›
›
›

Các chuyên đề toán Đại số THCS “Page tài liệu Toán học”

pdf 262 trang dichphong 6060
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chuyên đề toán Đại số THCS “Page tài liệu Toán học”", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_chuyen_de_toan_dai_so_thcs_page_tai_lieu_toan_hoc.pdf

Nội dung text: Các chuyên đề toán Đại số THCS “Page tài liệu Toán học”

  1. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 2 yx 2 yx a) Xét hệ phương trình: 21 m 1 2 y 3x 2 m 1 x 1 10 1 33 (1) Cĩ hệ số a và c trái dấu nên luơn cĩ hai nghiệm phân biệt mọi m nên P và d luơn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m . 21m 3 xx xx12 12 3 m 1 a) Theo hệ thức Viet: 2 1 xx12 31xx12 3 3 3 2 2 Ta cĩ: fxfx 1 2 xxm 1 2 1 xxxx 1 2 1 2 3 3 2 2 2 fxfx 1 2 2 xx 1 2 2 3 xxxx 1 2 1 2 2 xx 1 2 2 3 3 3 3 xxxxxx1212213 2 xx 12 xxxx 1212 2 xx 12 xxxxxx3 332 xxxx 2 2 xx xx 3 121212 1212 12 12 . Nên 1 3 f x f x x x . 1 22 1 2 Bài 38. Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đĩ , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị . 2) Tìm a và b để đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng -1 Lời giải. 1) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số: 185
  2. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Dựa vào đồ thị ta cĩ giao điểm của d và (P) là 2 điểm M ( 1 ; 1); N ( -2 ; 4 ) 2) Do đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + 2 Nên ta cĩ: a = -1. ∆ cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng – 1 nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = 1 Thay x = -1; y = 1 vào pt ∆ ta được a = -1 ; b = 0 =>Phương trình của ∆ là y = - x 1 Bài 39. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): yx 2 2 a)Vẽ đồ thị (P). b)Trên (P) lấy điểm A cĩ hồnh độ xA = -2 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho |MA –MB| đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1;1). Lời giải. 1 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): yx 2 2 a)Bạn đọc tự lập bảng giá trị Đồ thị: b)Vì A ∈ (P) cĩ hồnh độ xA=-2 nên yA=2 . Vậy A(-2; 2) Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox, Ta cĩ: |MA-MB| AB (Do M thay đổi trên O và BĐT tam giác) Dấu “ =” xảy ra khi điểm A, B, M thẳng hàng khi đĩ M là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox. - Lập pt đường thẳng AB: Gọi phương trình đường thẳng AB cĩ dạng: y = ax +b Do A, B thuộc đường thẳng AB nên ta cĩ: 1 a 22ab 3 ab 14 b 3 14 Vậy phương trình đường thẳng AB là: yx 33 - Tìm giao điểm của đường thẳng AB và O (y = 0)=> x = 4 => M(4;0) Bài 40. 186
  3. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, trong đĩ I 0;1 . b) Giả sử điểm A chạy trên Parabol P : y x2 . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA. Lời giải. a) Giả sử điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 suy ra M m; m2 . Khi đĩ 2 2 2 22 4 2 2 1 3 3 IM m m 11 m m . Vậy IM m . Ta thấy IM nhỏ nhất 2 4 2 3 2 21 bằng khi m hay M ; . 2 2 22 2 2 b) Giả sử điểm A a; a thuộc P : y x . Gọi I x11; y là trung điểm đoạn OA a x 1 2 .Suy ra . Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn OA là đường a2 yx 2 2 112 2 Parabol P1 :2 y x . Bài 41. Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d):y=(m-1)x+m+4 (tham số m) 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Lời giải. 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). m = 2 ta cĩ phương trình đường thẳng (d) là : y = x + 6 Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2=x+6 2 x 2 xx 60 x 3 +) x = -2 => y = 4 +) x = 3 => y = 9 Vậy m= 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A(-2;4) và B(3;9) 2) Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2 (m 1)x m 4 x2 (m 1) x m 4 0(*) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*)cĩ 2 nghiệm trái dấu 1. (- m – 4) - 4 Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y x2 sao cho ABO, 0;0 và OA OB. Giả sử I là trung điểm của đoạn AB . 187
  4. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB . b) Đường thẳng AB luơn luơn đi qua một điểm cố định. c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Lời giải. a) Giả sử A a; a2 và B b; b2 là hai điểm thuộc P . Để ABO, 0;0 và OA OB ta cần điều kiện: ab 0 và OA2 OB 2 AB 2 hay ab 0 và 2 4 2 42 2 2 2 a a b b a b a b . Rút gọn hai vế ta được: ab 1. Gọi I x11; y là ab x 1 2 trung điểm đoạn AB . Khi đĩ: 2 . Vậy tọa độ điểm ab22 a b 2 ab yx 212 1122 I thỏa mãn phương trình yx 212 . Ta cũng cĩ thể tìm điều kiện để OA OB theo cách sử dụng hệ số gĩc: Đường a2 b2 thẳng OA cĩ hệ số gĩc là ka , đường thẳng OB cĩ hệ số gĩc là kb . 1 a 2 b Suy ra điều kiện để OA OB là ab.1 x a y a2 b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là AB : hay b a b22 a AB :1 y abxab abx . Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng AB :1 y a b x luơn luơn đi qua điểm cố định 0;1 . 2 c) Vì OA OB nên ab 1. Độ dài đoạn AB a b 2 a22 b hay AB a2 b 2 22 ab a 4 b 4 a 2 b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta cĩ a2 b 2 22 a 2 b 2 ab , a4 b 42a 2 b 2 . Ta cĩ: AB 2 ab 2 2 a2 b 2 2 a 2 b 2 2 . Vậy AB ngắn nhất bằng 2 khi a22 b,1 ab . Ta cĩ thể chỉ ra cặp điểm đĩ là: A 1;1 và B 1;1 . Bài 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 , trên P lấy hai điểm AB 1;1 , 3;9 . a) Tính diện tích tam giác OAB . b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của P sao cho diện tích tam giác y ABC lớn nhất. 9 B Lời giải: K y=x2 a) Gọi y ax b là phương trình đường thẳng AB . I 188 1 C(c;c2) A H A' C' B' -3 -1 O 1 3 x
  5. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” ab. 1 1 a 2 Ta cĩ ab.3 9 b 3 suy ra phương trình đường thẳng AB d : y 2 x 3. Đường thẳng AB cắt trục Oy tại điểm I 0;3 . Diện tích tam giác OAB là: 11 S S S AH OI BK OI . Ta cĩ AH 1; BK 3, OI 3 . Suy ra S 6 OAB OAI OBI 22 OAB (đvdt). b) Giả sử C c; c2 thuộc cung nhỏ P với 13 c . Diện tích tam giác: SSSSABC ABB'''''' A ACC A BCC B . Các tứ giác ABB' A ', AA ' C ' C , CBB 'C ' đều là hình thang 22 1 9 1 cc 9 2 vuơng nên ta cĩ: S .4 . c 1 . 3 c 8 2 c 1 8.Vậy diện ABC 2 2 2 tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C 1;1 . Bài 44. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d :6 y x và parabol P : y x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của d và P . b) Gọi AB, là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB . Lời giải: 1) Phương trình hồnh độ giao điểm của P và d là: x22 x 6 x x 6 0 xx 23  .Ta cĩ yy 2 4; 3 9. Vậy tọa độ giao điểm của và là B 2;4 và A 3;9 . 2) Gọi AB', ' lần lượt là hình chiếu của AB, xuống trục hồnh. Ta cĩ SSSS OAB AA'''' B B OAA OBB Ta cĩ ABxx' ' BABAAB'''' xx 5; AAy ' 9; BBy ' 4 AA' BB ' 9 4 65 1 27 SAB . ' ' .5 (đvdt), SAAAO '.' (đvdt) AA'' BB 2 2 2 OAA' 22 65 27 SSSS OAB AA'''' B B OAA OBB 4 15 22 CHỦ ĐỀ 7. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH I. Tĩm tắt phƣơng pháp Bƣớc 1 : Lập hệ phương trình(phương trình) 189
  6. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thơng thường ẩn là đại lượng mà bài tốn yêu cầu tìm). 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lượng. Bƣớc 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình) Bƣớc 3 : Kiểm tra nghiệm của phương trình và hệ phương trình. Bƣớc 4 : Đưa ra kiết luận cho bài tốn. Dạng 1: Chuyển động (trên đƣờng bộ, trên đƣờng sơng cĩ tính đến dịng nƣớc chảy) Bài 1. Hai ơ tơ đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Lời giải. Gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h). Đk: x > 0 Vận tốc xe thứ nhất là x + 10 (km/h) Thời gian xe thứ nhất đi quảng đường từ A đến B là : 200 (giờ) x 10 Thời gian xe thứ hai đi quảng đường từ A đến B là : 200 (giờ) x Xe thứ nhất đến B sớm 1 giờ so với xe thứ hai nên ta cĩ phương trình: 200 200 1 x x 10 Giải phương trình ta cĩ x1 = 40 , x2 = -50 ( loại) x1 = 40 (TMĐK). Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50km/h, vận tốc xe thứ hai là 40km/h. Bài 2. Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ơ tơ cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nĩi trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe. Lời giải. 1 Xe máy đi trước ơ tơ thời gian là : 6 giờ 30 phút - 6 giờ = 30 phút = h . 2 Gọi vận tốc của xe máy là x ( km/h ) ( x > 0 ) 190
  7. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Vì vận tốc ơ tơ lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ơ tơ là x + 15 (km/h) 90 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là : ()h x 90 Thời gian ơ tơ đi hết quãng đường AB là : ()h x 15 1 Do xe máy đi trước ơ tơ giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta cĩ phương 2 trình : 90 1 90 xx2 15 90.2.(x 15) x ( x 15) 90.2 x 180x 2700 x2 15 x 180 x xx2 15 2700 0 Ta cĩ : 152 4.( 2700) 11025 0 11025 105 15 105 x 60 ( khơng thỏa mãn điều kiện ) 1 2 15 105 x 45 ( thỏa mãn điều kiện ) 2 2 Vậy vận tốc của xe máy là 45 ( km/h ) , vận tốc của ơ tơ là 45 + 15 = 60 (km/h). Bài 3. Một ca nơ chạy xuơi dịng từ A đến B rồi chạy ngược dịng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nơ khi nước yên lặng, biết rằng quãng sơng AB dài 30 km và vận tốc dịng nước là 4 km/giờ. Lời giải. Gọi vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) Vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng là x +4 (km/giờ), khi ngược dịng là x - 4 30 (km/giờ). Thời gian ca nơ xuơi dịng từ A đến B là giờ, đi ngược dịng x 4 30 từ B đến A là giờ. x 4 30 30 Theo bài ra ta cĩ phương trình: 4 (4) xx 44 191
  8. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” (4) 30(x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x2 15 x 16 0 x 1 hoặc x = 16. Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại Vậy vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng là 16km/giờ. Bài 4. Khoảng cách giữa hai bến sơng A và b là 30 km. Một ca nơ đi xuơi dịng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dịng từ bến B về bến A. Tổng thời gian ca nơ đi xuơi dịng và ngược dịng là 4 giờ . Tìm vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng, biết vận tốc của dịng nước là 4 km/h. Lời giải. Gọi vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng là x(km/h) (đk: ) Vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng: x + 4 (km/h) Vận tốc của ca nơ khi ngược dịng: x – 4 (km/h) 30 Thời gian ca nơ đi xuơi dịng: (h) x 4 30 Thời gian ca nơ đi ngược dịng: (h) x 4 Tổng thời gian ca nơ đi xuơi dịng và ngược dịng là 4h nên ta cĩ phương trình: + = 4 x2 – 15x – 16 = 0 x1 1( không thỏa ĐK ) Giải phương trình trên ta được: x2 16( thỏa ĐK ) Vậy vận tốc của ca nơ khi nc yên lặng là 16km/h Bài 5. Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ơ tơ khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe khơng thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ơ tơ là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe. Lời giải. Đổi 1hh 30' 1,5 Đặt địa điểm : 1,5x - Quy Nhơn là A 100-1,5x A C B - Hai xe gặp nhau là C - Bồng Sơn là B 192
