Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GD VÀ ĐT KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1 1. Cho số x x R;x 0 thoả mãn điều kiện: x2 + = 7 x2 1 1 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + x3 x5 1 1 2 2 x y 2. Giải hệ phương trình: 1 1 2 2 y x 2 Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax bx c 0 (a 0 ) có hai nghiệm x1,x 2 thoả mãn điều kiện: 0 x1 x 2 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2a 2 3ab b2 Q 2a 2 ab ac Câu 3: (2,0 điểm) 1 1. Giải phương trình: x 2 + y 2009 + z 2010 = (x y z) 2 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)) 1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK  BN . 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: 2 2 2 DE 1. Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P a 2 b2 c2 d2 ac bd ,trong đó ad bc 1 . Chứng minh rằng: P 3 . Hết
2. SỞ GD VÀ ĐT KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm 1 1 1 1 0.25 Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9 x + = 3 (do x > 0) x x 1 1 1 1 1 0.25 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) A = x3 + =18 x x2 x3 x x3 2 1 3 1 5 1 1 7.18 = (x + 2 )(x +3 ) = (x +5 ) + (x + ) 0.25 x x x x 1 B = x5+ = 7.18 - 3 = 123 0.25 x5 2 1 1 1 1 Từ hệ suy ra 2 2 (2) 0.5 x y y x 1 1 1 1 Nếu thì 2 2 nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y x y y x thế vào hệ ta giải được x=1, y=1 0.5 2 b c 0.25 Theo Viét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 1 2 a 2 b b 2a 2 3ab b2 2 3. Khi đó Q = a a ( Vì a 0) 2a 2 ab ac b c 2 0.25 a a 2 3(x x ) (x x )2 0.25 = 1 2 1 2 2 (x1 x 2 ) x1x 2 2 2 0.25 Vì 0 x1 x 2 2 nên x1 x1x 2 và x 2 4 2 2 2 x1 x 2 x1x 2 4 x1 x 2 3x1x 2 4 0.25 2 3(x x ) 3x x 4 Do đó Q 1 2 1 2 3 0.25 2 (x1 x 2 ) x1x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 2 hoặc x1 0,x 2 2 0.25
3. b 4 a c 4 c b 4a a 0.25 Tức là b 2a Vậy maxQ=3 b 2 c 0 a c 0 a 3 1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 Phương trình đã cho tương đương với: x + y + z = 2x 2 +2y 2009 +2 z 2010 0.25 (x 2 - 1)2 + (y 2009 - 1)2 + (z 2010 - 1)2 = 0 0.25 x 2 1 0 x 3 0.25 y 2009 1 0 y 2008 z 2010 1 z 2011 2 Nhận xét: p là số nguyên tố 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5 Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 + 1 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi đó: - Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5 x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố 0.25 - Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà y > 5 y không là số nguyên tố 0.25 Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5 Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố Vậy: p =5 0.25 4
4. A I B 1. K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM 0.25 Ta có IBE = MCE (c.g.c). Suy ra EI = EM , MEC BEI MEI vuông cân tại E 0.25 Suy ra EMI 450 BCE IB CM MN 0.25 Mặt khác: IM // BN AB CB AN BCE EMI BKE tứ giác BECK nội tiếp 0.25 BEC BKC 1800 0.25 Lại có: BEC 900 BKC 900 . Vậy CK  BN 0.25 2. B O D x x M A E C y Vì AO = 2 , OB=OC=1 và ABO=ACO=900 suy ra OBAC là hình vuông 0.25 Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB MOE=COE 0.25 Suy ra MOD= BOD DME=900 0 MOE= COE EMO=90 0.25 suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O). Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC Ta cú DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1 0.25 Đặt DM = x, EM = y ta có AD2 + AE2 = DE2 (1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2 0.25
5. x y 2 1- (x+y) = xy suy ra DE2 + 4.DE - 4 0 4 DE 2 2 2 0.25 Vậy 2 2 2 DE<1 5. Ta có: (ac bd)2 (ad bc)2 a 2c2 2abcd b2d2 a 2d2 2abcd b2c2 a 2 c2 d2 b2 d2 c2 a 2 b2 c2 d2 2 Vì ad bc 1 nên 1 (ac bd) a 2 b2 c2 d2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm a 2 b2 ; c2 d2 có: 0.25 P a 2 b2 c2 d2 ac bd 2 a 2 b2 c2 d2 ac bd P 2 1 ac bd 2 ac bd (theo (1)) Rõ ràng P 0 vì: 2 1 ac bd 2 ac bd 2 0.25 Đặt x ac bd ,ta có: P 2 1 x2 x 0.25 P2 4 1 x2 4x 1 x2 x2 1 x2 4x 1 x2 4x2 3 2 1 x2 2x 3 3 Vậy P 3 0.25