 x 30 x 8 (loại) Vậy số dóy ghế dự định lỳc đầu là 30 dóy à 0 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ∆ABC (A 90 ). AC2 25 Ta cú: AC2 = BC. HC BC = 13 (cm) HC 25 13 à 0 Áp dụng định lớ Pytago trong ∆ABC (A 90 ) ta cú:
  19. BC2 = AC2 + AB2 AB = BC2 AC2 132 52 12 (cm) Chu vi tam giỏc ABC là: 6. AB + BC + AC = 12 + 13 + 5 = 30 (cm) C E D F A B O a) Chứng minh: AOED nội tiếp được đường trũn: Xột tứ giỏc AOED cú: ã DAO 900 (vì AD là tiếp tuyến của (O)) ã DEO 900 (vì DC là tiếp tuyến tại E của (O)) ã ã DAO DEO 1800 AOED nội tiếp đường tròn đường kính OD b) Chứng minh EF song song với AD DA  AB Ta cú : DA // CB CB  AB ã ã DAF = BCF (so le trong) à à Mặt khác: F1 = F2 (đối đỉnh) AD AF ADF ~ CBF (g - g) (1) CB CF Mà AD = DE (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) BC = CE (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DE AF Từ (1) và (2) . Theo định lớ Talet đảo suy ra: EC FC EF // AD HẾT SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NINH THUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Khúa ngày: 26 – 6 – 2011 Mụn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phỳt ĐỀ: Bài 1: (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x2 a) Vẽ (d) và (P) trờn cựng một hệ trục tọa độ. b) Bằng đồ thị hóy xỏc định tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). Bài 2: (2,0 điểm)
  20. a) Giải phương trỡnh: 3x2 – 4x – 2 = 0. 3 x 2 y 1 b) Giải hệ phương trỡnh: 2 x y 4 Bài 3: (2,0 điểm) x x 8 Cho biểu thức: P = 3(1 x) , với x 0 x 2 x 4 a/ Rỳt gọn biểu thức P. 2P b/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để biểu thức Q = nhận giỏ trị nguyờn. 1 P Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc BAC = 600, đường phõn giỏc trong của gúc ABC là BD và đường phõn giỏc trong của gúc ACB là CE cắt nhau tại I (D AC và E AB) a) Chứng minh tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn. b) Chứng minh rằng: ID = IE. c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD. BI Bài 5: (1,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua điểm A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại E và cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng: 1 1 1 A2 A 2 AF 2 ĐÁP ÁN Bài 1: (2,0 điểm) a) Vẽ (d) và (P) trờn cựng một hệ trục tọa độ. b) Bằng đồ thị hóy xỏc định tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). Tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). A ( 1 ; 1 ) và B ( -2 ; 4 ) . Bài 2: (2,0 điểm) a)Giải phương trỡnh: 3x2 – 4x – 2 = 0. ' ( 2) 2 3.( 2) 10 2 10 2 10 x ; x 1 3 1 3
  21. 3 x 2 y 1 b)Giải hệ phương trỡnh : ;x 0;y 0 2 x y 4 3 x 2 y 1 x 1 x 1 y 4 4 x 2 y 8 y 2 Bài 3: (2,0 điểm) a)Rỳt gọn biểu thức P. x x 8 P = 3(1 x) , với x 0 x 2 x 4 = x 2 3 3 x 1 2 x 2P b)Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để biểu thức Q = nhận giỏ trị nguyờn. 1 P 2P 2(1 2 x) 1 2 x 1 Q = = 2 1 P 1 (1 2 x) x x 1 Q   x 1 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn. B Ta cú:  A = 600  B +  C = 1200  IBC + ICB = 600 ( vỡ BI , CI là phõn giỏc)  BIC = 1200  EID = 1200 0 0 0 E Tứ giỏc AEID cú :  EID +  A = 120 + 60 = 180 I Nờn: tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn b) Chứng minh rằng: ID = IE C Tam giỏc ABC cú BI và CI là hai đường phõn giỏc, nờn CI A D là phõn giỏc thứ ba  EAI =  AID cung EI = cung ID . Vậy: EI = ID c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD. BI  EAI =  EDI ;  ABD chung BA BI BAI  BDE BA.BE = BD. BI BD BE 1 1 1 Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh : A2 A 2 AF 2 Qua A, dựng đường thẳng vuụng gúc với AF, đường B thẳng này cắt đường thẳng CD tại M F 0 E Ta cú: Tứ giỏc AECM nội tiếp ( vỡ  EAM =  ECM = 90 ) A  AME =  ACE = 450 Tam giỏc AME vuụng cõn tại A C AE = AM AMF vuụng tại A cú AD là đường cao, nờn : D 1 1 1 M AD 2 AM 2 AF 2 Vỡ : AD = AB (cạnh hỡnh vuụng) ; AM = AE (cmt) 1 1 1 Vậy: A2 A 2 AF 2
  22. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC. Mụn thi: TOÁN. Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. Cõu I (3,0 điểm) 1 1 x 1 Cho biểu thức A = : 2 x x x 1 x 1 a) Nờu ĐKXĐ và rỳt gọn A 1 b) Tỡm giỏ trị của x để A = 3
  23. c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x Cõu 2. (2,0 điểm) Cho phương trỡnh bậc hai: x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0 (1), (m là tham số) a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 1 b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món: x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 Cõu 3(1,5 điểm) Quóng đường AB dài 120 km. Hai xe mỏy khởi hành cựng một lỳc đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nờn xe mỏy thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ. Tớnh vận tốc của mỗi xe. Cõu 4. (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường trũn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE tới đường trũn đú (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giỏc nội tiếp. b) Chứng minh rằng: AH. AO = AD. AE c) Tiếp tuyến tại D của đường trũn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q. Chứng minh rằng: IP + KQ PQ HẾT ĐÁP ÁN : Cõu 1: x 1 a) ĐKXĐ: x > 0, x 1 . Rỳt gọn: A = x 1 x 1 1 9 b) A = 3 x 1 x x (thỏa món) 3 x 3 4 x 1 1 c) P = A - 9x = - 9x = 1 – 9 x x x 1 Áp dụng BĐT Cụsi : 9 x 2.3 6 x 1 => P -5. Vậy MaxP = -5 khi x = 9 Cõu 2:
  24. 2 a) với m = 1, ta cú Pt: x – 6x + 8 = 0 => x1 = 2, x2 = 4 b) xột pt (1) ta cú: ' = (m + 2)2 – (m2 + 7) = 4m – 3 3 phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1, x2  m 4 x1 x2 2(m 2) Theo hệ thức Vi-et: 2 x1x2 m 7 Theo giả thiết: x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 m 2 + 7 – 4(m +2) = 4 2  m – 4m – 5 = 0 => m1 = - 1(loại) ; m2 = 5 (thỏa món) Vậy m = 5 Cõu 3: Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h), ĐK: x > 0 vận tốc của xe thứ nhất là x + 10 (km/h) 120 120 Theo bài ra ta cú pt: 1  x2 + 10x – 1200 = 0 x x 10 => x1 = 30 (t/m) x2 = - 40 (loại) vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h, của xe thứ hai là 30km/h Cõu 4: P B a) Ã BO + Ã CO = 1800 => tứ giỏc ABOC nội tiếp E I b) ABD : AEB (g.g) => AD.AE = AB2 (1) ABO vuụng tại B, BH  AO => AH.AO = AB2 (2) D => AH. AO = AD. AE c) Áp dung BĐT Cụsi: IP + KQ 2 IP.KQ A H O Ta cú: APQ cõn tại A=>OP = OQ => PQ = 2OP Để C/m IP + KQ PQ ,Ta C/m: IP.KQ = OP2 K Thật vậy: BOP = COQ (c.h-g.n) => Bã OP Cã OQ Theo T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau: Bã OI Dã OI , Dã OK Cã OK C => Bã OP Bã OI Dã OK Cã OQ Dã OI Cã OK 900 => Pã OI Dã OK 900 Q Mà Qã KO Cã OK 900 Suy ra: Pã OI Qã KO Do đú: POI : QKO (g.g)  IP.KQ = OP.OQ = OP2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài 1: (2 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a) 3x2 2x 1 0 5x 7y 3 b) 5x 4y 8 c) x4 5x2 36 0 d) 3x2 x 3 3 3 0
  25. Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 và đường thẳng (D): y 2x 3 trờn cựng một hệ trục toạ độ. b) Tỡm toạ độ cỏc giao điểm của (P) và (D) ở cõu trờn bằng phộp tớnh. Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn cỏc biểu thức sau: 3 3 4 3 4 A 2 3 1 5 2 3 x x 2x 28 x 4 x 8 B (x 0, x 16) x 3 x 4 x 1 4 x Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh x2 2mx 4m2 5 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn luụn cú nghiệm với mọi m. b) Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh. 2 2 Tỡm m để biểu thức A = x1 x2 x1x2 . đạt giỏ trị nhỏ nhất Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường trũn (O) cú tõm O, đường kớnh BC. Lấy một điểm A trờn đường trũn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuụng gúc với BC (H thuộc BC). Từ H, vẽ HE vuụng gúc với AB và HF vuụng gúc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Chứng minh rằng AEHF là hỡnh chữ nhật và OA vuụng gúc với EF. b) Đường thẳng EF cắt đường trũn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F). Chứng minh AP2 = AE.AB. Suy ra APH là tam giỏc cõn c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cựa AD và đường trũn (O) (K khỏc A). Chứng minh AEFK là một tứ giỏc nội tiếp. d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID Hết
  26. BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a) 3x2 2x 1 0 (a) Vỡ phương trỡnh (a) cú a + b + c = 0 nờn 1 (a) x 1 hay x 3 5x 7y 3 (1) 11y 11 ((1) (2)) b) 5x 4y 8 (2) 5x 4y 8 4 y 1 x 5 5x 4 y 1 c) x4 + 5x2 – 36 = 0 (C) Đặt u = x2 0, phương trỡnh thành : u2 + 5u – 36 = 0 (*) 5 13 5 13 (*) cú = 169, nờn (*) u 4 hay u 9 (loại) 2 2 Do đú, (C) x2 = 4 x = 2 Cỏch khỏc : (C) (x2 – 4)(x2 + 9) = 0 x2 = 4 x = 2 d) 3x2 x 3 3 3 0 (d) 3 3 (d) cú : a + b + c = 0 nờn (d) x = 1 hay x 3 Bài 2: b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là x2 2x 3 x2 – 2x – 3 = 0 x 1 hay x 3 (Vỡ a – b + c = 0) y(-1) = -1, y(3) = -9 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là 1; 1 , 3; 9 . Bài 3: Thu gọn cỏc biểu thức sau: 3 3 4 3 4 A 2 3 1 5 2 3 (3 3 4)(2 3 1) ( 3 4)(5 2 3) = 11 13 22 11 3 26 13 3 = = 2 3 2 3 11 13 1 1 =( 4 2 3 4 2 3) = ( ( 3 1)2 ( 3 1)2 ) 2 2 1 = [ 3 1 ( 3 1)] = 2 2 x x 2x 28 x 4 x 8 B (x 0, x 16) x 3 x 4 x 1 4 x
  27. x x 2x 28 x 4 x 8 = ( x 1)( x 4) x 1 4 x x x 2x 28 ( x 4)2 ( x 8)( x 1) = ( x 1)( x 4) x x 2x 28 x 8 x 16 x 9 x 8 x x 4x x 4 = = ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 1)( x 4) = = x 1 ( x 1)( x 4) Bài 4: a/ Phương trỡnh (1) cú ∆’ = m2 + 4m +5 = (m+2)2 +1 > 0 với mọi m nờn phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m. b c b/ Do đú, theo Viet, với mọi m, ta cú: S = 2m ; P = 4m 5 a a 2 2 2  A = (x1 x2 ) 3x1x2 = 4m 3(4m 5) = (2m 3) 6 6, với mọi m. 3 Và A = 6 khi m = 2 3 Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 6 khi m = 2 Bài 5: a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật vỡ cú 3 gúc A vuụng P E Gúc HAF = gúc EFA (vỡ AEHF là hỡnh chữ K nhật) F Q Gúc OAC = gúc OCA (vỡ OA = OC) Do đú: gúc OAC + gúc AFE = 900 B O H I C D OA vuụng gúc với EF b) OA vuụng gúc PQ cung PA = cung AQ Do đú: APE đồng dạng ABP AP AE AP2 = AE.AB AB AP Ta cú : AH2 = AE.AB (hệ thức lượng HAB vuụng tại H, cú HE là chiều cao) AP = AH APH cõn tại A c) DE.DF = DC.DB, DC.DB = DK.DA DE.DF = DK.DA Do đú DFK đồng dạng DAE gúc DKF = gúc DEA tứ giỏc AEFK nội tiếp d) Ta cú : AF.AC = AH2 (hệ thức lượng trong AHC vuụng tại H, cú HF là chiều cao) Ta cú: AK.AD = AH2 (hệ thức lượng trong AHD vuụng tại H, cú HK là chiều cao) Vậy AK.AD = AF.AC Từ đú ta cú tứ giỏc AFCD nội tiếp, vậy ta cú: IC.ID=IF.IK ( ICF đồng dạng IKD) và IH2 = IF.IK (từ IHF đồng dạng IKH) IH2 = IC.ID
  28. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.Hà Nội MễN : TOÁN - Năm học : 2011 – 2012 Ngày thi : 22 thỏng 6 năm 2011 Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài I (2,5 điểm) x 10 x 5 Cho A Với x 0,x 25 . x 5 x 25 x 5 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Tớnh giỏ trị của A khi x = 9. 1 3) Tỡm x để A . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đú chở vượt mức 5 tấn nờn đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thờm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiờu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2x m2 9 . 1) Tỡm toạ độ cỏc giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phớa của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường trũn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường trũn (O) (E khụng trựng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuụng gúc với EI cắt hai đường thẳng d 1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh ENI EBI và MIN 900 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . 4) Gọi F là điểm chớnh giữa của cung AB khụng chứa E của đường trũn (O). Hóy tớnh diện tớch của tam giỏc MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. 1 Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x2 3x 2011 . 4x Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng được giải thớch gỡ them
  29. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 1/ Rỳt gọn: ĐK: x 0,x 25 x 10 x 5 x. x +5 -10 x -5. x -5 x+5 x -10 x -5 x +25 A= - - = = x -5 x-25 x +5 x -5 x+5 x -5 x +5 2 x-10 x +25 x -5 x -5 = = = (Voi x 0; x 25) x -5 x +5 x -5 x +5 x +5 2/ Với x = 9 Thỏa món x 0,x 25 , nờn A xỏc định được, ta cú x 3 . Vậy 3 5 2 1 A 3 5 8 4 3/ Ta cú: ĐK x 0,x 25 1 x - 5 1 3 x - 15 - x - 5 A - 0 0 3 x + 5 3 3 x +5 2 x - 20 0 (Vỡ 3 x +5 0) 2 x 1) Thỡ thời gian thực tế đội xe đú chở hết hàng là x – 1 (ngày) 140 Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đú phải chở được (tấn) x 150 Thực tế đội đú đó chở được 140 + 10 = 150(tấn) nờn mỗi ngày đội đú chở được (tấn) x 1 Vỡ thực tế mỗi ngày đội đú chở vượt mức 5 tấn, nờn ta cú pt: 150 140 5 x 1 x 150x – 140x + 140 = 5x2 -5x 5x2 -5x – 10x - 140 = 0 5x2 -15x - 140 = 0 x2 -3x - 28 = 0 Giải ra x = 7 (T/M) và x = -4 (loại) Vậy thời gian đội xe đú chở hết hàng theo kế hoạch là 7 ngày Bài 3: 1/ Với m = 1 ta cú (d): y = 2x + 8 Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (P) và (d) là x2 = 2x + 8 x2 – 2x – 8 = 0 Giải ra x = 4 => y = 16
  30. x = -2 => y = 4 Tọa độ cỏc giao điểm của (P) và (d) là (4 ; 16) và (-2 ; 4) 2/ Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (d) và (P) là x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt nằm về hai phớa của trục tung thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu ac gúc MAI + gúc MEI = 180o. Mà 2 gúc ở vị trớ đối diện => tứ giỏc AIEM nội tiếp 2/ Xột tứ giỏc BIEN cú gúc IEN = gúc IBN = 90o.  gúc IEN + gúc IBN = 180o.  tứ giỏc IBNE nội tiếp  gúc ENI = gúc EBI = ẵ sđ cg IE (*)  Do tứ giỏc AMEI nội tiếp => gúc EMI = gúc EAI = ẵ sđ EB ( ) Từ (*) và ( ) suy ra gúc EMI + gúc ENI = ẵ sđ AB = 90o. 3/ Xột tam giỏc vuụng AMI và tam giỏc vuụng BIN cú gúc AIM = gúc BNI ( cựng cộng với gúc NIB = 90o)  AMI ~ BNI ( g-g) AM AI  BI BN  AM.BN = AI.BI 4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta cú hỡnh vẽ Do tứ giỏc AMEI nội tiếp nờn gúc AMI = gúc AEF = 45o. Nờn tam giỏc AMI vuụng cõn tại A Chứng minh tương tự ta cú tam giỏc BNI vuụng cõn tại B  AM = AI, BI = BN Áp dụng Pitago tớnh được R 2 3R 2 MI ; IN 2 2
  31. 1 3R 2 Vậy S .IM.IN ( đvdt) MIN 2 4 Bài 5: 1 1 M 4x2 3x 2011 4x2 4x 1 x 2010 4x 4x 1 (2x 1)2 (x ) 2010 4x Vỡ (2x 1)2 0 1 1 1 1 và x > 0 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta cú: x + 2 x. 2. 1 4x 4x 4x 2 1  M =(2x 1)2 (x ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011 4x 1 x 1 2 x 2x 1 0 2 1 2 1 1 1  M 2011 ; Dấu “=” xảy ra  x x = x x 4x 4 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 0 1 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 2 Bài 5: 1 M 4x 2 3x 2011 4x 1 1 1 1 M 3 x 2 x x 2 2010 4 8x 8x 4 2 1 1 1 1 M 3 x x 2 2010 2 8x 8x 4 1 1 Áp dụng cụ si cho ba số x 2 , , ta cú 8x 8x 1 1 1 1 3 x 2 33 x 2 . . Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 8x 8x 8x 8x 4 1 mà x 0 Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 2 3 1 Vậy M 0 2010 2011 4 4 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 2
  32. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYấN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012 Mụn: TOÁN ( chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phỳt PHẦN 1 – Trắc nghiệm (1 điểm): Hóy chọn phương ỏn đỳng và viết vào bài làm chữ cỏi đứng trước phương ỏn lựa chọn. Cõu 1: Phương trỡnh x2 mx m 1 0 cú hai nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi: A.m 2 . B.m Ă . C.m 2 . D.m 2 . Cõu 2: Cho (O) nội tiếp tam giỏc MNP cõn tại M. Gọi E; F lần lượt là tiếp điểm của (O) với cỏc cạnh MN;MP. Biết Mã NP 500 .Khi đú, cung nhỏ EF của (O) cú số đo bằng: A.1000 . B.800 . C.500 . D.1600 . Cõu 3: Gọi là gúc tạo bởi đường thẳng y x 3 với trục Ox, gọi  là gúc tạo bởi đường thẳng y 3x 5 với trục Ox. Trong cỏc phỏt biểu sau,phỏt biểu nào sai ? A. 450 . B.  900 . C. 900 . D.  . Cõu 4: Một hỡnh trụ cú chiều cao là 6cm và diện tớch xung quanh là 36 cm2 . Khi đú, hỡnh trụ đó cho cú bỏn kớnh đỏy bằng A.6 cm. B. 3 cm. C. 3 cm. D. 6cm. PHẦN 2 – Tự luận ( 9 điểm): 3 x 1 1 1 Cõu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức : P : với x 0 và x 1 x 1 x 1 x x 1/ Rỳt gọn biểu thức P . 2/ Tỡm x để 2P – x = 3. Cõu 2.(2 điểm) 1) Trờn mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M cú hoành độ bằng 2 và M thuộc đồ thị hàm số y 2x2 . Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất). 2 2) Cho phương trỡnh x 5x 1 0 1 . Biết phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1;x2 . Lập phương trỡnh bậc hai ẩn y ( Với cỏc hệ số là số nguyờn ) cú hai nghiệm lần lượt là 1 1 y1 1 và y2 1 x1 x2 3 2 17 x 2 y 1 5 Cõu 3.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 2x 2 y 2 26 x 2 y 1 5 Cõu 4.(3,0 điểm): Cho (O; R). Từ điểm M ở ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của (O;R) ( với A, B là cỏc tiếp điểm). Kẻ AH vuụng gúc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt (O;R) tại N (khỏc A). Đường trũn đường kớnh NA cắt cỏc đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K . 1) Chứng minh tứ giỏc NHBI là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh tam giỏc NHI đồng dạng với tam giỏc NIK. 3) Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao điểm của NA và KI. Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA. 2 Cõu 5.(1,5 điểm) 1)Giải phương trỡnh : x x2 9 x 9 22 x 1
  33. 2 1 3 1 2)Chứng minh rằng : Với mọi x 1, ta luụn cú 3 x 2 2 x 3 . x x HD Cõu 3.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: ĐKXĐ: x 2;y 1 3 2 17 3 2 17 3 2 17 x 2 y 1 5 x 2 y 1 5 x 2 y 1 5 2x 2 y 2 26 2(x 2) 2 (y 1) 3 26 2 3 26 2 1 x 2 y 1 5 x 2 y 1 5 x 2 y 1 5 1) Cõu 4.(3,0 điểm) 1) Nã IB Bã HN 1800 Y NHBI nội tiếp 2) cm tương tự cõu 1) ta cú AINK nội tiếp  A Ta cú Hà 1 Bà 1 À 1 I1  1 E I2 Bà 2 À 2 Kà 2 2 K 3) ta cú: 2   ã à ả ã 0 I1 I2 DNC B1 A2 DNC 180 D O M 2 Do đú CNDI nội tiếp 1 à  à I 2 N D2 I2 A2 DC // AI C 1 H Lại cú À 1 Hà 1 AE / /IC 1 2 Vậy AECI là hỡnh bỡnh hành => CI = EA. B Cõu 5.(1,5 điểm) 2 1) Giải phương trỡnh : x x2 9 x 9 22 x 1 2 2 2 2 2 2 x 9 x 9x 22 x 1 x 9 x 9 9 x 1 22 x 1 Đặt x – 1 = t; x2 9 = m ta cú: m2 9mt 22t2 22t2 9mt m2 0 m m Giải phương trỡnh này ta được t ;t 2 11 m x2 9  Với t ta cú : x 1 x2 2x 11 0 vụ nghiờm 2 2 m x2 9  Với t ta cú : x 1 x2 11x 2 0 11 11 11 129 121 8 129 > 0 phương trỡnh cú hai nghiệm x 1,2 2 2 1 3 1 2) Chứng minh rằng : Với mọi x 1, ta luụn cú 3 x 2 2 x 3 (1) x x 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 x 2 2 x 3 3 x x 2 x x 2 1 x x x x x x 1 2 1 1 3 x 2 x 2 1 (vỡ x 1 nờn x 0) (2) x x x
  34. 1 1 Đặt x t thỡ x2 t2 2 , ta cú (2) 2t2 3t 2 0 t 2 2t 1 0 (3) x x2 2 1 Vỡ x 1 nờn x 1 0 x2 1 2x x 2 hayt 2 => (3) đỳng . Vậy ta cú x đpcm SỞ GD&ĐT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 VĨNH PHÚC ĐỀ THI MễN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (2 điểm)Trong 4 cõu: từ cõu 1 đến cõu 4, mỗi cõu đều cú 4 lựa chọn, trong đú chỉ cú duy nhất một lựa chọn đỳng. Em hóy viết vào tờ giấy làm bài thi chữ cỏi A, B, C hoặc D đứng trước lựa chọn mà em cho là đỳng (Vớ dụ: Nếu cõu 1 em lựa chọn là A thỡ viết là 1.A) Cõu 1. Giỏ trị của 12. 27 bằng: A. 12 B. 18 C. 27 D. 324 Cõu 2. Đồ thị hàm số y= mx + 1 (x là biến, m là tham số) đi qua điểm N(1; 1) . Khi đú gớ trị của m bằng: A. m = - 2 B. m = - 1 C. m = 0 D. m = 1 Cõu 3. Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 100 cm2 . Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, BC, CA. Khi đú diện tớch tam giỏc MNP bằng: A. 25 cm2 B. 20 cm2 C. 30 cm2 D. 35 cm2 Cõu 4. Tất cả cỏc giỏ trị x để biểu thức x 1 cú nghĩa là: A. x 1 D. x1 PHẦN II. TỰ LUẬN (8 điểm) x y 0 Cõu 5. (2.0 điểm) Giải hệ phương trỡnh 2 x 2y 1 0 Cõu 6. (1.5 điểm) Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số). a) Giải phương trỡnh với m = - 1 b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m đờ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt c) Tỡm tõt cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1 , x2 sao cho tổng P = 2 2 x1 + x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Cõu 7. (1.5 điểm) Một hỡnh chữ nhật ban đầu cú cho vi bằng 2010 cm. Biết rằng nều tăng chiều dài của hỡnh chữ nhật thờm 20 cm và tăng chiều rộng thờm 10 cm thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật ban đầu tăng lờn 13 300 cm2. Tớnh chiều dài, chiều rộng của hỡnh chữ nhật ban đầu. Cõu 8. (2.0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, khụng là tam giỏc cõn, AB < AC và nội tiếp đường trũn tõm O, đường kớnh BE. Cỏc đường cao AD và BK của tam giỏc ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BK cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng: a) Tứ giỏc AFEC là hỡnh thang cõn. b) BH = 2OI và điểm H đối xứng với F qua đường thẳng AC.
  35. Cõu 9.(2.0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món điều kiện a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị ab bc ca lớn nhất của biểu thức: P = . c ab a bc b ca HẾT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN ———————— HƯỚNG DẪN CHUNG: -Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với cỏc ý cơ bản học sinh phải trỡnh bày, nếu học sinh giải theo cỏch khỏc mà đỳng và đủ cỏc bước thỡ giỏm khảo vẫn cho điểm tối đa. -Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc bước sau cú liờn quan khụng được điểm. -Bài hỡnh học bắt buộc phải vẽ đỳng hỡnh thỡ mới chấm điểm, nếu khụng cú hỡnh vẽ đỳng ở phần nào thỡ giỏm khảo khụng cho điểm phần lời giải liờn quan đến hỡnh của phần đú. -Điểm toàn là tổng điểm của cỏc ý, cỏc cõu, tớnh đến 0,25 điểm và khụng làm trũn. BIỂU ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN: Phần I. Trắc nghiệm (2,0 điểm): Mỗi cõu đỳng cho 0,5 điểm. Cõu 1 2 3 4 Đỏp ỏn B C A D Phần II. Tự luận (8,0 điểm). Cõu 5 (2,0 điểm). Nội dung trỡnh bày Điể m x y 1 (1) Xột hệ phương trỡnh 2 x 2y 1 0 (2) Từ (1) x = y thay vào PT (2) ta được : x2 - 2x + 1 = 0 0,5 (x - 1)2 = 0 x = 1 0,5 Thay x = 1 vào (1) y = 1 0,5 x 1 Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho là: y 1 0,5 Cõu 6 (1,5 điểm). a. (0,5 điểm): Nội dung trỡnh bày Điể m Với m = -1 ta cú (1) : x2 2x 0 x(x 2) 0 0,25 x 0 . Vậy với m = -1 PT cú hai nghiệm là x1 0; x2 2 0,25 x 2 b. (0,5 điểm): Nội dung trỡnh bày Điể m Ta cú ’ = m2 - (m2 - 1) = 1 > 0 với m 0,25
  36. Vậy với m phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1,x2 0,25 c. (0,5 điểm): Nội dung trỡnh bày Điể m 2 2 2 2 2 P = x1 x2 x1 x2 2x1x2 = 4m - 2m + 2 2 với m 0,25 Dấu “=” xảy ra m = 0. Vậy với m = 0 thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm xthỏa1, x2 món 0,25 2 2 P = x1 x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất Cõu 7 (1,5 điểm). Nội dung trỡnh bày Điểm Gọi chiều dài hỡnh chữ nhật là x (cm), chiều rộng là y (cm) (điều kiện x, y > 0) 0,25 Chu vi hỡnh chữ nhật ban đầu là 2010 cm. ta cú phương trỡnh 2. x y 2010 x y 1005 (1) 0,25 Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thỡ kớch thước hỡnh chữ nhật mới là: Chiều dài: x 20 (cm), chiều rộng: y 10 (cm) 0,25 Khi đú diện tớch hỡnh chữ nhật mới là: x 20 . y 10 xy 13300 0,25 10x 20y 13100 x 2y 1310 (2) x y 1005 Từ (1) và (2) ta cú hệ: x 2y 1310 Trừ từng vế của hệ ta được: y = 305 (thoả món). Thay vào phương trỡnh (1) ta được: 0,25 x 700 Vậy chiều dài hỡnh chữ nhật ban đầu là: 700 cm, chiều rộng là 305 cm 0,25 Cõu 8. ( 2,0 điểm). A F K H I B E D O C a. (1,0 điểm): Nội dung trỡnh bày Điể m Cú : BFE = 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) FE  BF 0,25 BF  AC (gt) FE ∥ AC (1) 0,25 sđ AF = sđ CE AFE = CFE FAC = ECA (2) 0,25 Từ (1) và (2) AFEC là hỡnh thang cõn 0,25 b. (1,0 điểm):
  37. Nội dung trỡnh bày Điể m EC  BC EC ∥ AH (1). 0,25 BF  AC (gt) FE ∥ AC (1). HAC = ECA mà ECA = FAC 0,25 HAF cõn tại A AH = AF (2) Từ (1)và (2) AHCE là hỡnh bỡnh hành I là giao điểm hai đường chộo OI là đường trung bỡnh BEH BH = 2OI 0,25 HAF cõn tại A , HF  AC HK = KF H đối xứng với F qua AC 0,25 Cõu 9. ( 1,0 điểm). Nội dung trỡnh bày Điểm Cú: a b c 1 c a b c .c ac bc c2 c ab ac bc c2 ab a(c b) c(b c) = (c a)(c b) a b ab ab c a c b c ab (c a)(c b) 2 0,25 a bc (a b)(a c) Tương tự: b ca (b c)(b a) b c bc bc a b a c a bc (a b)(a c) 2 c a ca ca b c b a b ca (b c)(b a) 2 0,25 a b b c c a a c c b b a 3 P c a c b a b a c b c b a =a c c b b a = 2 2 2 0,25 1 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 3 1 Từ đú giỏ trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi a b c 2 3 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT KIấN GIANG NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN THI: TOÁN (Đề thi cú 01 trang) Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/6/2011
  38. Cõu 1. (1,5 điểm) Tớnh: a) 12 75 48 b) Tớnh giỏ trị biểu thức: A = (10 3 11)(3 11 10) . Cõu 2. (1,5 điểm) Cho hàm số y (2 m)x m 3 (1) a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số khi m 1 b) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị hàm số (1) đồng biến. Cõu 3. (1 điểm) x 2y 5 Giải hệ phương trỡnh: 3x y 1 Cõu 4. (2,5 điểm) 2 3 3 a) Phương trỡnh: x x 3 0 cú 2 nghiệm x1, x2 . Tớnh giỏ trị: X = x1 x2 x2 x1 21 b) Một phũng họp dự định cú 120 người dự họp, nhưng khi họp cú 160 người tham dự nờn phải kờ thờm 2 dóy ghế và mỗi dóy phải kờ thờm một ghế nữa thỡ vừa đủ. Tớnh số dóy ghế dự định lỳc đầu. Biết rằng số dóy ghế lỳc đầu trong phũng nhiều hơn 20 dóy ghế và số ghế trờn mỗi dóy ghế là bằng nhau. Cõu 5. (1 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Tớnh chu vi tam giỏc ABC biết: 25 AC = 5 cm, HC = cm. 13 Cõu 6. (2,5 điểm) Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB; Vẽ tiếp tuyến Ax, By với đường trũn tõm O. Lấy E trờn nửa đường trũn, qua E vẽ tiếp tuyến với đường trũn cắt Ax tại D cắt By tại C a) Chứng minh: OADE nội tiếp được đường trũn b) Nối AC cắt BD tại F. Chứng minh: EF song song với AD HẾT (Thớ sinh được sử dụng mỏy tớnh theo quy chế hiện hành) ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 12 75 48 4.3 25.3 16.3 a) 2 3 5 3 4 3 3 b) A = (10 3 11)(3 11 10) = 102 (3 11)2 100 99 1
  39. 2. a) Khi m 1 thỡ hàm số (1) trở thành: x 0 -2 y x 2 y 2 0 Xột hàm số y x 2 ta cú bảng giỏ trị: b) y (2 m)x m 3 (1) Để đồ thị của hàm số (1) đồng biến thỡ: 2 m 0 m 2 x 2y 5 x 2y 5 7x 7 x 1 x 1 3x y 1 6x 2y 1 x 2y 5 1 2y 5 y 2 3. a) Phương trỡnh: x2 x 3 0 (a = 1 ; b = -1 ; c = -3) Ta cú: a.c = 1 . (-3) = -3 < 0 phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 . 4. x1 x2 1 Theo định lớ Vi-ột ta cú : (I) x1x2 3 3 3 2 2 Theo đề ta cú: X = x1 x2 x2 x1 21 = x1x2 (x1 x2 ) 21 2 = x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 21 Thay hệ thức (I) vào biểu thức X ta được: X =-3 . [12 – 2 (-3)] + 21 = -21 + 21 = 0 b) Gọi x (dóy) là số dóy ghế dự đinh lỳc đầu( x N* vàx 20 ) Khi đú x 2 (dóy) là số dóy ghế lỳc sau 120 Số ghế trong mỗi dóy lỳc đầu: (ghế) x 160 Số ghế trong mỗi dóy lỳc sau: ghế x 2 Do phải kờ thờm mỗi dóy một ghế nữa thỡ vừa đủ 160 120 nờn ta cú phương trỡnh : 1 x 2 x 160x 120(x 2) x(x 2) x2 38x 240 0 x 30 x 8 (loại) Vậy số dóy ghế dự định lỳc đầu là 30 dóy
  40. à 0 5. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ∆ABC (A 90 ). AC2 25 Ta cú: AC2 = BC. HC BC = 13 (cm) HC 25 13 à 0 Áp dụng định lớ Pytago trong ∆ABC (A 90 ) ta cú: BC2 = AC2 + AB2 AB = BC2 AC2 132 52 12 (cm) Chu vi tam giỏc ABC là: AB + BC + AC = 12 + 13 + 5 = 30 (cm) C E D F A B O 6. a) Chứng minh: AOED nội tiếp được đường trũn: Xột tứ giỏc AOED cú: ã DAO 900 (vì AD là tiếp tuyến của (O)) ã DEO 900 (vì DC là tiếp tuyến tại E của (O)) ã ã DAO DEO 1800 AOED nội tiếp đường tròn đường kính OD b) Chứng minh EF song song với AD DA  AB Ta cú : DA // CB CB  AB ã ã DAF = BCF (so le trong) à à Mặt khác: F1 = F2 (đối đỉnh) AD AF ADF ~ CBF (g - g) (1) CB CF Mà AD = DE (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) BC = CE (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DE AF Từ (1) và (2) . Theo định lớ Talet đảo suy ra: EC FC EF // AD HẾT SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NINH THUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Khúa ngày: 26 – 6 – 2011 Mụn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 120 phỳt ĐỀ:
  41. Bài 1: (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x2 a) Vẽ (d) và (P) trờn cựng một hệ trục tọa độ. b) Bằng đồ thị hóy xỏc định tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trỡnh: 3x2 – 4x – 2 = 0. 3 x 2 y 1 b) Giải hệ phương trỡnh: 2 x y 4 Bài 3: (2,0 điểm) x x 8 Cho biểu thức: P = 3(1 x) , với x 0 x 2 x 4 a/ Rỳt gọn biểu thức P. 2P b/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để biểu thức Q = nhận giỏ trị nguyờn. 1 P Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc BAC = 600, đường phõn giỏc trong của gúc ABC là BD và đường phõn giỏc trong của gúc ACB là CE cắt nhau tại I (D AC và E AB) a) Chứng minh tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn. b) Chứng minh rằng: ID = IE. c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD. BI Bài 5: (1,0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua điểm A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại E và cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng: 1 1 1 A2 A 2 AF 2 ĐÁP ÁN Bài 1: (2,0 điểm) a) Vẽ (d) và (P) trờn cựng một hệ trục tọa độ. b) Bằng đồ thị hóy xỏc định tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). Tọa độ cỏc giao điểm của (d) và (P). A ( 1 ; 1 ) và B ( -2 ; 4 ) . Bài 2: (2,0 điểm) a)Giải phương trỡnh: 3x2 – 4x – 2 = 0.
