Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Tiền Giang - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Tiền Giang - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN TIỀN GIANG NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (3,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức P x2022 10 x 2021 x 2020 2021 32 tại x 32 2) Giải phƣơng trình x x2 1 x 1 x 1 4 x33 38 x y 3) Giải hệ phƣơng trình 22 x y y 2 Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = x2 và đƣờng thẳng (d) : y = 2 − x.Gọi A, B là hai giao điểm của đƣờng thẳng (d) với parabol (P). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. 2) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình x2 − 2x − 2m|x − 1| + 2 = 0 vô nghiệm. 3) Cho a, b, c là các số thực dƣơng thay đổi thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất 1 1 1 của biểu thức M a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 Bài 3. (2,0 điểm) Cho m, n là các số nguyên dƣơng sao cho mn22 chia hết cho mn. Chứng minh rằng m là số chính phƣơng. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB) có đƣờng cao AH. Gọi D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác A và H). Đƣờng thẳng BD cắt đƣờng tròn tâm C bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D). Qua F vẽ đƣờng thẳng song song AE cắt AB, AH lần lƣợt tại M và N. a) Chứng minh BH.BC = BE.BF. b) Chứng minh HD là phân giác của góc EHF. c) Chứng minh F là trung điểm MN. Lời giải Bài 1 (3,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức tại 2) Giải phƣơng trình
2. x33 38 x y 3) Giải hệ phƣơng trình 22 x y y 2 Lời giải 32 1) Ta có x 5 2 6 .Xét xx 5 2 6; 5 2 6 32 12 6. Khi đó, x1 x 2 10; x 1 x 2 1. Suy ra xx12; là nghiệm của phƣơng trình X²− 10X + 1 = 0. Vậy P x2022 10 x 2021 x 2020 2021 2021 2)Điều kiện xác định x 1.Đặt t x 1 x 1 2. Phƣơng trình đã cho trở thành t² − 2t − 8 = 0 ⇔ t = 4 (nhận) hoặc t = −2 (loại).Với t = 4, ta có 65 1 1 65 x 1 x 1 4 ( x ). 0 x . Vậy tập nghiệm của 97 16 xx 11 16 44 phƣơng trình đã cho là S ={ 65 } 16 x33 3 x y 8 (1) 3) Ta có 22 . Lấy phƣơng trình (1) cộng với 3 lần phƣơng trình (2), x y y 2 (2) ta đƣợc (xy 1)33 ( 1) ⇔ x + 1 = y − 1⇔ y = x + 2. Thay y = x + 2 vào phƣơng xy 02 trình (2), ta đƣợc 2x² + 3x = 0 31. Vậy tập nghiệm của hệ phƣơng xy 22 trình đã cho là. Bài 2. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = x2 và đƣờng thẳng (d) : y = 2 − x.Gọi A, B là hai giao điểm của đƣờng thẳng (d) với parabol (P). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. 2) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình x2 − 2x − 2m|x − 1| + 2 = 0 vô nghiệm. 3) Cho a, b, c là các số thực dƣơng thay đổi thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất 1 1 1 của biểu thức M a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 Lời giải 1) Gọi A(xA, yA) và B(xB, yB) là giao điểm của (P) và (d). Không mất tính tổng quát, giả sử xA < xB. Phƣơng trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là
3. x²= 2 − x⇔ x = 1 hoặc x = −2.Suy ra xA = −2 và xB = 1. Do A, B ∈ (d) nên yA = 4 và yB = 1. Nhƣ vậy, A(−2; 4) và B(1; 1).Suy ra AB = 32.Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = MA + MB + 32. Khi đó, chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ (MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất. Lấy A’ đối xứng A qua Ox. Suy ra A’(−2; −4). Ta có MA + MB = MA’ + MB A’B = 34 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A’ , M, B thẳng hàng, tức M là giao điểm của A’B và trục hoành. Phƣơng trình đƣờng thẳng A’B có dạng y = ax + b. Do A’ ∈ (A’B) và B ∈ A0’B nên − 2a + b = −4 và a + b = 1 5 2 5 2 ⇔ a và b .Do đó (A’B): y = x - . 3 3 3 3 Gọi M(m; 0) và do M ∈ (A’B) nên 2 x - = 0 ⇔ m = . Vậy với M( ;0) thì chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất 5 và bằng + 2) Ta cóx² − 2x − 2m|x − 1| + 2 = 0 ⇔ (x − 1)² − 2m|x − 1| + 1 = 0 ⇔ |x − 1|² − 2m|x − 1| + 1 = 0. (1.1). Đặt t = |x − 1| ≥ 0. Khi đó, phƣơng trình (1.1) trở thành t² − 2mt + 1 = 0. (1.2). Phƣơng trình (1.1) vô nghiệm khi và chỉ khi (1.2) vô nghiệm hoặc có các nghiệm đều âm. + Trƣờng hợp 1. (1.2) vô nghiệm. Khi đó ∆’ < 0 ⇔ m² − 1 < 0 ⇔ m²< 1 ⇔ −1 < m < 1. + Trƣờng hợp 2. Gọi t1, t2 là nghiệm của (1.2). Khi đó, (1.2) có hai nghiệm đều âm '0 khi và chỉ khi⇔ t12 t 01 m .Tóm lại, với m < 1 thì (1.1) vô nghiệm. tt12 0 3)Áp dụng Bất đẳng thức AM − GM ta đƣợc a² + 2b² + 3 = (a² + b²) + (b² + 1) + 2 2ab + 2b + 2 = 2(ab + b + 1). Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Từ đó, ta 1 1 1 1 1 1 1 1 có M 2 2 2 2 2 2 . a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a 3 2 a ab 1 b bc 1 c ac 1 2 Vậy max M = 1 khi a = b = c = 1. 2 Bài 3. (2,0 điểm) Cho m, n là các số nguyên dƣơng sao cho mn22 chia hết cho mn. Chứng minh rằng m là số chính phƣơng. Lời giải Từ giả thiết suy ra m² + n²+m chia hết cho m nên n² chia hết cho m.
4. Đặt n²= km và d = (m, k). Nếu d > 1, khi đó tồn tại số nguyên tố p là ƣớc của d. Do n² chia hết cho p nên n chia hết cho p. Mặt khác, ta có m²+ n² + m = m(m + k + 1) chia hết cho mn ⇒ p | n | (m + k + 1) ⇒ p | 1 (mâu thuẫn với p là số nguyên tố).Do đó, d = 1 hay (m, k) = 1. Kết hợp với n²= m.k, ta đƣợc m là số chính phƣơng. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB) có đƣờng cao AH. Gọi D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác A và H). Đƣờng thẳng BD cắt đƣờng tròn tâm C bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D). Qua F vẽ đƣờng thẳng song song AE cắt AB, AH lần lƣợt tại M và N. a) Chứng minh BH.BC = BE.BF. b) Chứng minh HD là phân giác của góc EHF. c) Chứng minh F là trung điểm MN. Lời giải a) Xét tam giác tam giác AFB và tam giác EAB có  ABF ’ chung và  FAB =  AEB (cùng chắn cung AF ) nên BA BF tam giác BAF đồng dạng tam giác BEA. Suy ra BE BF BA2 BH BC BE BA b) Do BH · BC = BE · BF nên tứ giác ECHF nội tiếp, từ đó ta có  BHF =  BEC.Lại có CE CF (.)CE22 CA CH BC và ECH = BCE nên tam giác ECH đồng dạng CH CE tam giác BCE. Suy ra, EHC = BEC . Từ đó EHC = BHF , dẫn đến AHE = AHF . Nhƣ vậy, HD, HB lần lƣợt là phân giác trong , phân giác ngoài góc EHF ’. c) Do HD, HB lần lƣợt là phân giác trong, phân giác ngoài góc EHF ’ nên DE HE BE . Mặt khác, áp dụng định lí Thales, ta có DF HF BF AE BE AE DE AE AE ; .Suy ra ⇔ FM = F N.Vậy F là trung điểm MN. FM BF NF DF FM NF .