Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN ) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (2,0 điểm) a) Giải phƣơng trình 4x2 x 3 2 x 2 4x2 b) Giải phƣơng trình x2 5 (x 2)2 x22 y x y 8 (1) c) Giải hệ 22 2x y 3 xy 3 x 2 y 1 0 (2) Bài 2 (2,0 điểm) a) Cho x,y,z nguyên dƣơng thỏa mãn x2 + y2+ z2 =2xyz . Chứng minh rằng xyz chia hết cho 24. b) Tìm bộ ba số nguyên dƣơng (a,b,c) sao cho (a +b+ c )2 -2a+2b là số chính phƣơng. Bài 3. (2,0 điểm) Cho a,b,c dƣơng thỏa mãn a b ab 16 c . CMR: a) a b 2 c 10. 2abc 1 2 1 2 2 b) 5 abc 1 1 2 Bài 4. (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD có AD//BC,AD<BC.E,F thuộc AB,CD.Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AD tại M(M không trùng A,D,D nằm giữa A,M).Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt BC tại N(N không trùng C,B,B nằm giữa C,N).Đƣờng AB cắt CD tại P,EN cắt FM tại Q. a.Chứng minh EFQP nội tiếp b.PQ song song BC và tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác PQE,AMF,CEN cùng nằm trên 1 đƣờng thẳng c.MN,DB,EF đồng qui Bài 5. (2,0 điểm) Thầy Quyết viết các số nguyên 1,2,3, 2021 2022 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số nhƣ sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số nhƣ vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số. a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021. b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006 Lời giải.
2. Bài 1 (2,0 điểm) a) Giải phƣơng trình 4x2 x 3 2 x 2 4x2 b) Giải phƣơng trình x2 5 (x 2)2 x22 y x y 8 (1) c) Giải hệ 22 2x y 3 xy 3 x 2 y 1 0 (2) Lời giải. a) Giải phƣơng trình x 2;4 x2 x 32 x 2 (4 x 2 x 3)(2 2 x 2) 2 x 1 2 (x 1)(4 x 1)(4 x 5 x 1) 0 5 41 . x 8 2 224x x 1 b) Giải phƣơng trình x 2; x2 5 ( x 2)( x 1)( x 5 x 10) 0 (x 2) x 2 x22 y x y 8 (1) (x y 1)(2 x y 1) 0 (1) c) Giải hệ 22 22 2x y 3 xy 3 x 2 y 1 0 (2) 2x y 3 xy 3 x 2 y 1 0 (2) Thế vào ta có nghiệm : 3 11 (1;2);( 3; 2);( 2; 3); ; . 55 Bài 2 (2,0 điểm) a) Cho x,y,z nguyên dƣơng thỏa mãn x2 + y2+ z2 =2xyz . Chứng minh rằng xyz chia hết cho 24. b) Tìm bộ ba số nguyên dƣơng (a,b,c) sao cho (a +b+ c )2 -2a+2b là số chính phƣơng. Lời giải. a.Từ gt suy ra x2 + y2+ z2 chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn. Khi đó x24;2 xyz 4 y 2 z 2 4 . Từ đây dễ suy ra y z, đều chẵn. Vậy xyz 8. Nếu cả 3 số x,y,z đều không chia hết cho 3 thì x2 ; y2; z2  1 (mod3 ) , suy ra 2 2 x2 2 2 + y + z 3.Do đó 2xyz 3 , mâu thuẫn. Vậy tồn tại 1 số chia hết cho 3, suy ra xyz 3. Vậy xyz 24 (đpcm). b.Đặt (a +b+ c )2 -2a+2b Ta có (a +b+ c+1)2 =(a +b+ c)2 +2(a+b +1)+1>A và(a +b+ c-1)2 = (a +b+ c )2 -2(a+b +1)+1<A .Vậy (a +b+ c-1 )2 <A< =(a +b+ c +1)2 . Mà A chính phƣơng nên A=(a +b+ c )2 , tƣơng đƣơng a =b .Vậy tất cả các bộ (a,b,c) cần tìm là (k ,k, m ) với k,m nguyên dƣơng bất kì. Bài 3. (2,0 điểm) Cho a,b,c dƣơng thỏa mãn a b ab 16 c . CMR:
3. a) a b 2 c 10. 2abc 1 2 1 2 2 b) 5 abc 1 1 2 Lời giải. a) Từ giả thiết ta có: ()a b2 a b 6 cabab 1 ab 1 1 ab 2122 cabc 210 42 b) Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng a b c11 c đƣơng: 2 a 1 b 1 c 2 a 1 b 1 c 2 1 1 2 2 2 Mà ta có: a 1 b 1(a 1)( b 1) ab a b 1 6 c 2 c nên ta cần chứng minh: (c 2)2 0(ĐÚNG). Đẳng thức xảy ra 62 cc khi a=b=3,c=2 Bài 4. (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD có AD//BC,AD<BC.E,F thuộc AB,CD.Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AD tại M(M không trùng A,D,D nằm giữa A,M).Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt BC tại N(N không trùng C,B,B nằm giữa C,N).Đƣờng AB cắt CD tại P,EN cắt FM tại Q. a.Chứng minh EFQP nội tiếp b.PQ song song BC và tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác PQE,AMF,CEN cùng nằm trên 1 đƣờng thẳng c.MN,DB,EF đồng qui
4. Lời giải 1. a) Gọi PF cắt QE tại R. Kẻ BJ//PC. Có CN BE CR JB CR PR EP. NB PQ //// PQ AD BC . NB EP JB PR RP CR EB. NC NC Do đó:∠QPC=∠PCN=∠QEF⇒⇒ Tứ giác EFQP nội tiếp. b) Để ý đƣờng nối tâm là đƣờng trung trực của dây chung. Từ đó gọi U,V,W làtâm (PQE),(AMF),(CEN) thì U,V,W cùng thuộc trung trực EF.EF. (đpcm) c) Chứng minh MN,BD,EF đồng quy. Gọi MN,BD cắt nhau tại X. Ta đi chứng minh E,X,FE,X,F thẳng hàng.Theo Menelaus đảo cho tam giác PBD, cần: PE BX DF PE PQ BX NB DF DM   1. Tuy nhiên, ta có: ;;, nhân lại là đpcm BE XD FP BE NB XD DM FP PQ Lời giải 2. a) Chứng minh EFQP nội tiếp.Biến đổi góc đơn giản
5.  EQF =  NEF  QFE =180- FCN-  PAD .Do AD//BC nên  FCN = PDA. Do đó  EQF =180- PDA -  PAD =  EPF. Suy ra tứ giác EFQP nội tiếp. b) Chứng minh PQ//BC và tâm đƣờng tròn (PQE), (AMF), (CEN) thẳng hàng. Ta có  QPA =180- QFE =180- PAD nên PQ //AD .Gọi OOO1;; 2 3 lần lƣợt là tâm của các đƣờng tròn (PQE), (AMF), (CEN).Do (PQE) cắt (AMF) tại E và F nên OO12 EF. Do (CEN) cắt (AMF) tại E và F nên OO32 EF .Vậy , , thẳng hàng. c) Chứng minh MN, BD, EF đồng quy. Giả sử MN cắt EF tại K. Ta chứng minh B,D,K thẳng hàng. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MNQ và cát tuyến MK EN QF MK EN FM PQ DM DM KEF ta đƣợc:   1.Suy ra .  .Kết hợp với KN EQ FM KN EQFQ BN PQ BN DM //NB , suy ra B,D,K thẳng hàng (đpcm). Bài 5. (2,0 điểm) Thầy Quyết viết các số nguyên 1,2,3, 2021 2022 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số nhƣ sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số nhƣ vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số. a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021. b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006 Lời giải. a) Ta sẽ chỉ ra một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2021 Lần 1: Xóa 1,3 và thay bởi số 2 Lần 2: Xóa 2,2 và thay bởi số 2 Lần 3: Xóa 2,4 và thay bởi số 3 Lần k: Xóa k-1; k+1 và thay bởi số k.
6. Lần 2020: Xóa 2019, 2021 và thay bởi số 2020 Lần 2021: Xóa 2021, 2022 và thay bởi số 2021. Lúc này trên bảng chỉ còn lại số 2021. b) Ta cũng chỉ ra đƣợc một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2006. Chỉ cần chia dãy các số 1,2,3,4, , 2020, 2021,2022 thành hai phần (hai dãy con) nhƣ sau: Dãy 1: 1,2,3,4, , 2005, 2006 Dãy 2: 2007, 2008, , 2021, 2022. Bằng thuật toán nhƣ phần a với dãy 1 thì sau 2004 bƣớc ta còn lại 2 số 2004, 2006 Bằng thuật toán nhƣ phần a với dãy 2 nhƣng thực hiện ngƣợc lại từ cuối dãy về đầu dãy thì sau 15 bƣớc ta còn lại 1 số 2008.Vậy sau 2019 bƣớc sẽ còn lại 3 số: 2004, 2006, 2008.Và sau 2 bƣớc nữa ta thu đƣợc số 2006 trên bảng. Nhận xét: Bằng quy nạp theo n, ta có thể chứng minh đƣợc bài toán tổng quát sau: Cho các số trên bảng là 1,2,3,4, ,n-1, n. Khi đó ta luôn có thể có cách thực hiện việc thay số để thu đƣợc một số k bất kì từ 2 đến n-1.