Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NGHỆ AN CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. (6,5 điểm) a) Giải phương trình: x 2 4 x 2x 2 5x 1. 2 xy 3y 4x b) Giải hệ phương trình: y2 2y 7 7x 2 8x Câu II. (2,5 điểm) a) Tìm các số nguyên x;y;z sao cho x 2 y2 z2 6 xy 3y 4z b) Cho hai số nguyên dương m;n thỏa mãn m n 1 là một ước nguyên tố của 2(m2 n 2) 1. Chứng minh rằng m.n là số chính phương. Câu III. (2,0 điểm) Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a4 a3 ab 2 b4 b3 bc 2 c4 c3 ac 2 Câu IV. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A(AB AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N (N B). a) Chứng minh AN.BI DH.BK b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M . Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M cắt OD tại Q (Q D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O). Câu V. (2,0 điểm) Để phục vụ cho lễ khai mạc Word Cup 2018, ban tổ chức giải chuẩn bị 25 000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25 000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả bóng được sơn một màu). Chứng minh rằng trong 25 000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a;b;c mà a chia hết cho b;b chia hết cho c và abc 17.