Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên NKQG - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên NKQG - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NKQG HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (26/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. xy 2 1 2 Bài 1.(1,5 điểm) Cho hệ phƣơng trình: x y m a) Giải hệ với m = 7 b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y) 1 1 1 1 1 1 c a b Bài 2.(1,5 điểm) Cho MNK ;; abc babcca babcca abc2 2 2 a) Chứng minh nếu MK. thì N = 0 abc b) Cho M = K = 4, N = 1. Tính tích abc. Bài 3.(1,5 điểm) Cho dãy n số thực x12; x ; ; xn ( n 5) thỏa: x12 x xn và x12 x xn 1 1 a) Chứng minh nếu x thì x x x n 3 12 n 2 b) Chứng minh nếu x thì tìm đƣợc số nguyên dƣơng k < n sao cho n 3 12 x x x 3312 k Bài 4.(1,5 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (2n 1)3 1 chia hết cho 22021 2n 2 4 n2 2 n 1 b) Tìm tất cả số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho ; là các số pp nguyên. Chứng minh với n và p tìm đƣợc, các số nguyên trên không thể đồng thời là số chính phƣơng. Bài 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm E, F lần lƣợt thay đổi trên các cạnh AB, AC sao cho EF k BC. Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF. Đƣờng tròn (I) đƣờng kính EF cắt BF, CE tại M, N. (M khác F, N khác E) a) Chứng minh AD và đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác HMN cùng đi qua tâm I của đƣờng tròn tâm I. b) Gọi K, L lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tƣơng ứng là
2. giao điểm của EM, F N với BC. Chứng minh tứ giác AEP L, AF QK nội tiếp và BP. BL không đổi khi E, F thay đổi. CQ. CK c) Chứng minh nếu EL và FK cắt nhau trên đƣờng tròn (I) thì EM và F N cắt nhau trên đƣờng thẳng BC. Bài 6.(1,0 điểm) Cho N tập hợp (N 6), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau đƣợc lấy từ 26 chữ cái a, b, c, . . ., x, y, z. a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này. Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho. b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này. Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2 chữ cái? Lời giải xy 2 1 2 Bài 1.(1,5 điểm) Cho hệ phƣơng trình: x y m a) Giải hệ với m = 7 b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y) Lời giải xy 2 1 2 a) Ta có (1). ĐKXĐ: x 2, y 1 x y m x 2 (x 2 y 1)2 4 x 2 y 1 0 y 5 (1) ⇔ . Vậy (x, y) ∈ {(2; 5),(6; 1)} x y 77 x y x 6 y 1 b) (1) (x 2 y 1)42 2 x 2 y 17(*) m 4(xy 2 y x 2 (7 m )2 ( ) ⇔ x y m x y m m 7 Ta có (∗∗) ⇔ 4 [y(x − 1) − x − y + 2] = m2 − 14m − 49 ⇔ 4 [(m − x)(x − 1) − m + 2] = m2 − 14m − 49 ⇔ 4 x2 − 4(m + 1)x + − 6m + 41 = 0 (2).Ta có (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) 2 có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2⇔ ∆’ = 2 m 1 − 4 ( − 6m + 41) = 32m − 160 ≥ 0⇔ m ≥ 5.Vậy với 5 ≤ m ≤ 7 thì hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm. 1 1 1 1 1 1 c a b Bài 2.(1,5 điểm) Cho MNK ;; abc babcca babcca
3. abc2 2 2 a) Chứng minh nếu MK. thì N = 0 abc b) Cho M = K = 4, N = 1. Tính tích abc. Lời giải a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a)Ta có MKNN.0 abc abc b)Ta có M = K = 4; N = 1.Theo câu a) ta đƣợc: a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 MKN. 16 1 abc abc abc a2 b 2 c 215 abc ( a b c ) 2 2( ab bc ac ) 15 abc(∗). Ta có: K + 3 = (a + b + c)N ⇒ 7 = a + b + c và M = 4 ⇒ ab + bc + ca = 4abc. Thay 49 vào (∗) ⇒ 7.7 − 2.4abc = 15abc ⇒ abc = 23 Bài 3.(1,5 điểm) Cho dãy n số thực x12; x ; ; xn ( n 5) thỏa: x12 x xn và x12 x xn 1 1 a) Chứng minh nếu x thì x x x n 3 12 n 2 b) Chứng minh nếu x thì tìm đƣợc số nguyên dƣơng k 1, vô lý. 1 23n 1 n 2 2 1 2 6 n 3 Vậy điều giả sử là sai hay nếu nếu thì b) Giả sử không tồn tại số k nhƣ trên. Khi đó tồn tại chỉ số l n − 1 để 12 11 x x x ; x x x Suy ra x 0 x ,  k l 1. Nếu l < n − 1 331 2ll 1 2 1 3311 k thì tồn tại x12 do l + 2 n. Ta có 1 x x x x x x 1, vô lý .Từ đó l = n − 1. Để ý 1 2l 13 1 2 l 1 l 2 2 21 rằng x nên x x x 1 x 1 . Kết hợp với l = n − 1 nên n 3 1 2nn 1 33