  9. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Gọi vận tốc của xe máy là x km/ h . ĐK : x 0 . Suy ra : Vận tốc của ơ tơ là x 20 km / h . Quãng đường BC là : 1,5x km Quãng đường AC là : 100 1,5x km 100 1,5x Thời gian xe máy đi từ A đến C là : h x 1,5x Thời gian ơ tơ máy đi từ B đến C là : h x 20 100 1,5xx 1,5 Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta cĩ phương trình : xx 20 Giải pt : 100 1,5xx 1,5 100 1,5x x 20 1,5 x2 100 x 2000 1,5 x 2 30 x 1,5 x 2 xx 20 3xx2 70 2000 0 ' 352 3.2000 1225 6000 7225 0 ' 7225 85 35 85 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt : x 40 (thỏa mãn ĐK) 1 3 35 85 50 x (khơng thỏa mãn ĐK) 2 33 Vậy vận tốc của xe máy là 40km / h . Vận tốc của ơ tơ là 40 20 60 km / h . Bài tập vận dụng: Bài 7.Một ơtơ đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Bài 8.Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định 1 trước. Sau khi được quãng đường AB người đĩ tăng vận tốc thêm 10 km/h trên 3 quãng đường cịn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đĩ đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bài 9. Một canơ xuơi từ bến sơng A đến bến sơng B với vận tốc 30 km/h, sau đĩ lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuơi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính 193
  10. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dịng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canơ lúc xuơi và lúc ngược bằng nhau. Bài 10. Một canơ xuơi một khúc sơng dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuơi dịng sơng nhiều hơn thời gian ngược dịng là 2 giờ và vận tốc khi xuơi dịng hơn vận tốc khi ngược dịng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canơ lúc xuơi và lúc ngược dịng. Dạng 2: Tốn làm chung – làm riêng (tốn vịi nƣớc) Bài 11. Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung một cơng việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong cơng việc? Lời giải. Gọi thời gian người thứ nhất hồn thành một mình xong cơng việc là x (giờ), ĐK 12 x 5 Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là x + 2 (giờ) 1 1 Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv) x x 2 12 Vì cả hai người cùng làm xong cơng việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm 5 12 5 được1: = (cv) 5 12 Do đĩ ta cĩ phương trình 1 1 5 x x 2 12 xx 25 xx( 2) 12 5x2 – 14x – 24 = 0 ’ = 49 + 120 = 169, , 13 7 13 6 7 13 20 => x (loại) và x 4 (TMĐK) 55 55 Vậy người thứ nhất làm xong cơng việc trong 4 giờ, 194
  11. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” người thứ hai làm xong cơng việc trong 4+2 = 6 giờ. Bài 12. Hai vịi nước cùng chảy đầy một bẻ khơng cĩ nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vịi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vịi chảy sau lâu hơn vịi trước 4 h . Lời giải. Gọi thời gian vịi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ ) Gọi thời gian vịiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ ) 1 1 giờ vịi đầu chảy được ( bể ) x 1 giờ vịi sau chảy được 1 ( bể ) y 1 1 giờ hai vịi chảy được + 1 ( bể ) (1) x y 15 Hai vịi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h 4 15 4 Vậy 1 giờ cả hai vịi chảy được 1: = ( bể ) ( 2) 4 15 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình + = Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vịi sau chảy lâu hơn vịi trước 4 giờ tức là y – x = 4 Vậy ta cĩ hệ phương trình x 6 1 1 4 x 6 (a) 4x2 14x 60 0 2x2 7x 30 0 y 10 x 2,5 x x 4 5 y x 4 y x 4 x 2,5 y x 4 y x 4 (b) y 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn Hệ (b) bị loại vì x < 0 Vậy Vịi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h Vịi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h Bài 13.Hai người thợ cùng làm một cơng việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người 195
  12. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” chỉ làm việc đĩ trong 6 giờ. Như vậy , làm việc riêng rẽ cả cơng việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ? Lời giải. Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là x ( x > 0 ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là y ( y > 0 ) 1 Ta cĩ pt : x + y = 12 ( 1 ) 2 thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2x => 1 giờ người thứ 1 nhất làm được cơng việc 2x Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm được 1 cơng việc 2y 1 1 1 giờ cả hai người làm được cơng việc nên ta cĩ pt : + = (2) 6 6 1 x y 12 x 5 15 2 x Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt : 15  2 1 1 1 y 2 y 5 2x 2y 6 Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả cơng việc một người làm trong 10 giờ cịn người kia làm trong 5 giờ Bài 14. Hai người thợ cùng làm cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 1 cơng việc. Hỏi mỗi 4 người làm một mình thì trong bao lâu làm xong cơng việc? Lời giải. Gọi x, y là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ 2 làm một mình (x, y > 0, tính bằng giờ). 1 - Một giờ mỗi người làm được 1 ; cơng việc cả 2 người làm được + = 1 . x y 16 (vì 2 người làm trong 16 giờ thì xong cơng việc) 6 - Trong 3 giờ người thứ nhất làm được 3 (CV), 6 giờ người 2 làm được (CV) x y 6 vì cả hai làm được 1 (CV) nếu ta cĩ 3 + = 1 4 x y 4 196
  13. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Do đĩ ta cĩ hệ phương trình: 1 1 1 3 3 3 3 1 xy16 xy16 y16 x 24 . 361 361 111 y48 x y 4 x y 4 x y 16 Vậy người thứ nhất hồn thành cơng việc trong 24 giờ người thứ hai hồn thành cơng việc trong 48 giờ Bài 15. Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Lời giải. Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đường là x( giờ ) ( x ≥ 4 ) Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 ( giờ ) 1 Trong 1 giờ tổ 1 sửa được ( con đường ) x 1 Trong 1 giờ tổ 2 sửa được (con đường ) x 6 1 Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được (con đường ) 4 2 Vậy ta cĩ pt: + = 4(x 6) 4x x(x 6) x 2x 24 0 x1= 6; x2 = -4 X2 = - 4 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày ) 1 Mỗi ngày đội 1 làm được ( đoạn đường ) 2x 197
  14. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Mỗi ngày đội 2 làm được 1 ( đoạn đường ) 2(x 30) 1 Mỗi ngày cả hai đội làm được ( đoạn đường ) 72 1 1 Vậy ta cĩ pt : + = 2x 72 Hay x2 -42x – 1080 = 0 / = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 0 Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày ) Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày ) 40 Mỗi ngày đội 1 trồng được (ha) x 2 90 Mỗi ngày đội 2 trồng được (ha) x 2 Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được (x + 2) (ha) 90 Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng được (x - 2) (ha) x 2 Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta cĩ pt: (x + 2) = (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0 / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 198
  15. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 26 24 26 24 2 x = = 10 ; x = 1 5 2 5 5 x2 0 , y > 0 ) 1 1 1 x y 16 x 24 Ta cĩ hệ pt 3 6 1 y 28 x y 4 Bài 19. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể . 2 Nếu vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vịi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể . Hỏi 5 mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ? Lời giải. Gọi x , y lần lượt là số giờ vịi thứ nhất , vịi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 ) 1 1 1 3 3 1 x y 6 x y 2 x 10 Ta cĩ hệ pt 2 3 2 2 3 2 y 15 x y 5 x y 5 x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vịi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ, vịi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ . Bài 20. Hai người dự định làm một cơng việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ , cịn người thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đơi , nên người thứ hai đã làm xong cơng việc cịn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong cơng việc nĩi trên ? Lời giải. 199
  16. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Gọi x , y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm xong cơng việc với năng suất dự định ban đầu . 1 Một giờ người thứ nhất làm được (cơng việc ) x Một giờ người thứ hai làm được 1 (cơng việc ) y 1 Một giờ cả hai người làm được (cơng việc ) 12 1 Nên ta cĩ pt : + 1 = (1) y 12 2 trong 8 giờ hai người làm được 8. = (cơng việc ) 3 2 1 Cơng việc cịn lại là 1 - = ( cơng việc ) 3 3 Năng suất của người thứ hai khi làm một mình là 2. 1 = 2 (Cơng việc ) y y 10 Mà thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc cịn lại là (giờ) nên ta cĩ pt 3 y : = hay = (2) 6 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt : 1 1 1 + = x y 12 x=30 y 10 y=20 = 6 3 Vậy theo dự định người thứ nhất làm xong cơng việc hết 30giờ và người thứ hai hết 20 giờ . Bài 21. Hai người A và B làm xong cơng việc trơng 72 giờ , cịn người A và C làm xong cơng việc trong đĩ trong 63 giờ và ngươoì B và C làm xong cơng việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong cơng việc? Nếu ba người cùng làm sẽ hồn thành cơng việc trong mấy giờ ? Lời giải. 200
  17. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Gọi người A một mình làm xong cơng việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm 1 được ( cơng việc).Người B một mình làm xong cơng việc trong y (giờ ), y > 0 thì x mỗi giờ làm được 1 ( cơng việc)Người C một mình làm xong cơng việc trong z y 1 (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm được ( cơng việc) z 1 1 1 504 x 168 x y 72 3 1 1 1 504 Ta cĩ hpt : y 126 x z 63 4 1 1 1 504 5 z 100 y z 56 5 4 12 Nếu cả ba người cùng làm yhì mỗi giờ làm được + + = ( cơng việc ) 504 504 Vậy cả ba ngưịi cùng làm sẽ hồn thành cong việc trong 42 (giờ ) 12 Bài 22. Hai đội cơng nhân cùng làm chung một cơng việc . Thời gian để đội I làm một mình xong cơng việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong cơng việc đĩ là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong cơng việc đĩ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong . Lời giải. Gọi thời gian đội I làm một mình xong cơng việc là x giờ ( x > 0 ) Suy ra thời gian đội II làm một mình xong cơng việc là x + 4 giờ 1 1 2x 4 Trong 1 giờ hai đội làm chung được : ( cơng việc ) x x 4 x(x 4) x(x 4) Thời gian để hai đội làm chung xong cơng việc là (giờ) 2x 4 2 Vậy ta cĩ pt : 2x + 4 = 4,5 . hay x + 4x – 32 = 0  x1 = - 8 ( loại ) x2 = 4 ( thoả mãn điều kiện của ẩn ). Vậy Đội I làm một mình xong cơng việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ . Bài tập vận dụng. Bài 23. Hai người thợ cùng làm chung một cơng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai 201
  18. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” người chỉ làm được 3 cơng việc. Hỏi một người làm cơng việc đĩ trong mấy giờ 4 thì xong? Bài 24. Nếu vịi A chảy 2 giờ và vịi B chảy trong 3 giờ thì được 4 hồ. Nếu vịi A 5 chảy trong 3 giờ và vịi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được 1 hồ. Hỏi nếu chảy 2 một mình mỗI vịi chảy trong bao lâu mới đầy hồ. Bài 25. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vịi chảy một mình cho đầy bể thì vịi II cần nhiều thời gian hơn vịi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể? Dạng 3: Tốn liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 26. Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Lời giải. Gọi x, y số chi tiết máy của tổ 1, tổ 2 sản xuất trong tháng giêng (x, y N* ), ta cĩ x + y = 900 (1) (vì tháng giêng 2 tổ sản xuất được 900 chi tiết). Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ 1 sản xuất được: x + 15%x, tổ 2 sản xuất được: y + 10%y. Cả hai tổ sản xuất được: 1,15x + 1,10y = 1010 (2) Từ (1), (2) ta cĩ hệ phương trình: x y 900 1,1x 1,1y 990 0,05x 20 1,15x 1,1y 1010 1,15x 1,1y 1010 x y 900 x = 400 và y = 500 (thoả mãn) Vậy trong tháng giêng tổ 1 sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy. Bài 27. Trong tháng thanh niên Đồn trường phát động và giao chỉ tiêu mỗi chi đồn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ. Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đồn 10A chia các đồn viên trong lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn. Cả hai tổ đều rất tích cực. Tổ 1 thu gom vượt chỉ tiêu 30%, tổ hai gom vượt 202
  19. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” chỉ tiêu 20% nên tổng số giấy chi đồn 10A thu được là 12,5 kg. Hỏi mỗi tổ được bí thư chi đồn giao chỉ tiêu thu gom bao nhiêu kg giấy vụn? Lời giải. Gọi số kg giấy vụn tổ 1 được bí thư chi đồn giao là x (kg) ( Đk : 0 4. x Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m) 2 x x 2 => diện tích hình chữ nhật đã cho là: x. (m2) 2 2 Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x x 2 va 2 (m) 2 203
  20. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” khi đĩ, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta cĩ phương trình: x 1 x 2 (x 2)( 2)  2 2 2 x 2 x 2 2x x 4 x 2 12x 16 0 2 4 => x1 6 2 5 (thoả mãn x>4); x2 6 2 5 (loại vì khơng thoả mãn x>4) Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 6 2 5 (m). Bài 31. Một phịng họp cĩ 320 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy ghế tăng tăng thêm 1 và số ghế mỗi dãy tăng thêm 2 thì trong phịng cĩ 374 ghế. Hỏi trong phịng cĩ bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy cĩ bao nhiêu ghế? Lời giải. Gọi số dãy ghế trong phịng họp là x (dãy) ( x * ) Gọi số ghế trong mỗi dãy là y (ghế) ( y * ) Vì phịng họp cĩ 320 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế mỗi dãy đều bằng nhau nên ta cĩ phương trình: xy 320 (1) Vì số dãy ghế tăng tăng thêm 1 và số ghế mỗi dãy tăng thêm 2 thì trong phịng cĩ 374 ghế nên ta cĩ phương trình: (x 1)(y 2) 374 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình: xy 320 (x 1)(y 2) 374 320 y 320 xy 320 xy 320 x y x xy 2x y 2 374 2x y 52 320 2 2x 52 x 26x 160 0 x 320 320 yy x=10 x=16 xx hoặc 22 y 32 y 20 x 26x 160 0 x 26x 160 0 Vậy trong phịng họp cĩ 10 dãy ghế và mỗi dãy cĩ 32 ghế Hoặc là trong phịng họp cĩ 16 dãy ghế và mỗi dãy cĩ 20 ghế Bài tập vận dụng. 204
  21. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 32. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất cịn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2. Bài 33. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. Bài 34. Cho một tam giác vuơng. Nếu tăng các cạnh gĩc vuơng lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh gĩc vuơng. Dạng 5: Tốn về tìm số. Bài 35. Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ tăng thêm 27 đơn vị. Lời giải. Gọi số tự nhiên cần tìm là: ab (a 0 ) Tổng các chữ số bằng 11 nên: ab 11 (1) Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ tăng thêm 27 đơn vị do đĩ: ba ab 27 10b a 10 a b 27 9 a 9 b 27 a b 3 (2) a b 11 a 7 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình: a b 34 b Vậy số cần tìm là 74. Bài tập vận dụng: Bài 36. Tìm một số cĩ hai chữ số, biết rằng số đĩ gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nĩ và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nĩ thì được thương là 4 và số dư là 3. Bài 37. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đơi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1 . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5 . 4 24 Tìm phân số đĩ. Bài 38. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. 3 Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đĩ. 2 CHỦ ĐỀ 8. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 205
  22. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 1. Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng 1 1 1 3 ab a 2 bc b 2 ca c 2 4 Lời giải. x y z Đặt abc ,; y z x 1 1 1 yz zx xy P ab a2 bc b 2 ca c 2 xy xz 2 yz xy yz 2 xz xz yz 2 xy Thì yz zx xy 3 P 1 1 1 xy xz 2 yz xy yz 2 xz xz yz 2 xy 111 3 P ( xy yz xz ) xy xz 2 yz xy yz 2 xz xz yz 2 xy 1 1 1 9 Áp dụng Bất đẳng thức ABCABC 1 1 1 1 ( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 3 số dương: A B C 33 ABC ; 33 A B C ABC Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 1 1 1 9 (ABC ) 9 ABCABCABC 9 9 9 3 Khi đĩ Ta cĩ 3 P ( xy yz xz ) P 3 4xy 4 yz 4 xz 4 4 4 xy yz 222 xz xy yz xz xy yz xz Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 xyz 1 Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 y 2 z 2 3 xyz . Chứng minh rằng: x2 y 2 z 2 3 4 4 4 x yz y xz z xy 2 Lời giải. Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cơ-si ta cĩ: 2 1 1x 1 )2x24 yz x yz (1) 22x2 yzx44 yz x yz yz 2 1 1 1 1 1 1 ) ( )(2) yzy z2 yz 4 y z x2 1 1 1 Từ (1) và (2) => : () x4 yz4 y z 206
  23. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Tương tự: yz221 1 1 1 1 1 ( ); ( ) y44 xz44 x z z xy x y 1111111 1111 1 xy yz zx A ( ) ( ) . (3) 4yzxzxy 2 yzx 2 xyz Mà lại cĩ : xy yz zx x2 y 2 z 2 (4) 1x2 y 2 z 2 1 3 xyz 3 Từ (3) và (4) cĩ : A đpcm 2xyz 2 xyz 2 Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 21 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y với 0 0 0; 1 x x 2x 1 x 2 x 1 x Ta cĩ: 2 . 2 2 (Bất đẳng thức Cơ si) 11 x x x x 21xx x 1 2( TM ) Dấu “=” xảy ra khi: 2x2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 0 1 xx xL 1 2( ) y 2 2 3 Dấu “=” xảy ra khi x 12 Vậy ymin 2 2 3 khi x= -1+ 2 Câu 4. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5b3 a 3 5 c 3 b 3 5 a 3 c 3 P ab 3 b2 bc 3 c 2 ca 3 a 2 Lời giải. Xét 207
  24. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 5b3 a 3 5 b 3 a 3 ( ab 3 b 2 )(2 b a ) (2ba ) ab 33 b22 ab b 5b3 a 3 (2 ab 2 a 2 b 6 b 3 3 b 2 a ) b 5 a 3 a 2 b b 2 a 22 ab 33 b ab b (a b )( a b )2 0 ab 3 b2 5ba33 2ba ab 3 b2 Ta cĩ 2 BĐT tương tự: 55c3 b 3 a 3 c 3 2c b ; 2 a c bc 33 c22 ca a Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được P 2( a b c ) ( a b c ) a b c 3 abc Dấu bằng xảy ra abc 1 abc 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 ⇔ a = b = c = 1. 2 3 4 2014 2015 Câu 5. Chứng minh rằng:1 4 2 22 2 3 2 2013 2 2014 Lời giải. 3 4 2014 2015 Đặt S= 22 2 3 2 2013 2 2014 Ta cĩ: 3 4 2014 2015 2S 2 22 2 2012 2 2013 3 4 3 5 4 2015 2014 2015 2SS 2 22 2 3 2 2013 2 2014 1 1 1 1 2015 S (1 ) 2 22 2 3 2 2013 2 2014 1 2014 1 ( ) 1 1 1 1 1 Ta cĩ: 1 2 2 2 3 20131 2013 2 2 2 21 2 2 Do đĩ: 1 2015 2 3 4 2014 2015 S 2 2 1 4 22013 2 2014 2 2 2 2 3 2 2013 2 2014 Câu 6. Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ()()x y22 x y S x22 y xy Lời giải. 208
  25. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Ta cĩ: (xy )22 (x y) S x22 y xy 2xy x22 y 12 x22 y xy 2xy x2 y 2 x 2 y 2 3 ( ) x22 y22 xy xy Do x, y là các số dương nên ta cĩ: 22xy x2 y 2 xy x 2 y 2 2 . 2 x2 y 222 xy x 2 y 2 xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2xy x22 y (x2 y 2 ) 2 4 x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) 2 0 x22 y2 xy xy22 x y( x ; y 0) xy22 x22 y 21 xy x y 2xy Cộng các bất đẳng thức ta được S 6 S = 6  x = y. Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y Bài 7. Cho các số a, b, c khơng âm. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 33 ( abc ) 2 2( ab bc ca ) Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. Đặt 3a2 x;;. 3 b 2 y 3 c 2 z ax2 3;b 2 y 3 ;c 2 zax 3 , 3 ;b y 3 ;c zxyz 3 ;,,0 Bất đẳng thức đã cho trở thành: xyz3 3 3 3 xyz 2( xy 3 3 yz 3 3 zx 3 3 )(1) Vì vai trị của x; y ;z bình đẳng nên cĩ thể giả sử x y z 0 Khi đĩ xxy( )22 zyx ( )( zxy )(x)( yyz )0 x3y 3 z 3 3 xyz xy (z y) yz(y z) zx(z x)(2) Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta cĩ xy( x y ) 2xy xy 2 x33 y (3) Tương tự ta cĩ: 209
  26. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” yz(y z ) 2 y33 z (4) zx(z x ) 2 z33 x (5) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) ta được xy(x yyz ) (y zzx ) (z x ) 2( xy3 3 yz 3 3 zx 3 3 )(6) Từ (2) và (6) ta cĩ xyz3 3 2 3 xyz 2( xy 3 3 yz 3 3 zx 3 3 ) Đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay a= b =c. Bài 8. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x y 1 y z 1 z x 1 Lời giải. Với mọi a, b, c > 0, ta cĩ: ()()()02222220ab 2 bc 2 ca 2 a 2 b 2 c 2 abbcca 2(a2 b 2 c 2 ) 2 ab 2 bc 2 ca 3(a2 b 2 c 2 ) a 2 b 2 cab 2 2 2 bc 2 ca 3(a2 b 2 c 2 ) ( a b c ) 2 (*) Với mọi a, b, c > 0, áp dụng BĐT Cơ–si cho ba số dương, ta cĩ: a b c 303 abc 1 1 1 1 1 1 1 (abc ) 9 303 abc a b c abc 1 1 1 9 ( ) a b c a b c Áp dụng BĐT (*) với a = x, b = y, c = z và từ điều kiện của x, y, z ta cĩ: ()x y z 2 18 x2 y 2 z 2 x y z x y z 3 (x y z )2 3( x y z ) 54 0 (x y z 9)( x y z 6) 0 x y z 6 (do x + y + z + 9 > 0) ( ) Áp dụng BĐT ( ) với a = x + y + 1, b = y + z + 1, c = z + x + 1, ta cĩ: 1 1 1 9 9 B xy 1 yz 1 zx 1 xy 1 yz 1 zx 1 2( xyz ) 3 93 Áp dụng ( ) ta cĩ: B 2.6 3 5 210
  27. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” x y z Dấu bằng xảy ra x y1 y z 1 z x 1 x y z 2 x y z 6 Bài 9. Cho a, b, c là ba số thực dương và cĩ tổng bằng 1. a bc b ca c ab 3 Chứng minh: a bc b ca c ab 2 Lời giải. Thay 1 = a + b + c ta cĩ: a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c) a bc a bc 2 bc 2 bc 2 bc Do đĩ: 11 abc abc abc ( abac )( ) Ta cĩ 2 đẳng thức tương tự b ca22 ca c ab ab 1 ; 1 b ca( b c )( b a ) c ab (c a)(c b) Cộng từng vế của 3 đẳng thức trên ta cĩ: a bc b ca c ab bc ca ab 32 abcbcacab (a b )(a c ) ( bcba )( ) (c a)(c b) Do đĩ: a bc b ca c ab33 bc ca ab abcbcacab 2 (a b )(a c ) ( bcba )( ) (c a)(c b) 4 bcb( c ) cac ( a ) aba ( b ) 3 (a b )( b c )( c a ) 4 4(bcbc222222 ca ca ab ab ) 3( ab 222222 ab bcbc ca ca 2 abc ) b2 c bc 2 c 2 a ca2 a 2 b ab 2 6 abc (*) Áp dụng BĐT Cơ–si cho ba số dương ta cĩ: b2 c c 2 a a 2 b 3 abc (*) đúng 2 2 2 bc ca ab 3 abc Vậy BĐT đã cho được chứng minh. 1 Dấu bằng xảy ra khi abc 3 x22 y x y Bài 10. a) Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh rằng: y22 x y x a22 3 ab b b) Cho a, b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ab() a b 211
  28. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. x22 y x y a) ( x 0; y 0) y22 x y x x22 y x y 0 y22 x y x x4 y 4 x 3 y xy 3 0 xy22 (x y )( x33 y ) 0 xy22 ()()x y2 x 2 xy y 2 0 xy22 2 22 13 ()x y x y 24 22 0 xy b) Tìm minP (a, b > 0) a2 3 ab b 2 ( a b ) 2 ab P ab( a b ) ab (a b) 1 3 1 3 ()()()()a b2 ab a b 2 a b 2 ab a b 4 4 4 4 ab()() a b ab a b ab 1 2 3 2 (a b ) . ab ab 4 4 ab() a b ab 35 1 22 1 ()a b2 ab Dấu bằng xảy ra 4 ab ab 5 Vậy MinP a b 2 *Cách khác a2 3 abb 2 ( ab ) 2 abab ab 3 ab 1 ab ab 3 1 5 P . ( . ) .2 2 ab()() a b ab a b aba b4 ab 4 ab a b 4 4 2 Câu 11. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 2014 xyz2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T y z z x x y Lời giải. 212
  29. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Đặt axybyzczx 2 2; 2 2 ; 2 2 (*) abc 2014(1) a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Từ (*) => x2 ; y 2 ;z 2 2 2 2 Áp dụng BĐT Cau chy ta cĩ: y z 2( y22 z ) b 2 z x 2(z22 x ) c 2 (0,25đ) x y 2(x22 y ) a 2 Từ đĩ ta cĩ: x2 y 2 z 21 abcabcabc 222222222 T () y z z x x y22 b c a 1 a2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 T ( a b c )(2) (0,25d) 22 b b c c a a Áp dụng BĐT Cauchy ta lại cĩ: a2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 babccacbabac2; 2; 2; 2; 2; 2 (0,25) d b b c c a a a2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 4(a b c ) 2( a b c ) 2( a b c )(3) b b c c a a 1 Từ (2) và (3)=>Tc (a b )(4) 22 1 Từ (1) và (4) =>T .2014. 22 2014 2014 Vậy T khi x=y=z= MIN 2 2 3 2 xyz() x y z x2 y 2 z 2 Bài 12. Cho ba số thực x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức S (x2 y 2 z 2 )( xy yz zx ) Lời giải. Theo Bunhia: (xyz )2 3( xyz 2 2 2 ) xyz 3 xyz 2 2 2 xyz( 3 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 ) xyz( 3 1) S 2 2 2 (x y z )( xy yz zx ) x2 y 2 z 2 () xy yz zx xyz( 3 1) 3 1 S 3 63x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 33 31 =>Smax= khi x=y=z 33 213
  30. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 13. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = 1. 3 Chứng minh ab + ac + bc ≤ 4 Lời giải. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = 1. Chứng minh ab + ac + bc ≤ Áp dụng BĐT Cơ–si cho ba số khơng âm, kết hợp điều kiện (1) ta cĩ: 3 (abbcca )( )( )3(3 abbcca )( )( )3 abc (2) 2 Áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm, kết hợp điều kiện (1) ta cĩ: a b2 ab 1 b c 2 ac 1 ( a b )( b c )( c a ) 8 abc abc (3) 8 c a2 ca Biến đổi (1), chú ý 2 BĐT (2) và (3), ta được: (a b )( b c )( c a ) 1 (a b )( bc ba c2 ca ) 1 (a b )( bc ba ca ) ac22 bc 1 (a b )( ab bc ca ) c ( ab bc ca ) abc 1 (a b c )( ab bc ca ) abc 1 1 1 13 abc ab bc ca 8 abc 34 1 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = . 2 Bài 14. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a4 b 4 c 4 1 (a 2)( b 2) ( b 2)( c 2) ( c 2)( a 2) 3 Lời giải. Áp dụng BĐT Cơ–si cho 4 số khơng âm, ta cĩ: a4 a 2 b 2 1 a 4 a 2 b 2 1 a 4 4 a 44 . . . 4 4 (a 2)( b 2) 27 27 9 ( a 2)( b 2) 27 27 9 94 9 a4 11 a b 7 (1) (ab 2)( 2) 27 27 27 Tương tự ta cĩ: 214
  31. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” b4 11 b c 7 (2) (bc 2)( 2) 27 27 27 c4 11 c a 7 (3) (ca 2)( 2) 27 27 27 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta cĩ: a4 b 4 c 4 11( a b c ) a b c 21 (a 2)( b 2) ( b 2)( c 2) ( c 2)( a 2) 27 27 27 Thay điều kiện a + b + c = 3 ta được: a4 b 4 c 4 1 (a 2)( b 2) ( b 2)( c 2) ( c 2)( a 2) 3 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. 1 1 1 Bài 15. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + 6 abc Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức cơ si: a5 + 1/a ≥ 2a²; b5 + 1/b ≥ b²; c5 + 1/c ≥ c². 1 1 1 Suy ra a5 + b5 + c5 + 2(abc2 2 2 ) abc Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3 Bài 16. Cho các số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . 1 b2 1 c 2 1 a 2 Lời giải. a ab2 Ta cĩ: a (1) 11 bb22 Áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm, ta cĩ 12 bb2 Thay vào (1) ta được: a ab22 ab ab a a a (2) 1 b22 1 b 2 b 2 Tương tự, ta cĩ: b bc b (3) 12 c2 c ca c (4) 12 a2 Cộng từng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được: a b c ab bc ca 2 2 2 abc (5) 1 b 1 c 1 a 2 215
  32. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Mặt khác 2 1 abc 3 abbcca ( ab )2 ( bc ) 2 ( ca ) 2 0 2 ()abc 2 ab bc ca 3 (6) 3 Thay điều kiện a + b + c = 3 và BĐT (6) vào (5) ta cĩ a b c 3 P 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi a = b = c = 1. 2 Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất của A x 12 y , biết x + y = 4 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;1) và xy 1; 2 ta cĩ 2 A2 1.11.2 x y 11 2 2 x 1 y 22 x y 32 A 2 3 11x x xy 12 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 y 2 xy 45 xy 4 y 2 Vậy GTLN của A là 2 xz 0, y 0, 0 1 1 1 Bài 18. Cho .Chứng minh rằng: 1 xyz 1 x y 1 y z 1 z x 1 Lời giải. xa 3 3 x, y , z 0 a , b , c 0 Đặt yb , vì xyz 11 abc 3 zc abc Ta cĩ: xy 1 ab3 3 1()( abaabb 2 2 )1()1( abab ababc ) c Do đĩ 1 c x y 1 a b c Tương tự ta cĩ 216
  33. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1 a y z 1 a b c 1 b z x 1 a b c Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta cĩ đpcm. 1 1 1 Bài 19.Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 . x2 y 2 z 2 y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức: P 2 2 2 2 2 2 x( y z ) y(z x ) z(x y ) Lời giải. 111 Ta cĩ: P 1 1 1 1 1 1 x()()() y z z2 y 2 z 2 x 2 x 2 y 2 1 1 1 Đặt a;; b c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1 x y z a b c a2 b 2 c 2 P b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a(1 a 2 ) b(1 b 2 ) c(1 c 2 ) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 3 số dương ta cĩ: 222 2 2 21 2 2 2 1 2aaa 1 1 4 a(1 a ) .2 a (1 a )(1 a ) 2 2 3 27 2a2 3 3 a(1 a22 ) a (1) 33 aa(1 2 ) 2 bc223 3 3 3 Tương tự: bc22(2); (3) b(1 bc22 ) 2 c(1 ) 2 3 3 3 3 Từ (1); (2); (3) ta cĩ P () a2 b 2 c 2 22 1 Đẳng thức xảy ra abc hay x y z 3 3 33 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 Bài 20. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức 4a2 ( b c ) 2 4 b 2 ( c a ) 2 4 c 2 ( a b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 222a b c b c a c a b Lời giải. 4()2(2a2 b c 2 a 2 b 2 c 2 )() b c 2 () b c 2 Ta cĩ: 2 2a2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 217
  34. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Cĩ hai đẳng thức tương tự. BĐT đã cho tương đương với ()()()b c2 c a 2 a b 2 3. 222a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 2 xy22 xy Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz cho 4 số dương , ta cĩ: m n m n ()b c2 b 2 c 2 2a2 b 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 Ta cĩ hai BĐT tương tự, cộng từng vế ta cĩ: ()()()b c2 c a 2 a b 2 222a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2222 2222 2222 abac bcab cacb b2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 2222 2222 2222 abab bccb acac = 3 ⇒ BĐT đã cho được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài 21. Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c T b4 c 4 a a 4 c 4 b a 4 b 4 c Lời giải. Ta cĩ: a4 b 4 ab(a 2 b 2 )  a ; b R Thật vậy: a4 b 4 ab(a 2 b 2 ) a4 b 4 a 3 b ab 3 (a b )( a33 b ) 0 (a b )2 ( a 2 ab b 2 ) 0 (luơn đúng  a; b R ) => a4 b 4 caba( 2 b 2 ) c a 4 b 4 caba ( 2 b 2 ) abc 2 0( vì a;b;c >0 và abc=1) c c c c (Vi c>0) abcabab4 4 ( 2 2 ) abc 2 abcabab 4 4 ( 2 2 c 2 ) c c22 c c (1) abcabcab4 4 ( 2 2 c 2 ) abcabc 4 4 2 2 2 Tương tự: 218
  35. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” bb2 4 4 2 2 2 (2) a c b a b c ac2 (3) b4 c 4 a a 2 b 2 c 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cĩ: a b c a2 b 2 c 2 1 bcaacbabcabc4 4 4 4 4 4 2 2 2 Vậy T 1  abc; ; 0 thỏa mãn abc=1 Với a=b=c=1 thì T=1 Vậy GTLN của T là 1 39a Bài 22. Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a+b 1. Chứng minh rằng: a2 44ab Tự giải. 1 1 1 Bài 23. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 3 . Chứng minh rằng: abc a b c 1 (ab bc ca ) 3 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 Lời giải. Ta chứng minh BĐT 1 1 1 (abc )( ) 9(*) abc a b b c c a (*) 3( )( )( )9 b a c b a c Áp dụng BĐT Cơ – si cho hai số dương ta cĩ: ab 2 ba bc 2 cb ca 2 ac =>(*) đúng 9 1 1 1 33abc a b c a b c Trở lại bài tốn: Áp dụng BĐT Cơ si cho hai số dương ta cĩ12 bb2 Ta cĩ: a ab22 ab ab a a a (1) 1 b22 1 b 2 b 2 Tương tự ta cĩ: 219
  36. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” b bc b (2) 12 c2 c ca c (3) 12 a2 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta cĩ: a b c 1 a b c () ab bc ca 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 a b c 1 (ab bc ca ) a b c 3 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 =>đpcm Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. Bài 24. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng 350 386 2015 xy yz zx x2 y 2 z 2 Lời giải. Với mọi a, b > 0 và x, y, z thỏa điều kiện đề bài, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương: 1 1 1 1 1 1 4 a b 2 ab .2 . 4 (*) a b a b a b a b x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 222 xy yz zx x 2 y 2 z 2 xy yz zx 2 x y z 1 x2 y 2 z 2 2223 xy yz zx xy yz zx xy yz zx 33 Áp dụng 2 bất đẳng thức trên ta cĩ: 350 386 1 1 157 P 2 2 2 386 2 2 2 xy yz zx x y z 222 xy yz zx x y z xy yz zx 4 157 386. 222xy yz zx x2 y 2 z 2 xy yz zx 1544 157 157 157 1544 1544 2015 ()x y z2 xy yz zx xy yz zx 1 3 1 x y z x y z 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 (khơng xảy ra) 21 222xy yz zx x2 y 2 z 2 33 Vậy P > 2015 (đpcm) Bài 25. Cho ab, là các số dương thỏa mãn điều kiện (a b )3 4 ab 12. 220
  37. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 11 Chứng minh bất đẳng thức 2015ab 2016. 11 ab Lời giải. 3 Ta cĩ12 (a b )3 4 ab 2 ab 4 ab . Đặtt ab,0 t thì 128 t3 4 t 2 2 t 3 t 2 30 (1)(2 t t 2 33)0 t Do 2t2 3 t 3 0,  t nên tt 1 0 1 . Vậy01 ab 1 1 2 Chứng minh được , ab , 0 thỏa mãn ab 1 11 ab1 ab 1 1 1 1 Thật vậy, BĐT 0 11 ab11 ab ab ab a ab b b a a b 0 (1 a )(1 ab ) (1 b )(1 ab ) 1 ab 11 ab (b a )2 ( ab 1) 0. Do 01 ab nên BĐT này đúng (1 ab )(1 a )(1 b ) 2 Tiếp theo ta sẽ CM 2015ab 2016,  a , b 0 thỏa mãn 1 ab 2 Đặtt ab,0 t t ta được 2015t 2 2016 1 t 2015t32 2015 t 2016 t 2014 0 (t 1)(2015 t2 4030 t 2014) 0. BĐT này đúng tt:0 1 11 Vậy 2015ab 2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1 11 ab Bài 26. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 11. Tìm GTNN 5a 5 b 2 c P 12(a2 11) 12( b 2 11) c 2 11 Lời giải. Thay 11 = ab + bc + ca vào P, ta cĩ: 5a 5 b 2 c P 12(a2 11) 12( b 2 11) c 2 11 5abc 5 5 12(a2 ab bc ca ) 12( b 2 ab bc ca ) c 2 ab bc ca 5abc 5 5 (*) 2 3(abac )( ) 2 3( babc )( ) ( cacb )( ) 221
  38. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm, ta cĩ: 23(abac )( )3( ab )( ac )4 abc 3 (1) Tương tự: 2 3(b a )( b c ) 4 b 3 a c (2) 1 (c a )( c b ) ( a b 2 c ) (3) 2 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta cĩ 15 15 23(abac )( )23( babc )( )( cacb )( ) a bc 3 ( ) 22 Từ (*) và ( ) ta cĩ 5a 5 b 2 c 2 P 15 15 a b3 c 3 22 3(a b ) a c c 3(b a ) b cab a b 1 Dấu bằng xảy ra ⇔ 5 c a c b c 5 ab bc ca 11 ab bc ca 11 2 Vậy GTNN của P là ,đạt được khi a = b = 1, c = 5. 3 Bài 27. Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) Lời giải. Ta cĩ: x y z 2 x2 y 2 z 2 2 xy yz zx 9 2 xy yz zx x y z 2 9 xy yz zx 2 9 (x y z )2 P x y z 2 9 t22 t 2 t 1 1 Đặt x y z t P t 5 ( t 1)2 5 5 2 2 2 x y z 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chẳng hạn khi x = 1, y = 2, z = –2 2 2 2 x y z 9, Vậy giá trị lớn nhất của P là 5. Bài 28. 1. Cho a, b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng (1 a )(1 b ) 1 ab 2. Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222
  39. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 11 22 P 22 11 a b a 22 a b b Lời giải. 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (1 a )(1 b ) (1 ab )2 1 a b ab 1 2 ab ab a b 2 ab 0 ( a b )2 0 (luơn đúng với mọi a, b > 0) 2. Áp dụng bất đẳng thức trên ta cĩ (1 a22 )(1 b ) 1 ab 1 a b (1) Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 4 (x y ) 2 . .2 xy 4 (2) x y x y x y x y Áp dụng (1) và (2) ta cĩ: 44 P 11 a b a b a2 2 a b 2 2 b a 2 b 2 2 ab 4a b 7( a b ) 1 (ab )2 8 8 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương ta cĩ: ()ab 2 a b ab ( a b )2 4( a b ) a b 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương ta cĩ: 4a b a b 4 a b a b 3 33 . . (a b )22 16 16 ( a b ) 16 16 4 3 7 21 21 Suy ra P .4 1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 8 4 4 Bài 29. Cho a,b là hai số thay đổi thỗ mãn các điều kiện a > 0, a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 8ab2 của biểu thức Ab 2 4a Lời giải. 8a2 b b b A b2 2 a b 2 ( a b 2 ) ( a ) 4a 4 a 4 a Vì b1 a b 1 3 a 0; a b 1 ; a 1 b a b 4a 4 a 4 a 4 a 4 1 3 1 1 1 A()()()() a b22 b a b 4aa 4 4 2 2 223
  40. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 11 1 Ta cĩ aa 2 . 1 (BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm); (b )2 0 44aa 2 3 A 2 1 Dấ u bằng xảy ra khi ab 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi 2 Bài 30. Tìm các số thực khơng âm a và b thỏa mãn 3 3 1 1 (a22 b )( b a ) (2 a )(2 b ) 4 4 2 2 Lời giải. Với mọi x, y khơng âm, ta cĩ: 11 1 (x )22 0 xx (*) Dấu bằng xảy ra ⇔x . 24 2 mà (x y )2 0 x 2 2 xy y 2 0 x22 24 xy y xy (x y )2 4 xy ( ) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y. Áp dụng BĐT (*) với x = a và x = b ta được 3 1 1 1 a22 b ( a ) b a b 0 4 4 2 2 3 1 1 1 b22 a (b ) a b a 0 4 4 2 2 3 3 1 (a2 b )( b 2 a ) ( a b ) 2 (1) 4 4 2 Áp dụng BĐT ( ) ta được: 22 12 1 1 1 1 (a b ) a b 4( a )( b ) 2 4 4 4 4 11 (2a )(2b )(2) 22 3 3 1 1 Từ (1) và (2) ta suy ra: (a22 b )( b a )(2a)(2 b ) 4 4 2 2 224
  41. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1 a 2 11 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b a b 22 11 ab 44 1 Vậy ab là giá trị cần tìm. 2 Bài 31. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 abc2 1 2 1 2 1 2 Lời giải. Giả sử a b c , từ giả thiết suy ra ab 1. Ta cĩ bất đẳng thức sau: 1 1 2 (a b )2 ( ab 1) 0 (luơn đúng). 1 a2 1 b 2 1 ab (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab ) 2 1 3 Vậy ta cần chứng minh: 1 ab 1 c2 2 c2 3 ab 3 abc 2 c 2 ca bc 3 abc 2 a b c 3 abc 2 (a b c ) 3( ab bc ca ) 9 Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì 3 2 ab bc ca 3 ( abc ) Hay a+b+c 3 3abc Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+ b +c 3.Chứng minh rằng: ab bc ca 3 c2 3 a 2 3 b 2 3 2 ()abc 2 Ta cĩ: ab bc ca ab bc ca 3 3 Ta cĩ ab ab ab ab 11 () 22 (a c )( b c ) 2 a c b c c 3 c ab bc ca 1ab ab bc bc ca ca 1 3 VT ( ) (abc ) 2acbccabacbab 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 Bài 32. Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng: a b c 3 a2 bc b 2 ca c 2 ab 2 Lời giải. 225
  42. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” ab bc ca 1 1 1 Từ điều kiện đề bài ta cĩ 33 abc a b c Áp dụng hai lần bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta cĩ: a 21 a22 bc 2 a . bc 2 a bc a2 bc 22a bc bc 1 1 1 1 1 a 1 1 1 . 2 bc24 b c a bc b c bc1 1 1 1 1 1 Tương tự ta cĩ: 22 ; b ca44 c a c ab a b a b c 1 1 1 1 3 Suy ra 2 2 2 . a bcb cac ab22 abc Bài 33. Cho a, b, c là ba số thực khơng âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5abc 4 5 4 5 4 7 Lời giải. 2 aa(1 ) 0 aa 2 Vì a, b, c khơng âm và cĩ tổng bằng 1 nên 0 a , b , c 1 b (1 b ) 0 b b cc(1 ) 0 2 cc Suy ra 5a 4 a22 4 a 4 ( a 2) a 2 Tương tự 5b 4 b 2; 5 c 4 c 2 Do đĩ 5a 4 5 b 4 5 c 4 ( a b c ) 6 7 (đpcm) Bài 34. Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số 1 1 1 1 1 1 1 1 a2 ;b 2 ;c 2 ;d 2 Cĩ ít nhất một số khơng nhỏ hơn 3. b c c d c d a b Lời giải. Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì 1 1 1 1 1 1 1 1 Pa 2b 2 c 2 d 2 3 b c c d c d a b Mặt khác 2111111 2 2 2 11 2 2 2 2 1111 P ab c d a b c d 2 bccdcd ab abcd Trái điều giả sử suy ra cĩ ít nhất một số khơng nhỏ hơn 3. 226
  43. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 2 1 1 1 1 4 Do4; a2 b 2 c 2 d 2 a b c d a b c d a b c d 2 a b c d 16 16 P 4 a b c d a b c d 2 a b c d 16 16 33 . . 4 a b c d a b c d 12 Bài 35. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c 9 a b c b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c 3. Chứng ming rằng: 1 2009 670 a2 b 2 c 2 ab bc ca Lời giải. a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 3 số dương 1 1 1 1 a b c 3 abc; 3 a b c 3 abc Suy ra Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 a b c b) Ta cĩ ab bc ca a2 b 2 c 2 ab bc ca 3 3 2007 Suy ra 669 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta cĩ 1 1 1 a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 9 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca 1 1 9 Suy ra 1 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c Do đĩ ta được . 227
  44. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. 1 Bài 36. Với số tự nhiên n3 . Chúng minh rằng S . n 2 1 1 1 Với Sn 31252 3 2n1n n1 Lời giải. Ta cĩ: 1 n 1 n n 1 n 2n 1 n n 1 2n 1 4n2 4n 1 n 1 nn + 1 - n 1 1 1 4n2 4n 2 n 1. n2 n n 1 Do đĩ ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 1 2 2 2 3 n n 1 2 n 1 2 m1 Bài 37. Chứng minh rằng 2 , với mọi số nguyên m, n n n2 3 2 Lời giải. m m Vì m, n là các số nguyên nên là số hữu tỉ và 2 là số vơ tỉ nên 20. n n Ta xét hai trường hợp sau m + Trường hợp 1: Với 2 , khi đĩ ta được n m2 2n 2 m 2 2n 2 1 hay m 2n2 1 Từ đĩ suy ra 228
  45. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” m 2n2 1 1 2 2 2 2 nn n2 1 22 2 11 n 1 1 n2 3 2 22 n2 2 2 n2 2 n m + Trường hợp 2: Với 2 , khi đĩ ta được n m2 2n 2 m 2 2n 2 1 hay m 2n2 1 Từ đĩ suy ra 1 22 m m 2n2 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n2 1 22 n2 11 1 n2 3 2 n2 2 2 2 n Vậy bài tốn được chứng minh. Bài 38. Cho ba số thực a, b, c đơi một phân biệt. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 2 2 2 2 b c c a a b Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a b c ab bc ca 22 b c c a a b bcca caab abbc Mà ta lại cĩ ab bc ca bcca caab abbc abab bcbc caca abbcca 1 abbcca abbcca 229
  46. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 2 a b c Do đĩ bất đẳng thức trên trở thành 0 . b c c a a b Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài tốn được chứng minh. Bài 39. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab bc ca P a2 b 2 c 2 a2 b b 2 c c 2 a Lời giải. Dự đốn được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài tốn về chứng minh bất đẳng thức ab bc ca a2 b 2 c 2 4 a2 b b 2 c c 2 a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta cĩ 3 a2 b 2 c 2 a b c a 2 b 2 c 2 a3 b 3 c 3 a 2 b b 2 c c 2 a ab 2 bc 2 ca 2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta cĩ a3 ab 2 2a 2 b;b 3 bc 2 2b 2 c; c 3 ca 2 2c 2 a Suy ra 3a 2 b 2 c 2 3abbcca 2 2 2 0 ab bc ca ab bc ca Do đĩ ta được a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a2 b b 2 c c 2 a a 2 b 2 c 2 Phép chứng minh sẽ hồn tất nếu ta chỉ ra được ab bc ca a2 b 2 c 2 4 a2 b 2 c 2 9 a2 b 2 c 2 Hay a2 b 2 c 2 4 2 a2 b 2 c 2 Đặt t a2 b 2 c 2 . Từ giả thiết a b c 3 a2 b 2 c 2 3, do đĩ ta được t3 Bất đẳng thức trên trở thành 230
  47. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 9t t 4 2t9t8t2 t32t30 2t Bất đẳng thức cuối cùng luơn đúng do t3 . Vậy bài tốn được chứng minh xong. Bài 40. Cho biểu thức P a2 b 2 c 2 d 2 ac bd, trong đĩ ad bc 1. Chứng minh rằng: P3 Lời giải. Ta cĩ 22 ac bd ad bc a2 c 2 2abcd b 2 d 2 a 2 d 2 2abcd b 2 c 2 a2 c 2 d 2 b 2 d 2 c 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 Vì nên 1 ac bd a2 b 2 c 2 d 2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được Pa 2 b 2 c 2 d 2 acbd2a 2 b 2 c 2 d 2 acbd 2 Suy ta P 2 1 ac bd ac bd . Rõ ràng P0 vì 2 2 2 1 ac bd ac bd Đặt x ac bd, khi đĩ ta được P21x 2 x P 2 41x 2 4x1x 2 x 2 1x 2 4x1x 2 4x 2 3 2 Hay P22 1 x 2x 3 3. Do đĩ ta được . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ad bc 1 2a 3d c 2b 3c d Bài 41. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác cĩ ba gĩc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luơn cĩ: x2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 2z 2 a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Lời giải. 231
  48. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Vì a2 b 2 c 2 0 nên ta cĩ x2 y 2 z 2 a2 b 2 c 2 2 2 2 a b c b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 x2 2 y 2 2 z 2 2 2 2 2 a b c b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2x2 2y 2 2z 2 x 2 y 2 z 2 2 2 2 a b c Giả sử a b c, khi đĩ c2 a 2 0; c 2 b 2 0. Với c là cạnh lớn nhất và các gĩc đều nhọn nên c2 a 2 b 2 . Do đĩ ta cĩ b2 c 2 a 2 0;a 2 c 2 b 2 0;a 2 b 2 c 2 0 Suy ra b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2x2 2y 2 2z 2 x 2 y 2 z 2 2 2 2 a b c 2x2 2y 2 2z 2 x2 y 2 z 2 Hay a2 b 2 c 2 2x 2 2y 2 2z 2 2 2 2 a b c x2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 2z 2 Hay . Bài tốn được chứng minh xong a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 Bài 42. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1 2 k 1 k k k 1 1 1 1 1 88 b) Chứng minh rằng:  23 2 4 3 2010 2009 45 Lời giải. a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 k 1 2 k 2 2k12kk1 0 k1 k 0 k 1 k k. k 1 Bất đẳng thức cuối cùng luơn đúng với mọi k nguyên dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Áp dụng kết quả câu a ta cĩ 232
  49. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1 1 1 1 VT  2 1 3 2 4 3 2010 2009 1 1 1 1 1 1 2 2  2 1 2 2 3 2009 2010 1 1 88 2 1 2 1 VP 2010 45 45 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 43. Với a, b, c là những số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 a b c 3a2 8b 2 14ab 3b 2 8c 2 14bc 3c 2 8a 2 14ca 5 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3a2 8b 2 14ab 3a 2 8b 2 12ab 2ab 4a 2 9b 2 12ab 2a 3b a2 a 2 a 2 Suy ra 2 3a22 8b 14ab 2a 3b 2a 3b Áp dụng tương tự ta thu được a2 b 2 c 2 3a2 8b 2 14ab 3b 2 8c 2 14bc 3c 2 8a 2 14ca a2 b 2 c 2 2a 3b 2b 3c 2c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 a2 b 2 c 2 a b c a b c 2a 3b 2b 3c 2c 3a5 a b c 5 Do đĩ ta được Vậy bài tốn được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Bài 44. Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0 x, y, z 2 và x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Mx 4 y 4 z 4 121x1y1z 233
  50. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. Đặt a x 1;b y 1;c z 1, ta được 1 a; b; c 1 và a b c 0 . Biểu thức M được viết lại thành Ma 4 b 4 c 4 4a 3 b 3 c 3 6a 2 b 2 c 2 4abc 312abc Để ý là khi thì a3 b 3 c 3 3abc 0 nên biểu thức trên thử thành M a4 b 4 c 4 6 a 2 b 2 c 2 3 Theo một đánh giá quen thuộc thì a4 b 4 c 4 abc a b c 0 1 2 a2 b 2 c 2 a b c 0 3 Do đĩ suy ra M3 hay giá trị nhỏ nhất của M là 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 0 hay x y z 1. Mặt khác do nên ta cĩ a ; b ; c 1. Từ đĩ ta cĩ a4 a 2 a;b 4 b 2 b;c 4 c 2 c Suy ra Mabc6abc 4 4 4 2 2 2 37abc3 Mà ta lại cĩ nên trong ba số a, b, c cĩ một hoặc hai số âm, tức là luơn tồn tại hai số cùng dấu. Khơng mất tính tổng quát ta giả sử hai số đĩ là b và c. Khi đĩ ta được b c b c a Đến đây ta cĩ M 14 a 3 17 hay giá trị lớn nhất của M là 17. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 1;c 0 và các hốn vị hay x 2; y 0; z 1 và các hốn vị Bài 45. a) Cho 3 số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b b c c a a2 b 2 c 2 ab bc ca 26 6 2009 1 2 8 b) Cho a 0; b 0. Chứng minh rằng a b 2a b Lời giải. 234
  51. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca 2 2 2 26 6 2009 2 2 2 12 a b b c 2007 c a Hay 0 13 3 2 Bất đẳng thức cuối cùng luơn đúng. Vậy bài tốn được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 8 a b 2a b Đặt cb , do b0 nên ta được c0 , khi đĩ bất đẳng thức trên được viết lại thành 1 2 8 a c 2a c Theo một đánh giá quen thuộc ta được 1 2 2 2 2.4 8 a c 2a c 2ac 2ac Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2a b . a 2b 1 Bài 46. Cho a, b là các số dương thỏa mãn 1. Chứng minh ab2 . 1 a 1 b 8 Lời giải. ab xy Từ giả thiết . Đặt x ; y Suy ra a ; b . 1 a 1 b 1 x 1 y Khi đĩ ta được x 2y 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xy2 1 2 1 x 1 y 8 Từ giả thiết ta suy ra 1 x 2y; 1 y x y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 xy 1 2 4xy x y 2 2y x y 8 235
  52. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Đánh giá cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài tốn được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Bài 47. Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xyz x y z 2. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 xy yz zx 2 Lời giải. 1 1 1 Giả thiết của bài tốn được viết lại thành 1. x 1 y 1 z 1 1 1 1 Đặt a ; b ; c . Khi đĩ ta được a b c 1. Từ đĩ suy ra x 1 y 1 z 1 1abc 1bca 1cab x ; y ; z a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab bc ca 3 bcca caab abbc 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ab 1 b a b c c a 2 b c c a bc 1 c b c a a b 2 c a a b ca 1 a c a b b c 2 a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 Bài 48. Cho các số thực khơng âm a, b, c sao cho ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2 b 2 2 c 2 2 236
  53. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b 2 c 2 1 a2 2 b 2 2 c 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 a2 b 2 c 2 a b c a b c 1 a2 2 b 2 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 6 a2 b 2 c 2 2 ab bc ca Bài 49. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x 2y 3z 18 . Chứng minh rằng: 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 51 1 x 1 2y 1 3z 7 Lời giải. Đặt a x; b 2y; c 3x, khi đĩ giả thiết trở thành a b c 18 và bất đẳng thức được viết lại thành bc5ca5ab5 51 1 a 1 b 1 c 7 Bất đẳng thức trên tương đương với bc5 ca5 ab5 51 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 7 1 1 1 72 Hay a b c 6 1 a 1 b 1 c 7 Phép chứng minh sẽ hồn tất nếu ta chỉ ra được 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 7 Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 1 1 1 9 9 3 1a1b1c 3abc 217 Vậy bài tốn được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 6 hay x 6; y 3; z 2 . Bài 50. Giả sử x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y z 1. xy z 2x22 2y Chứng minh rằng: 1 1 xy 237
  54. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. Ta sẽ quy bài tốn về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là xy z x y z 2x22 2y 1 x y z xy x z y z 2x22 2y x y z xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 2x22 2y x y Do đĩ ta chỉ cần chứng minh z x z y z xy Bất đẳng thức trên tương đương với 2 z22 xyzxy z xy2zxy zx y 0 1 Bài tốn được chứng minh hồn tồn. Đẳng thức xảy ra khi x y ; z 0 . 2 Bài 51. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 18 2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 x y z y z x z x y 4 Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 1 2xyz 2yzx 2zxy 42 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 2 2x y z 2x y z , do đĩ ta được 12 2x y z 2x y z Hồn tồn tương tự ta được bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 2 2xyz 2yzx 2zxy 2x yz x2yz x y2z Phép chứng minh sẽ hồn tất nếu ta chỉ ra được 1 1 1 1 2x yz x2yz x y2z 82 238
  55. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 1 1 1 9 9 1 2x yz x2yz x y2z 4 x y z 4.18 2 8 2 Vậy bài tốn được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 6 2 . 1 1 1 1 Bài 52. a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : a b 4 a b 1 1 1 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn 2010. Tìm giá trị lớn nhất x y z 111 của biểu thức: P 2x yz x2yz x y2z Lời giải. a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 1 1 1 1 22 4ab a b 0 a b a b 4 a b Bất đẳng thức cuối cùng luơn đúng. Vậy bài tốn được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab b) Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 2 1 1 2xyz 4xyxz 16xyz Hồn tồn tương tự ta được 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ; x2yz 16x y z xy2z 16x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 2010 1005 P 2xyzx2yzxy2z4xyz 4 2 1005 Vậy giá trị lớn nhất của P là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 670 2 Bài 53. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 2. Tính giá trị lớn nhất ab bc ca của biểu thức: P ab 2c bc 2a ca 2b 239
  56. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. Để ý đến giả thiết a b c 2 ta cĩ ab2c abcabc bcca Do đĩ theo bất đẳng thức Cauchy ta được ab ab 2ab 2ab ab 2c b c c a b c c a bc 2bc 2bc ca 2ca 2ca Hồn tồn tương tự ta được ; bc 2aa b c a ca 2b a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 2ca ab 2c bc 2a ca 2b bccaabcaabbc 2 a b c 4 Hay P4 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 4. 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia b c 3 Bài 54. Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a33 4b P 3 3 3 a 8b b3 a b Lời giải. 4b3 1 3 Biểu thức P được viết lại là P a 33 8b 3 1 bb 3 1 a 3 a a b Đặt t0 . Khi đĩ bất đẳng thức được viết lại là a 1 4t3 P 33 1 8t t3 1 t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 2 2 2 4t 2 18t 3 12t12t4t 2 12t 2 2 240
  57. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1 1 1 Suy ra 3 2 2 1 8t 1 2t2 1 2t 4t32 2t Ta sẽ chứng minh 32 t3 1 t 1 2t Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 32 4t 2t 2 32 12t2 tt1t 4 t12tt1 2 0 32 t3 1 t 1 2t Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t. Do đĩ ta được 1 4t32 1 2t P1 3 3 2 2 1 8tt3 1 t 1 2t 1 2t Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab Bài 55. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 5. Tìm giá trị nhỏ 3a 3b 2c nhất của biểu thức: P 6 a2 5 6 b 2 5 c 2 5 Lời giải. Từ giả thiết ab bc ca 5 ta cĩ a22 5 a abbcca abca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ 3 a b 2 c a 5a 3b 2c 6 a2 5 6 a b c a 24 Chứng minh tương tự ta được 3a 5b 2c a b 2c 6 b22 5 ; c 5 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 9a 9b 6c 6 a2 5 6 b 2 5 c 2 5 2 241
  58. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 3a 3b 2c2 3a 3b 2c 2 Suy ra P 6 a2 5 6 b 2 5 c 2 5 9a 9b 6c 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là . 3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1; c 2 . Bài 56. Cho a, b, c là số thực dương. Chứng minh rằng: 2ab 3bc 3ca a 2b 3c 3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9 Lời giải. Đặt x a; y 2b; z 3c, khi đĩ bất đẳng thức trên được viết lại thành xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được xy xy xy 1 2 3x4y2z x2yxyzxyz 9 x2y xyz xy 1 2 2 2x y 2xy 9 9x 9y x y z 81 9 x y z Hồn tồn tương tự ta được yz 2y z 2yz zx 2z x 2zx ; 3y4z2x 819 x y z 3z4x2y 81 9 x y z Cộng theo các vế cảu ba bất đẳng thức trên ta được xy yz zx x y z 2 xy yz zx 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 27 9 x y z 2 x y z Mà theo một đánh giá quen thuộc ta lại cĩ xy yz zx 3 x y z2xyyzzx x y z 2xyz x y z Do đĩ ta cĩ 279 x y z 27 27 9 Suy ra 242
  59. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Hay bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2b 3c . 1 1 1 729 1 3 1 3 1 3 Bài 57. Chứng minh rằng: abc 512 Trong đĩ a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 6. Lời giải. 1 1 1 729 729 1 3 1 3 1 3 abc512 512 1 1 1 1 1 1 1 A 1 3 3 3 33 33 33 333 a b c ab bc ca abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho hai tổng trong dấu ngoặc ta được: 3 3 3 1 1 A 11 2 2 2 3 3 3 abc a b c a b c abc Lại theo bất đẳng thức Cơ –si ta được: 3 3 3 1 1 A 11 2 2 2 3 3 3 abc a b c a b c abc 3 abc 11 Lại theo BĐT Cơ – si ta cĩ: abc 8, hay . 38abc 3 1 729 Suy ra: A 1 . Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2. 8 512 Bài 58. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 abc 2,0 2,0 2và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 9. Lời giải. Giải sử a = max(a, b, c) ; c = min(a, b, c). 0 ca 1 2. 1 a 2(2)(1)0 a a a2 32 a 3 2 3 Vì a + b + c = 6 ⇒ a3 a 2 a 3(3 a 2) 2 a 7 a 6 a 7 a 6. (1) Mặt khác: 0 c 1 c3 c . (2) 3 Nếu 0 b 1 b b (3) Từ (1), (2) và (3) ta được: a3 + b3 + c3 7a – 6 + c + b = 6a – 3 9 Nếu 1 b 2 thì tương tự ta cĩ: b3 7b – 6 (4) Từ (1), (2) và (4) ta được: a3 + b3 + c3 7a + c + 7b – 12 = 21 – 6c - 12 9. Vậy a3 + b3 + c3 9. 243
  60. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 59. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a b c 1 a ()() abac b ()() bcba c ()() cacb Bài làm. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số: (,)ab và (,)ca ta cĩ: (b c )( b a ) ( ac ab )2 ab ac , Do đĩ: a ( b c )( b a ) a ab ac , và a a a a ( abac )( ) a ab bc a b c b b c c , Tương tự ta cĩ: b ( bcba )( ) abcc ( cacb )( ) abc Cộng theo vế các BĐT trên ta được: a b c a ()() abac b ()() bcba c ()() cacb a b c a b c 1 abcabcabcabc Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trở thành đẳng thức khi a2 = bc , b2 = ac, c2 = ab , suy ra a = b = c. Vậy dấu “=” của Bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Bài 60. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: x + y + z = 0, x 1 0, y 1 0, y 4 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q x 1 y 1 z 4 Lời giải. Đặt a x 1, b y 1, c z 4 thì a > 0 , b > 0, c > 0 và a + b + c = 4 abc 1 1 4 114 11444 16 8 QS 3 ; a b c abc abcabcabc 3 81 QS 3 3 . 33 1 1 Vậy MaxA = khi x = y = và z = 1. 3 2 244
  61. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 61. Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3. Tìm giá trị 1 1 1 nhỏ nhất của biểu thức: P x y z Bài làm. 2 x y z Ta cĩ 33 x y z x y z 3 1 1 1 9 9 Do đĩ: P 3 x y z x y z 3 Vậy: minP 3 Bài 62. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 9 22abc c2 ab a 2 bc b 2 ac Bài làm. a2 b 2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 A 2bc 2 ac 2 ab c2 ab a 2 ac b 2 ac a2 bcb 2 c 2 b 2 acc 2 a 2 c 2 aba 2 b 2 3 2bc a2 bc 2 ac b 2 ac 2 ab c 2 ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta cĩ: a2 bc2 bc b 2 ac 2 ac c 2 ab 2 ab 3 A 2 2 2 2bc a bc 2 ac b ac 2 ab c ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho các cặp số trong ngoặc ra cĩ: 39 A 222 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Bài 63. Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b 2 c 2 T 2 2 2 2 2 2 a ()()() b c b c a c a b Lời giải. Áp dụng các bất đẳng thức: (b c )2 2( b 2 c 2 ); (a + b) 2 2( a 2 b 2 ); (c + a) 2 2( c 2 b 2 ), ta cĩ: a2 b 2 c 2 T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2( b c ) b 2( a c ) c 2( a b ) hay 245
  62. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” a2 b 2 c 2 T 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 a 2( b c ) b 2( a c ) c 2( a b ) 22 2 2 1 1 1 .5(abc ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 5 a 2( b c ) b 2( a c ) c 2( a b ) 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho ba bộ số dương m, n, p và ,, ta được: m n p 23 1 1 1 1 TT 3 .9 . (m n p ) 3.3 mnp .3 9 .Suy ra: 55 m n p mnp Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 3 khi a = b = c. 5 Bài 64. Giả sử x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện z4 xy2 z 2 x 2 z y 3 z 2. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . 1 z4 ( x 4 y 4 ) Lời giải. 11 Điều kiện cĩ thể viết lại là: xy22 x. y . 3 zz2 1 1 Biểu thức P cĩ dạng: P . Đặt t ta thu được bài tốn sau: 1 xy44 z z4 “Với x, y, t là các số dương thỏa mãn: xy2 yt 2 tx 2 3. 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P ” t4 x 4 y 4 Theo BĐT Cơ – si Cơ – si cho 4 số dương ta cĩ: x4 y 4 y 4 14 xy 2 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 y t t14 yt 3( x y t )34( xy yt tx )12 4 4 4 4 t x x 14 tx 11 x4 y 4 z 4 3. x4 y 4 z 4 3 1 Vậy P đạt được khi x = y = z = 1 min 3 Bài 65. Giải sử x, y là các số khơng âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy22 1. 246
  63. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1. Chứng minh rằng: 1 xy 2. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 x 1 2 y . Lời giải. Từ (x y )2 2( x 2 y 2 ) 2 suy ra: xy 2 1 Đẳng thức xảy ra khi xy . Mặt khác: (x y )2 x 2 y 2 2 xy 1 2 xy 1 Suy ra: 2 xy 1. Đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc y = 0. 2. Ta cĩ: P2 22( x y )212( x y )4. xy Do xy 2 và 4xy 2( x22 y ) 2 suy ra: 1 PP2 22221222 2222322 Đạt được khi xy . 2 Mặt khác: xy 1 và 40xy nên PP2 2 2 2 1 2 0 4 2 3. Vậy Pmin 4 2 3. đạt được khi x 0 hoặc y 0 Bài 66. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T 2 ac bd cd , trong đĩ các số thực a, b, c, d thỏa mãn điểu kiện 4ab22 2 va c + d = 4. Lời giải. Với mọi a, b , c, d R ta cĩ: 2 c 2 c 2 2ac 4 a (1) (2a ) 0 2 4 2 dd22 (b ) 0 bd b (2) 24 (cd )2 0 ()c d2 cd cd (3) 82 Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được: c2 d 2 cd( c d ) 2 3( c d ) 2 3.4 2 Tacbdcdab 2 42 2 (4 ab 2 2 ) 2 8. 4 4 2 8 8 8 T = 8 khi và chỉ khi xảy ra đồng thời các dấu “=” ở các BĐT (1), (2), (3). Tức là 1 khi a , b 1, c d 2 . Vậy giá trị lớn nhất của T là 8. 2 247
  64. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 67. Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nữa chu vu tam giác. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 rằng: 2. p a p b p c a b c Lời giải. 1 1 4 Nhận xét: Với x , y là các số dương thì . Từ nhận xét này ta cĩ: x y x y 1 1 4 4 ; p a p b()() p a p b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta cĩ: ; . p b p c a p c p a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 1 1 2. p a p b p c a b c 1 2 3 Bài 68. Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức: 6. Xét biểu thức: x y z P x y23 z . 1) Chứng minh rằng: P x 2 y 3 z 3. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Lời giải. 1. Theo bất đẳng thức Cơ – si, ta cĩ: P 3 x ( y23 1) ( x 1 1) x 2 y 3 z Suy ra (đpcm) 2. Áp dụng kết quả trên kết hợp bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta cĩ: 2 1 2 3 1 2 3 6(3)(23)P x y z x . 2. y 3. z 36 x y z x y z Hay P 3. Vậy MinP = 3 đạt được khi x = y = z = 1. Bài 69. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = 6. Tìm giá trị xyz3 3 3 nhỏ nhất của biểu thức: Q y z z x x y Lời giải. Sử dụng BĐT Cơ – si cho ba số dương ta cĩ: x33 y z x y z 2 33 . .2 3x y z22 y z 248
  65. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” y33 z x z x y Tương tự ta cĩ: 2 3yz ; 2 3 . z x22 x y Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được: Qxyz 6 3( xyz ) Q 2( xyz ) 6 6. Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2. Vậy Qmin= 6 khi x = y = z = 2. Bài 70. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x22 x 1 x x 1. 2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 1 . Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2) 1. x y z Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. 1) Tập xác định của hàm số y là R . Nhận thấy y > 0 với mọi giá trị của x nên để tìm giá trị nhỏ nhất của y ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của y2. Mà: y2 2 x 2 2 2 ( x 2 x 1)( x 2 x 1) = 2x2 2 2 x 4 x 2 1 4. Dấu “=” xảy ra khi x = 0. Vậy ymin= 4 khi x = 0. 2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – 2. Ta phải chứng minh: abc ≤ 1. 1 1 1 1 1 1 Thật vật từ: 11 x y z a 2 b 2 c 2 Theo bất đẳng thức Cơ – si: 1 1 1 1 1 1 b c bc (1) a 22 b 2 2 c 22 b 2 c 2 (2)(2) b c Tương tự ta cĩ: 11ca ab (2); (3) b 2 ( c 2)( a 2) c 2 ( a 2)( b 2) Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta được điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay x = y = z = 3. Bài 71. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện (x y z ) xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T ( x y )( x z ) Lời giải. 249
