Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: xx2 3 2 0. x y z 1 b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn: y z x 3. z x y 5 Câu 2 (2,0 điểm) 11 a) Phép toán T được định nghĩa như sau: aTb , với a và b là các số thực khác 0 ab 1 1 1 tùy ý. Thí dụ: 23T . Tính giá trị biểu thức: PTTT 5 6 7 8 . 2 3 6 b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 6aa2 20 15 0; 15b2 20 b 6 0; ab 1. b3 6 Chứng minh rằng: . ab2 91 ab 3 2015 Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương. b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau: 12345678910111213141516 9989991000. Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào? Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM AE, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM BF. a) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE, đường thẳng OB là phân giác trong của góc MOF. Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng. b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm) Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số. II. Hướng dẫn chấm và biểu điểm Câu 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: xx2 3 2 0. x y z 1 b) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn: y z x 3. z x y 5 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM a) (1,00 điểm) 2 0,25đ Phương trình đã cho tương đương với phương trình xx 3 2 0 xx 1 2 0 0,25đ x 1 0,25đ x 2 Phương trình có nghiệm x 2; 1;1;2 . 0,25đ b) (1,00 điểm) Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được x y z 9. 0,25đ Phương trình đầu có dạng 2x x y z 1 x 4. 0,25đ Phương trình thứ hai có dạng 2y x y z 3 y 3. 0,25đ Phương trình thứ ba có dạng 2z x y z 5 z 2. 0,25đ Thử lại thỏa mãn. Vậy x 4, y 3, z 2.
3. Câu 2 (2,0 điểm) 11 a) Phép toán T được định nghĩa như sau: aTb , với a và b là các số thực khác 0 ab 1 1 1 tùy ý. Thí dụ: 23T . Tính giá trị biểu thức: PTTT 5 6 7 8 . 2 3 6 b) Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 6aa2 20 15 0; 15b2 20 b 6 0; ab 1. b3 6 Chứng minh rằng: . ab2 91 ab 3 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM a) (1,00 điểm) Theo định nghĩa phép toán T, ta có: 1 1 1 0,25đ 56T 5 6 30 1 1 1 78T 0,25đ 7 8 56 11 Suy ra PTTTT 5 6 7 8 0,25đ 30 56 11 Vậy PT 30 56 26. 0,25đ 30 56 b) (1,00 điểm) Ta ký hiệu các điều kiện như sau 6aa2 20 15 0 (1); 15b2 20 b 6 0 (2); ab 1 (3). Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt. 0,25đ Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b2 ta được 2 11 6 20 15 0 (4) bb 1 Từ (1), (3) và (4) suy ra a và là hai nghiệm khác nhau của phương trình b 6xx2 20 15 0 (5) 0,25đ 1 10a 5 Theo định lí Vi-ét: a ;. bb32 Từ đó 3 33 ab2 91 ab a 1 5 10 2015 0,25đ 3 99 a b b b 2 3 6 b3 6 Suy ra , điều phải chứng minh. 0,25đ ab2 91 ab 3 2015 Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương. b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau: 12345678910111213141516 9989991000. Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi
4. chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào? HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM a) (1,00 điểm) 22 Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho n 2015 a ; n 2199 b . 0,25đ Suy ra b a b a 184. Hay b a b a 23 .23 Vì ba và ba là các số có cùng tính chẵn lẻ và b a b a nên chỉ xảy ra hai trường hợp 0,25đ b a 24 b a I và II b a 92 b a 46 Trường hợp thứ nhất a 45 0,25đ In 10. Thỏa mãn. b 47 Trường hợp thứ hai a 21 II n 1574 0. Không thỏa mãn. 0,25đ b 25 Vậy n 10. b) (1,00 điểm) Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3, ,9 là các số có 01 chữ số. 0,25đ 90 số tiếp theo: 10,11,12, ,99 là các số có 02 chữ số. 900 số tiếp theo: 100,101,102, ,999 là các số có 03 chữ số. Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có: 0,25đ 9 2 90 3 900 4 2893 chữ số. Vì 9 2 90 2016 2893 nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số 0,25đ có 03 chữ số. Ta có 2016 9 2 90 3 609, số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số 0,25đ thứ 609 là 609 100 1 708 do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8. Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM AE, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM BF. d) Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE, đường thẳng OB là phân giác trong của góc MOF. Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng. e) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn. f) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.
5. I A M B F H O E D C HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM a) (1,00đ) Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với các cạnh của hình vuông góc 45o. 0,25đ Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra AM AE; EAO MAO 45O . Suy ra AMO AEO c g c MOA EOA 0,25đ Vậy OA là phân giác trong của góc MOE. Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc MOF. 0,25đ oo Mặt khác, MOA MOB AOB 90 MOE MOF 2 AOB 180 hay E, O, 0,25đ F thẳng hàng. Điều phải chứng minh. b) (1,00đ) 0,25đ Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên MHA MEA 45o . Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên MHB MFB 45o . 0,25đ Suy ra AHB AHM MHB 90o . 0,25đ Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng 0,25đ nằm trên đường tròn đường kính AB. c) (1,00đ) Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H). Ta có AHI BHI 45o nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của 0,50đ đường tròn đường kính AB. Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường thẳng AB). 0,50đ Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối xứng với O qua đường thẳng AB). Câu 5 (1,0 điểm) Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 . HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
6. Xét đồ thị của hàm số y f x . Trên mỗi miền x 1; 1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; x 4 (gồm 05 miền), 0,25đ y f x là các hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm số là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp nhau. Mặt khác f x 0,  x nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của fx trên và 0,50đ giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng. Nói cách khác: minf x min f 1 , f 2 , f 3 , f 4  f 3 8. 0,25đ Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 8, đạt được khi x 3. Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng phương pháp chia khoảng. HẾT