4. 21 x x x x , vô lý.Vậy điều giả sử là sai hay phải tồn tại chỉ số k a nên b − a ∈ {1, 2}. Xét từng trƣờng hợp và giải ra cụ thể, ta đƣợc (a, b) = (−1, 1). Tuy nhiên điều này dẫn đến s = 0, trái với việc s > 0 từ điều đã giả sử. Vậy giả sử ban đầu là sai hay hai số đã cho không thể cùng là số chính phƣơng. Bài 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm E, F lần lƣợt thay đổi trên các cạnh AB, AC sao cho EF k BC. Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF. Đƣờng tròn (I) đƣờng kính EF cắt BF, CE tại M, N. (M khác F, N khác E) a) Chứng minh AD và đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác HMN cùng đi qua tâm I của đƣờng tròn tâm I. b) Gọi K, L lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tƣơng ứng là giao điểm của EM, F N với BC. Chứng minh tứ giác AEP L, AF QK nội tiếp và BP. BL không đổi khi E, F thay đổi. CQ. CK
5. c) Chứng minh nếu EL và FK cắt nhau trên đƣờng tròn (I) thì EM và F N cắt nhau trên đƣờng thẳng BC. Lời giải a) Qua D kẻ đƣờng thẳng // BC //EF, cắt AB, AC tại X, Y. Có: DY FD XE XD suy ra D là trung điểm XY. Vậy AD đi qua trung điểm I của CB FB BE CB EF. Các tứ giác HNFH,DMEH nội tiếp nên: ∠DHN=∠DFN=∠MAN;∠MHD=∠MED=∠MAN từ đó: ∠MHN=2∠MAN=∠MIN suy ra tứ giác IHNMIHNM nội tiếp. b) Tứ giác MPLFMPLF nội tiếp nên BM.BF=BP.BL;BM.BF=BE.BA do tứ giác AEMF nội tiếp. Suy ra BP.BL=BE.BA do đó tứ giác AEPL nội tiếp. BP BL BE BA BA2 Tƣơng tự thì AFQK nội tiếp.Ta có CQ CK CF CA AC 2 c) Giả sử EL, FK cắt nhau tại S thuộc (I).Khi đó ∠ESF = 900 và EF LK là hình BP BU BK CQ CV CL vuông.Vẽ P U⊥AB, QV ⊥AC. Ta có ; . Đặt x = EF = BC BA BL BC CA CK BK CL KL. Ta cần chứng minh 1⇔ BK · CK + BL · CL = BL · CK BL CK ⇔ BK(CL + x) + (BK + x)CL = (BK + x)(CL + x) ⇔ x2 = BK · CL. Đúng vì tam giác BEK và CF L đồng dạng. Bài 6.(1,0 điểm) Cho N tập hợp (N 6), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau đƣợc lấy từ 26 chữ cái a, b, c, . . ., x, y, z. a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này. Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho. b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này. Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2
6. chữ cái? Lời giải a) Giả sử có chữ cái σ sao cho σ có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho, chẳng hạn 6 tập AAA1; 2 ,; , 6 . Vì hai tập hợp bất kỳ có chung đúng một chữ cái nên hai tập hợp bất kỳ trong 6 tập trên bao giờ cũng chỉ có chữ cái chung duy nhất là σ. Do đó, tổng số chữ cái có mặt trong 6 tập trên là: 1 + 6(5 − 1) = 25. • Nếu N = 6 thì vô lý do σ không xuất hiện trong tất cả N tập hợp. Do đó N ≥ 7. • Với N 7, lấy tập A7, có 2 khả năng: – A7 chứa σ: Vì và những tập AAA1; 2 ,; , 6 có chung đúng một chữ cái σ nên còn chứa 4 phần tử không nằm trong bất kỳ tập nào thuộc . Suy ra tổng số chữ cái trong 7 tập trên là: 1 + 7(5 − 1) = 29 > 26 (vô lý) – không chứa σ.Khi đó sẽ có chung đúng 1 phần tử với mỗi tập và 6 phầntử này phải khác nhau. (vì 6 tập đã có chung σ) Do đó có ít nhất 6 phần tử. (vô lý). Vậy không có chữ cái nào nằm trong 6 tập hợp từ N tập hợp đã cho. b) Giả sử có nhiều nhất k tập hợp có chung đúng 2 chữ cái, chẳng hạn a và b. Khi đó dễ thấy k N − 1 nên tồn tại một tập hợp khác chƣa đƣợc kể tên trong k tập hợp trên, đặt là tập hợp X, X không chứa {a, b}. • Nếu X không chứa cả a lẫn b. X giao mỗi tập trong k tập kia ở 2 phần tử khác nhau nên 2k 5 ⇒ k 2 • Nếu X chỉ chứa a, không chứa b. Khi đó 4 phần tử còn lại giao với k tập kia ở các phần tử khác nhau, mà X có 5 phần tử nên k 4. Vậy có nhiều nhất 4 tập hợp có chung đúng 2 chữ cái. Để chỉ ra một ví dụ về khả năng có 4 tập hợp, xét N = 6. Để thuận tiện, thay các chữ cái bằng các con số từ 1 đến 26. Khi đó chọn bộ N tập hợp nhƣ sau: A1 = {1, 2, 3, 4, 5} A2 = {1, 2, 6, 7, 8} A3 = {1, 2, 9, 10, 11} A4 = {1, 2, 12, 13, 14} A5 A5 = {1, 3, 6, 10, 13} A6 = {2, 3, 6, 9, 12}. Bộ 6 tập hợp này thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán.