Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Cổ Dũng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Cổ Dũng (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THCS CỔ DŨNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể phát đề ĐỀ THI THỬ Ngày 13 tháng 6 năm 2011 (Đề thi gồm cĩ : 01 trang) ĐỀ DÀNH CHO SỐ BÁO DANH CHẴN Câu 1: (2,0 điểm) Giải phương trình: 1 1 4 a) x 2 x 30 0 ; b) ; c) 10 x x 2 . x 4 x 2 3 Câu 2: (2,0 điểm) 1) Cho đường thẳng (d): y = (m - 2)x + m + 3. a) Tìm giá trị của m để các đường thẳng y = -x + 2, y = 2x - 1 và đường thẳng (d) đồng quy. b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luơn đi qua với mọi m. 2) Cho phương trình : x2 - mx + 2m - 5 = 0. a) Tìm m để phương trình cĩ một nghiệm là 3. Tìm nghiệm cịn lại. x1x 2 b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn A = cĩ giá trị x1 x 2 2 nguyên. Câu 3: (2,0 điểm) a 2 a 2 a 1 a) Rút gọn : A = . , với a > 0 và a 1. a 2 a 1 a 1 a b) Một xe máy đi từ A đến B dài 300km. Sau 1 giờ một ơ tơ cũng đi từ A đến B với vận tốc nhanh hơn vận tốc của xe máy là 10km/h. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng ơ tơ đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Câu 4: (3,0 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C A, C B). Trên cùng một nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuơng gĩc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I A), tia vuơng gĩc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường trịn đường kính IC cắt IK tại P. a) Chứng minh: Tứ giác CPKB nội tiếp được đường trịn. b) AI.BK = AC.BC và APB vuơng. c) Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích của tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: (1,0 điểm) 3x 2 8x 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . x 2 2x 1 Hết
2. ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN ĐỀ DÀNH CHO SỐ BAO DANH CHẴN Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Giải đúng nghiệm: x1 = 5 ; x2 = 6. 0,50 b ĐK: x 4 ; 2. Quy đồng đưa về pt bậc hai 2x2 - 15x + 25 = 0. 0,25 Giải pt bậc hai được x1 = 5 ; x2 = 2,5. 0,25 Kết luận: Nghiệm của phương trình là x1 = 5 ; x2 = 2,5. 0,25 c ĐK: -2 x 10. 0,25 Bình phương hai vế đưa về pt bậc hai x2 + 5x - 6 = 0. 0,25 Giải pt bậc hai và kết luận x = 1 là nghiệm của phương trình. 0,25 2 1a Tìm được tọa độ giao điểm (1 ; 1). 0,25 Thay x = 1, y = 1 vào (d) tìm được m = 0. 0,25 1b Tìm được điểm cố định (-1 ; 5). 0,50 2a Thay x = 3 vào pt tìm được m = 4 0,25 Thay m tìm được vào pt tìm được nghiệm cịn lại x = 1. 0,25 2b Chỉ ra > 0 với mọi m và viết được hệ thức Vi - ét. 0,25 Tìm được m để A cĩ giá trị nguyên. 0,25 3 a a 2 a 2 a 1 A = . a 2 a 1 a 1 a a 2 a 2 a 1 = . 0,25 2 ( a 1) ( a 1)( a 1) a ( a 2)( a 1) ( a 2)( a 1) a 1 0,25 = . ( a 1)2 ( a 1) a a a 2 a a 2 2 a 2 = = = 0,5 ( a 1)( a 1) a ( a 1)( a 1) a a 1 b Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) , x > 0. Vận tốc của ơ tơ là x + 10 (km/h). 300 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là (h). x 300 Thời gian ơ tơ đi hết quãng đường AB là (h). 0,25 x 10 Vì ơ tơ đi sau xe máy 1 giờ và đến B sớm hơn xe máy 30 phút ( 0,5 h) nên thời gian xe máy đi hết quãng đường AB nhiều hơn thời gian ơ tơ đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ. Ta cĩ phương 300 300 trình: - = 1,5 0,25 x x 10 Giải phương trình tìm được x = 40 (TM). 0,25 KL: Vận tốc của xe máy là 40km/h, vận tốc của ơ tơ là 50km/h. 0,25 4 a - Vẽ hình 0,25 · 0 0,75 - P nằm trên đường trịn tâm O 1 đường kính IC IPC 90 . · · 0 · 0 Mà IPC CPK 180 (hai gĩc kề bù) CPK 90 . Do đĩ C· PK C· BK 900 900 1800 tứ giác CPKB nội tiếp đường trịn tâm O2 đường kính CK.
3. b · 0 µ µ 0 0,50 Vì IC K 90 C1 C2 AIC90 vuơng tại A 0 0 Cµ 1 Aµ 1 9 0và cĩA µ 1 Cµ 1 = 90 Aµ Bµ Nên AIC BCK (g.g) AI AC AI . BK = AC . BC (1) BC BK µ  0,50 Trong (O1) cĩ A1 I2 (gnt cùng chắn cung PC) µ µ Trong (O2) cĩ B1 K1 (gnt cùng chắn cung PC)  0 Mà I2 Kµ 1 90 (Vì ICK vuơng tại C) 0 Aµ 1 Bµ 1 90 nên APB vuơng tại P. c Ta cĩ AI // BK ( vì cùng vuơng gĩc với AB, nên ABKI là hình thang vuơng 1 Do đĩ SABKI = .AB.(AI + BK) 2 Vì A, B, I cố định nên AB, AI khơng đổi. Suy ra SABKI lớn nhất BK lớn nhất AC.BC Từ (1) cĩ AI . BK = AC . BC BK = . AI 0,50 Nên BK lớn nhất AC . BC lớn nhất. 2 Ta cĩ AC BC 0 AC + BC 2AC.BC AC BC AC.BC 2 AB AB2 AC.BC AC . BC . 2 4 AB2 AB Vậy AC . BC lớn nhất khi AC . BC = AC = BC = 4 2 C là trung điểm của AB. 0,50 Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB. x y K 1 P I 2 1 O2 O1 1 1 2 1 A C B 5 3x 2 8x 6 (2x 2 4x 2) (x 2 4x 4) 0,50 M = = x 2 2x 1 x 2 2x 1 (x 2)2 = 2 2 min M = 2 khi và chỉ khi x = 2. 0,50 (x 1)2 * Chú ý: HS giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
4. SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THCS CỔ DŨNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể phát đề ĐỀ THI THỬ Ngày 13 tháng 6 năm 2011 (Đề thi gồm cĩ : 01 trang) ĐỀ DÀNH CHO SỐ BÁO DANH LẺ Câu 1: (2,0 điểm) Giải phương trình: 1 1 4 a)x 2 x 42 0 ; b) ; c) 11 x x 1 . x 3 x 1 3 Câu 2: (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y = -2x2 (P) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B thuộc (P) cĩ hồnh độ lần lượt là -1 và 2. b) Tìm m để đường thẳng (d): y 4x m 2 tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 2x y 2 2) Cho hệ phương trình : x 2y 1 3m a) Giải hệ khi m = 2. b) Tìm m để hệ cĩ nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức A = x 2 y2 cĩ giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (2,0 điểm) 4 a 1 a 1 a) Rút gọn : P = 1 . , với a > 0 và a 4. a a 2 a 2 4 b) Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước 5 1 của vịi I chảy được bằng 1 lượng nước chảy được của vịi II. Hỏi mỗi vịi chảy 2 riêng thì trong bao lâu đầy bể ? Câu 4: (3,0 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN và cát tuyến APQ đến đường trịn (tia AQ nằm trong gĩc MAO). Gọi K là trung điểm của PQ, H là giao điểm của MN và OA. a) Chứng minh : MKON là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh : AP.AQ = AH.AO c) Chứng minh : HM là tia phân giác của gĩc PHQ. Câu 5: (1,0 điểm) Tìm các giá trị x, y là các số nguyên thỏa mãn: x2 - 2xy + 3 = 0. Hết
5. ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN ĐỀ DÀNH CHO SỐ BAO DANH LẺ Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Giải đúng nghiệm: x1 = -6 ; x2 = 7. 0,50 b ĐK: x 1 ; 3. Quy đồng đưa về pt bậc hai . 0,25 Giải pt bậc hai. 0,25 Kết luận: Nghiệm của phương trình. 0,25 c ĐK: -1 x 11. 0,25 Bình phương hai vế đưa về pt bậc hai. 0,25 Giải pt bậc hai và kết luận x = 2 là nghiệm của phương trình. 0,25 2 1a Tìm được tọa độ A(-1 ; -2) và B(2 ; -8) 0,25 Viết đúng pt đường thẳng AB là y = y 2x 4 0,25 1b Tìm được m = 4 thì (d) tiếp xúc với (P). 0,25 Thay m = 4 vào pt hồnh độ tìm được hồnh độ tiếp điểm x = 1 0,25 tung độ y = -2 tọa độ tiếp điểm (1 ; -2). 2a Giải hệ pt với m = 2 hệ cĩ nghiệm (x = 3 ; y =-4) 0,50 2b Giải hệ theo m tìm được (x = m +1 ; y = -2m) 0,25 Tìm được m để x2 + y2 nhỏ nhất. 0,25 3 a 4 a 1 a 1 P = 1 . a a 2 a 2 a 4 ( a 1)( a 2) ( a 1)( a 2) = . 0,25 a ( a 2)( a 2) a 4 (a 2 a a 2) (a 2 a a 2) = . 0,25 a a 4 a 3 a 2 a 3 a 2 6 a 6 = = . a a a 0,50 b Gọi thời gian vịi I chảy một mình đầy bể là x (giờ), vịi II chảy 4 một mình đầy bể là y (giờ). ĐK: x, y > 4 . 5 1 Một giờ vịi I chảy được lượng nước là : (bể) x 1 Một giờ vịi II chảy được lượng nước là : (bể) y 4 5 Một giờ cả hai vịi chảy được lượng nước là : 1: 4 (bể). 5 24 0,25 1 1 5 x y 24 Theo bài ra ta cĩ hệ phương trình: 1 3 1 0,25 . x 2 y Giải hệ phương trình tìm được x = 8, y = 12 Kết luận: Vịi I chảy riêng đầy bể hết 8 (giờ). Vịi II chảy riêng 0,50 đầy bể hết 12 (giờ).
6. 4 a - Vẽ hình 0,25 M Q K P A H O N Chứng minh được tứ giác MKON nội tiếp đường trịn đk AO 0,75 b Chứng minh AP.AQ = AM2 0,50 Chứng minh AH.AO = AM2 AP.AQ = AH.AO 0,50 c Từ AP.AQ = AH.AO APH AOQ (c.g.c) A· HP O· QA tứ giác PQOH nội tiếp. 0,25 Q· HO Q· PO (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung OQ). Mặt khác Q· PO O· QP (do OPQ cân tại O) và A· HP O· QP 0,50 A· HP Q· HO P· HM Q· HM (hai gĩc cùng phụ với hai gĩc bằng nhau). HM là tia phân giác của gĩc PHQ. 0,25 5 x 2 3 3 Từ x2 - 2xy + 3 = 0 2xy = x2 + 3 2y = x x x 0,25 3 Vì y Z 2y Z Z . Mà x Z x = -1 ; 1 ; -3 ; 3. x Thay x = -1 ; 1 ; -3 ; 3 vào biểu thức trên y = -2 ; 2 . 0,50 Vậy cĩ các cặp số : (x = -1 ; y = -2), (x = 1 ; y = 2), (x = -3 ; y = -2), (x = 3 ; y = 2). 0,25 * Chú ý: HS giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
7. ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN : TỐN ĐỀ 3 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 : (2 điểm ) a) Tính giá trị biểu thức: A 5 12 4 75 2 48 3 3 2x y 3 b) Giải hệ phương trình: 3x 2y 1 c) Giải phương trình: x4 – 7x2 – 18 = 0 Bài 2 : (2,5 điểm ) 1 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) đi qua điểm A, B trên (P) có hoành độ 4 lần lượt –2 và 4. a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ c) Tính độ dài khoảng cách từ O đến đường thẳng (D) d) Tìm điểm M trên cung AB của Parabol (P) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất Bài 3 : (1,5 điểm ) Khi nước đứng yên, một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút, một canô chạy từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12km một giờ ? Bài 4 : (4 điểm ) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. Gọi I là trung điểm của CD a) Chứng minh rằng tứ giác MAIO nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MA2 = MC.MD. c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh MC.MD = MH.MO d) Chứng minh MCH ∽ MOD e) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh H, A, K thẳng hàng. HẾT Đề thi này có 01 trang
8. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1 Tính giá trị biểu thức: A 5 12 4 75 2 48 3 3 a) A 5 12 4 75 2 48 3 3 5 4.3 4 25.5 2 16.3 3 3 5.2 3 4.5 5 2.4 3 3 3 0,25 10 3 20 5 8 3 3 3 0,25 5 3 b) 2x y 3 4x 2y 6 (1) 3x 2y 1 3x 2y 1 (2) (1) +(2) : 7x = 7 x = 1 0,25 Giải ra y = 1 0,25 Vây nghiệm của hệ (1;1) 0,25 c) Giải phương trình: x4 – 7x2 – 18 = 0 Đặt x2 = t ( t 0 ) Phương trình có dạng t2 – 7t -18 = 0 0,25 = (-7)2 – 4.1.(-18) = 49 + 72 = 121 > 0 Giải ra t1 = 9 (tđk) 0,25 t2 = -2 ( ko tđk) x2 = 9 x = 3 Vậy PT có 2 nghiệm x1 = -3 và x2 = 3 0,25 (HS quên đặt ĐK thì – 0,25) 1 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) đi qua điểm A, B trên (P) 4 có hoành độ lần lượt –2 và 4. a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ c) Tính độ dài khoảng cách từ O đến đường thẳng (D) d) Tìm M trên cung AB của Parabol (P) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất Tìm được A(-2;1) và B(4;4) 0,25 Bài 2 Gọi PT (D) : y = ax + b Vì (D) đi qua A(-2;1) và B(4;4) nên ta có HPT : a) 1 a( 2) b 2a b 1 4 4a b 4a b 4 1 Giải ra a = và b=2 2
9. 1 0, 5 Vậy PT (D) : y= x + 2 2 b) x -2 -1 0 1 2 y = x2/4 1 1/4 0 1/4 1 x 0 -4 y = 1/2x + 2 2 0 Lập bảng đúng và vẽ đồ thị đúng (P) 0,5 Lập bảng đúng và vẽ đồ thị đúng (D) 0,25 Nếu thiếu một trong các 8 trường hợp sau thì –0,25 : 6 Mũi tên, x,y,O, số biểu 4 B diễn tọa độ của các điểm 2 A 1 cần thiết 10 5 -4 -2 O 2 4 5 10 2 4 6 8 c) 8 (D) cắt Ox tại : y = 0 x= -4 6 (D) cắt Oy tại : y = 2 4 B 1 1 1 H 2 D 2 2 2 A OH OC OD -2 M 4 5 C 0 5 1 1 1 1 5 2 42 22 16 4 16 16 4 OH 5 (đvđd) 0,25 d) 5 5 1 Gọi đường thẳng song song (D) : y = x+2 và tiếp xúc với (P) là 2 (d) : y = ax+b Vì đáy AB không đổi nên diện tích MAB lớn nhất chỉ khi đường cao MK lớn nhất, đó chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và (D) suy ra M là điểm tiếp xúc giữa (d) và (P) 0,25 1 Vì (d) // (D) nên a = 2 1 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 = x+b 4 2 2 2 x = 2x + 4b x - 2x - 4b = 0 0,25 Hoành độ điểm tiếp xúc : x = - (-1) = 1 1 1 Tung độ điểm tiếp xúc : y = 12 = 4 4 1 Tọa độ điểm tiếp xúc : M (1; ) 4
10. 1 Vậy khi M (1; ) thì DT MAB lớn nhất 4 0,25 16 5h20ph = h Bài 3 3 Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h) ( x > 0 ) Vận tốc của ca nô : x + 12 (km/h) 0,25 20 Thời gian thuyền đi quãng đường 20 km : (h) x 20 Thời gian ca nô đi quãng đường 20 km : (h) x 12 0,25 Theo đề bài ta có phương trình : 20 20 16 - = 0,25 x x 12 3 20.3(x+ 12 ) – 20x.3 = 16x(x + 12 ) 60x + 720 – 60x = 16x2 + 192x 16x2 + 192x -720 = 0 x2 + 12x - 45 = 0 0, 25 ’ = 62 – 1.( -45) = 36 +45 = 81 >0 6 81 x1 = 3 ( TĐK) 1 0, 25 6 81 x2 = 15 ( không TĐK) 1 Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h 15 0,25 Chú ý : điều kiện 0 < x < ) là đúng nhất nhưng không nhất thiết yêu cầu 4 đối với HS K Bài 4 A D I C O M H B Vẽ hình 0,25 a) a) Chứng minh rằng tứ giác MAIO nội tiếp đường tròn. (0,75 đ ) OI  CD ( tính chất đường kính vuông góc dây cung) 0,25 MA OA ( tính chất tiếp tuyến ) Nên M· AO M· IO ( = 1v) 0,25 Mà đây là 2 góc liên tiếp cùng nhìn chung cạnh MO nên tứ giác b) MAIO nội tiếp đường tròn 0,25
11. Chứng minh MA2 = MC.MD: (0,75 đ) Xét MAC và MDA có : Mˆ : chung M· AC ·ADC : ( cùng chắn cung AC ) 0,25 0,25 Nên MAC ∽ MDA MA MC c) MA2 = MC.MD 0,25 MD MA Chứng minh MC.MD = MH.MO : ( 0,75 đ) MA = MB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) Nên MAB cân tại M 0,25 MO là phân giác góc AMB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) MAB cân tại M có MH là đường phân giác nên cũng là đường cao 0,25 Lại có OA  MA ( tính chất tiếp tuyến ) Suy ra MA2 = MH.MO ( hệ thức lượng trong MAO) d) Mà MA2 = MC.MD ( cmt) Nên MC.MD = MH.MO 0,25 d) Chứng minh MCH ∽ MOD: (0,5 đ) Xét MCH và MOD có : MC.MD = MH.MO (cmt) MC MH 0,25 MO MD DMˆO : chung e) 0,25 Nên MCH ∽ MOD e). Chứng minh H, A, K thẳng hàng: (1đ) OC  KC ( tính chất tiếp tuyến ) KD  OD ( tính chất tiếp tuyến ) Tứ giác KCOD có KCˆO KDˆO 1v 1v 2v nên nội tiếp 0,25 Tứ giác KCOD nội tiếp Nên C· DO C· KO ( cùng chắn cung CO) Mà C· HM C· DO ( MCH ∽ MOD) 0,25 Nên CKˆO CHˆM Suy ra tứ giác KCHO nội tiếp 0,25 Do đó K· HO K· CO (2 góc nội tiếp cung chắn cung KO ) = 1v Hay KH  MO Mà AH  MO (cmt ) Nên Tia AH  KH 0,25 Vậy ba điểm H, A, K thẳng hàng