  42. ' ( 2) 2 3.( 2) 10 2 10 2 10 x ; x 1 3 1 3 3 x 2 y 1 b)Giải hệ phương trỡnh : ;x 0;y 0 2 x y 4 3 x 2 y 1 x 1 x 1 y 4 4 x 2 y 8 y 2 Bài 3: (2,0 điểm) a)Rỳt gọn biểu thức P. x x 8 P = 3(1 x) , với x 0 x 2 x 4 = x 2 3 3 x 1 2 x 2P b)Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để biểu thức Q = nhận giỏ trị nguyờn. 1 P 2P 2(1 2 x) 1 2 x 1 Q = = 2 1 P 1 (1 2 x) x x 1 Q   x 1 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn. B Ta cú:  A = 600  B +  C = 1200  IBC + ICB = 600 ( vỡ BI , CI là phõn giỏc)  BIC = 1200  EID = 1200 0 0 0 E Tứ giỏc AEID cú :  EID +  A = 120 + 60 = 180 I Nờn: tứ giỏc AEID nội tiếp được trong một đường trũn b) Chứng minh rằng: ID = IE C Tam giỏc ABC cú BI và CI là hai đường phõn giỏc, nờn CI A D là phõn giỏc thứ ba  EAI =  AID cung EI = cung ID . Vậy: EI = ID c) Chứng minh rằng: BA.BE = BD. BI  EAI =  EDI ;  ABD chung BA BI BAI  BDE BA.BE = BD. BI BD BE 1 1 1 Bài 5: (1,0 điểm) Chứng minh : A2 A 2 AF 2 Qua A, dựng đường thẳng vuụng gúc với AF, đường B thẳng này cắt đường thẳng CD tại M F 0 E Ta cú: Tứ giỏc AECM nội tiếp ( vỡ  EAM =  ECM = 90 ) A  AME =  ACE = 450 Tam giỏc AME vuụng cõn tại A C AE = AM D M
  43. 1 1 1 AMF vuụng tại A cú AD là đường cao, nờn : AD 2 AM 2 AF 2 Vỡ : AD = AB (cạnh hỡnh vuụng) ; AM = AE (cmt) 1 1 1 Vậy: A2 A 2 AF 2 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC. Mụn thi: TOÁN. Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. Cõu I (3,0 điểm)
  44. 1 1 x 1 Cho biểu thức A = : 2 x x x 1 x 1 d) Nờu ĐKXĐ và rỳt gọn A 1 e) Tỡm giỏ trị của x để A = 3 f) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x Cõu 2. (2,0 điểm) Cho phương trỡnh bậc hai: x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0 (1), (m là tham số) c) Giải phương trỡnh (1) khi m = 1 d) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món: x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 Cõu 3(1,5 điểm) Quóng đường AB dài 120 km. Hai xe mỏy khởi hành cựng một lỳc đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nờn xe mỏy thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ. Tớnh vận tốc của mỗi xe. Cõu 4. (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường trũn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE tới đường trũn đú (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. d) Chứng minh rằng ABOC là tứ giỏc nội tiếp. e) Chứng minh rằng: AH. AO = AD. AE f) Tiếp tuyến tại D của đường trũn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q. Chứng minh rằng: IP + KQ PQ HẾT ĐÁP ÁN : Cõu 1: x 1 d) ĐKXĐ: x > 0, x 1 . Rỳt gọn: A = x
  45. 1 x 1 1 9 e) A = 3 x 1 x x (thỏa món) 3 x 3 4 x 1 1 f) P = A - 9x = - 9x = 1 – 9 x x x 1 Áp dụng BĐT Cụsi : 9 x 2.3 6 x 1 => P -5. Vậy MaxP = -5 khi x = 9 Cõu 2: 2 c) với m = 1, ta cú Pt: x – 6x + 8 = 0 => x1 = 2, x2 = 4 d) xột pt (1) ta cú: ' = (m + 2)2 – (m2 + 7) = 4m – 3 3 phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1, x2  m 4 x1 x2 2(m 2) Theo hệ thức Vi-et: 2 x1x2 m 7 Theo giả thiết: x1x2 – 2(x1 + x2) = 4 m 2 + 7 – 4(m +2) = 4 2  m – 4m – 5 = 0 => m1 = - 1(loại) ; m2 = 5 (thỏa món) Vậy m = 5 Cõu 3: Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h), ĐK: x > 0 vận tốc của xe thứ nhất là x + 10 (km/h) 120 120 Theo bài ra ta cú pt: 1  x2 + 10x – 1200 = 0 x x 10 => x1 = 30 (t/m) x2 = - 40 (loại) vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h, của xe thứ hai là 30km/h Cõu 4: P B a) Ã BO + Ã CO = 1800 => tứ giỏc ABOC nội tiếp E I b) ABD : AEB (g.g) => AD.AE = AB2 (1) ABO vuụng tại B, BH  AO => AH.AO = AB2 (2) D => AH. AO = AD. AE c) Áp dung BĐT Cụsi: IP + KQ 2 IP.KQ A H O Ta cú: APQ cõn tại A=>OP = OQ => PQ = 2OP Để C/m IP + KQ PQ ,Ta C/m: IP.KQ = OP2 K Thật vậy: BOP = COQ (c.h-g.n) => Bã OP Cã OQ Theo T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau: Bã OI Dã OI , Dã OK Cã OK C => Bã OP Bã OI Dã OK Cã OQ Dã OI Cã OK 900 => Pã OI Dã OK 900 Q Mà Qã KO Cã OK 900 Suy ra: Pã OI Qã KO Do đú: POI : QKO (g.g)  IP.KQ = OP.OQ = OP2