  66. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Ta cĩ; T ()()( xyxz xxyz ) yz 2( xxyzyz ).2 x( x y z ) 1. T 21 yz . x, y , z 0. xx( 2) 1 Chọn y = z = 1. Thì điều kiện trở thành: x 2 1. x 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 chẳng hạn khi (x ; y ; z ) ( 2 1;1;1) Bài 72. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca() a b c 2 P a2 b 2 c 2 abc Lời giải. Nhận thấy với x, y, z là các số thực dương ta cĩ: xy i) ( x y )2 0 x 2 y 2 2 xy 2 (1) yx 1 1 1 x y x z y z 1 1 1 9 ii) ( x y z ) 3 9. (2)Dấu abc yxzxzy xyzxyz iii)()()()0 x y2 y z 2 z x 2 x 2 y 2 z 2 xy yz zx (3) “=” xảy ra ở (1), (2) và (3) khi và chỉ khi x = y = z. Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vào bài tốn ta cĩ: ab bc ca 1 1 1 ab bc ca 2 2 2 9 P 2 2 2 ( a b c ) 2 2 2 ( a b c ). 18 a b c ab bc ca a b c ab bc ca abbccaa 2 b 2 c 28( a 2 b 2 c 2 ) 2 2 2 18 2 8 18 28. a b c ab bc ca ab bc ca a2 b 2 c 2 ab bc ca P 28 a b c . ab bc ca Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 28 khi a = b = c. 8 x4 8 y 4 8 z 4 Bài 73. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 0 (1) 16 x4 16 y 4 16 z 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xyz Lời giải. Ta cĩ: 250
  67. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 8 x4 8 y 4 8 z 4 1 1 1 1 (1) 4 1 4 1 4 1 3 4 4 4 (2) 16 x 16 y 16 z 16 x 16 y 16 z 8 1 1 1 1 1 1 yz44 Từ (2) suy ra: 4 4 4 4 4 16 x 16 16 y 16 16 z 16 16 y 16 z 11 y4 z 4 y 2 z 2 44 . (BĐT Cauchy) 16 16 yz 16 8 (16 yz44 )(16 ) Tương tự ta cĩ: 1 1x2 z 2 1 1 x 2 y 2 44 . (4); . (5) 16 yz 8(16 x4 )(16 z 4 ) 16 8 (16 x 4 )(16 y 4 ) Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) và rút gọn lại ta được: x4 y 4 z 4 8 3 xyz 44 2 4 4 2 xyz 4 4 2. Giá trị lớn nhất của P là 424 đạt được khi x, y, z cĩ hai số bằng 4 8 số cịn lại bằng 4 8 . Giá trị nhỏ nhất của P là 424 đạt được khi x, y, z cĩ hai số bằng 4 8 số cịn lại bằng 4 8 , hoặc cả 3 số bằng . Bài 74. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác cĩ chu vi bằng 1. Chứng minh 21 rằng: abc3 3 3 . 94 Lời giải. Đặt: T a3 b 3 c 3 3. abc Do abc 3 nên: T () ab3 c 3 3 abc 3()( abab abc )3()( 3 cababc )3 abc 3() abab 1 3c ( a b ) 3 abc 3 ab (1 c ) Vậy T 1 3( ab bc ca ) 6 abc (1) Lại cĩ: aabc2 2()( 2 abcabc )( ); b 2 bac 2 ()( 2 abcabc )( ); c2 c 2 ( a b ) 2 ( a b c )( a b c ). Hơn nữa a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: a b c 0, a b c 0, a b c 0; abc ( abcabcabc )( )( ) (1 2 c )(1 2 b )(1 2 a ) 1 4( abbcca ) 2( abc ) 8 abc 1 4(ab bc ca ) 7 abc 0; 2 8 1 Do đĩ: 6abc ( ab bc ca ) (2) va ab bc ca 2 abc (3) 3 3 4 Từ (1) và (2) áp dụng BĐT (a b c )2 3( ab bc ca ) ta cĩ: 251
  68. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 1 1 1 1 1 1 2 T ()(); ab bc ca a b c 2 3 3 3 9 3 9 9 2 abc 1 1 T khi và chỉ khi abc . 9 abc 3 11 Từ (1) và (3) dẫn đến: T 1 3 ( ab bc ca ) 2 abc 1 3. 44 Bài 75. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1. ab bc ca a2 b 2 c 2 Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với: ab bc ca ab bc ca ab bc ca a2 1 b 2 1 c 2 1 111 2 2 2 ab bc ca a b c cab( )()( abc bca )( abac )( )()( bcba )( cacb )() ab bc ca a2 b 2 c 2 Do( ab bc ca 1) (1) c()()() a b a b c b c a Đặt x,, y va z . Khi đĩ (1) trở thành bất đẳng thức quen ab bc ca thuộc: x y z xy yz zx (luơn đúng với mọi số dương x, y, z) 3 Đẳng thức xảy ra khi x y z a b c . 3 (1 a22 b )(1 b ) Bài 76. Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng: 2. (a23 a 1)(1 b ) Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (a 1)(1 b22 )(1 a b ) 2ab2 baabba 2 2 3 2 ba 3 1 2 a 3 2 b 3 ab 3 3 (a 1)( a23 a 1)(1 b ) Từ đĩ áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho ba số dương: 213;3(b3 b 2 ab 33 )3( abab 2 2 ); abaa 3333 3; abababb 333333 3. ab 23 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức (*). xy Bài 77. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (1) xy44 6 Lời giải. Ta cĩ: x4 1 2 x 2 ; y 4 1 2 y 2 . 252
  69. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Do đĩ: xy4 462 xy 2 2 2 4( xyxy )( 2 )4( 2 xy )42( 2 xy ).44 2 xy . 11xy xy 1 Suy ra: . Với x = 1, y = -1 thì: . 4xy44 6 4 xy44 64 xy 1 Với x = -1, y = 1 thì . xy44 64 1 1 Vậy biểu thức (1) cĩ giá trị lớn nhất là và giá trị nhỏ nhất là . 4 4 1 Bài 78. Cho x, y là các số dương thỏa mãn x 1.Tìm GTNN của biểu thức: y xy A . yx Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho hai số dương ta cĩ: 1 xy 1 x 2 , suy ra 4 (1) y y x Áp dụng bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức Cơ – si cho hai số dương ta cĩ: x y x y15 y x y 15.4 17 A 2 . . y x y16 x 16 x y 16 x 16 4 17 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi x và y = 2. 4 2 Bài 79. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: a4 b 4 b 4 c 4 c 4 a 4 1. aba()()()3 b 3 bcb 3 c 3 cac 3 a 3 Lời giải. 1 1 1 Từ giả thiết ab + bc + ca = abc 1 abc Từ a4 b 4 a 3 b ab 3 suy ra: 2(ab4 4 ) a 4 abbab 3 4 3 ( abab )( 3 3 ) a44 b a b 1 1 1 Vậy 33 ab( a b ) 2 ab 2 a b Làm tương tự sau đĩ cơng theo vế và kết hợp với giả thiết ta suy ra điều phải chứng minh. Bài 80. Cho x, y thỏa mãn 16xy22 9 144. Chứng minh rằng: 2xy 1 2 5 1. Lời giải. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: (ax by )2 ( a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) (1) 253
  70. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Thật vây: (1) 2axby a2 x 2 b 2 y 2 ( ax by ) 2 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi ax = by. Sử dụng bất đẳng thức (1) ta cĩ: 2 2 1 1 5 2 2 22 (2x y ) .4 x .3 y (16 x 9 y ) 20 (do 16xy 9 144 ). Suy ra: 2 3 36 2xy 1 2 5 1 hoặc 2xy 1 2 5 1. Từ đĩ suy ra: 2xy 1 2 5 1. 9 89xy x 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2xy 2 5 8 16xy22 9 144 y 5 Bài 81. Cho các số thực a thỏa mãn 0 a 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của aa1 biểu thức: T . 21 aa Lời giải. Ta cĩ: aa1 2 2 3 3 T 1 12 22 1211(01). do a 2 a 1 a 21 a a (2)(1) a a 2 Vậy maxT 1, đạt được khi và chỉ khi aa 0  1. (aa 1 )2 1 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ: aa(1 ) . 44 32 2 1 Suy ra: T 2 . Vậy min T đạt được khi a 1. a a 1 21 3. 3 2 4 23 Bài 82. Cho a, b là số dương thỏa mãn ab 1. Chứng minh rằng: 14. ab a22 b Lời giải. 14 Với hai số thực dương x, y bất kì ta cĩ: (x y )2 4 xy  x , y 0 , suy ra: xy() x y 2 1 1 4 và . Từ đĩ ta cĩ: x y x y 1 1 1 4 3 3 4 . . 2 (1); 3. 12 (2) 2ab 2 ( ab )2 2 abab 2 2 2 abab 2 2 Cộng (1) và (2) theo vế ta được điều phải chứng minh. 1 Đẳng thức xảy ra khi ab . 2 254
  71. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Bài 83. Các số thực x, y, z khác nhau và thỏa mãn (z x )( z y ) 1. Chứng minh bất 1 1 1 đẳng thức: 4. ()()()x y2 z x 2 z y 2 Lời giải. Đặt a z x, b z y từ giả thiết suy ra: a 0 , b 0 và ab 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 1a2 1 a 2 ( a 2 1) 2 4 a2 4 2. (*) a b( a b )2 ( a 2 1) 2 a 2 ( a 2 1) 2 a 2 Áp dụng BĐT Cơ-si Cho hai số dương ta thấy (*) luơn đúng. Vậy BĐT được chứng minh. Bài 84. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh bất 1 1 1 1 đẳng thức: . 1 abc2 ( ) 1 bac 2 ( ) 1 cba 2 ( ) abc Lời giải. Chứng minh: abc 1 . Từ đĩ suy ra: 1 abc2 ( ) abccaab ( ) 3 a . 11 1 1 1 1 Do đĩ: . Tương tự ta cĩ: ;. 1 a2 ( b c ) 3 a 1 b22 ( a c ) 3 b 1 c ( b a ) 3 c Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được: 1 1 1 1 1 1 1ab bc ca 3 1 2 2 2 . 1()1()1()3 abc bac cba abc 3 abc 3 abcabc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 85. 1 1 1 1) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: (abc ) 9. abc 2) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc 3. Chứng minh rằng: 1 2009 670. a2 b 2 c 2 ab bc ca Lời giải. 1 1 13 1 1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta cĩ: (a b c ) 3 abc .3 9 abc 3 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. ()abc 2 2007 2) Do ab bc ca 3 nên 669. 3 ab bc ca 255
  72. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Mặt khác áp dụng bất đẳng thức phần 1 ta cĩ: 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca 9 9 9 1. a2 b 2 c 2 2( abbcca ) ( abc ) 2 9 1 2009 Vậy 670. a2 b 2 c 2 ab bc ca Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Bài 86. Cho các số thực x, y thỏa mãn: xy 8 0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức: Px . y( x 8 y ) Lời giải. Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta cĩ: 1 P ( x 8 y ) 8 y 6. y( x 8 y ) x 88 y y xy 16 x 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 1 1 8y y y . y( x 8 y ) 64 4 1 Vậy minP = 6. khi và chỉ khi x = 4 và y = . 4 Bài 87. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 92 thức: P . 1 2(ab bc ca ) abc Lời giải. Theo giả thiết: 9 2(abc ) 9 1 1 1 P 2 2 2 2 2. (a b c ) 2( ab bc ca ) abc a b c ab bc ca a2 c 2() a c 2 Áp dụng BĐT quen thuộc với các số dương: . (*) b d b d ac Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , suy ra: bd 1 1 1 4 1 9 . ab bc ca ab bc ca ab bc ca 256
  73. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lại sử dụng BĐT (*) cho các số dương ta cĩ: 9 36 92 P 81. a2 b 2 c 22( abbcca ) ( abc ) 2 1 Đẳng thức xảy ra khi abc 3 Vậy Pmin 81 khi Bài 88. Cho ba số thực a, b, c đơi một khác nhau. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 2. ()()()b c2 c a 2 a b 2 Lời giải. bc ca ab Dễ thấy: 1. (abac )( )( bcba )( )( cacb )( ) 2 a2 b 2 c 2 a b c Từ đĩ suy ra: 2 2 2 2 2. ()()()bc ca ab bccaab a b c Đẳng thức xảy ra khi: = 0 b c c a a b Bài 89. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2 x 1 4 x x2 . Lời giải. (1 4x x22 ) 1 x Điều kiện: 1 4xx 2 0 . Ta cĩ: Px 2 1 1. 22 Đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được khi x = 0. Bài 90. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y Lời giải. Từ giả thiết suy ra: x > y > 0, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ: 2 2 2 21 2 1 44xy x y xy 1 4 xyxyxy .4 xyxyxy 4 xy . 4 4 2 16 Do đĩ xy 4 . Vậy minA 4 khi xy 2 2 2; 2 2. Bài 91. Cho các số thực dương thỏa mãn: x + y = 1 1 4xy22 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x33 xy y xy 257
  74. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” Lời giải. Ta cĩ: 1 4xy22 2 1 2 1 2 A 44 xy xy x3 xy y 3 xy x y x22 xy y xy xy x 2 y 2 xy 1 1 1 5 4 1 5 2 2 4xy 2 2 2 4 xy . 2 4 2 5 11 x y2 xy 4 xy 4 xy x 2 xy y 4 xy xy 1 Vậy minA 11 khi xy 2 Bài 92. Cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0; x + 1 > 0; y + 1 > 0 và z + 4 > 0. xy 1 z Tìm GTLN của A (x 1)( y 1) z 4 Lời giải. xa 1 y 16 b a b c Đặt zc 4 ab 1 1 1 c 4 ab a b 1 1 c 4 1 1 4 A 2 ab c ab c a b c 4 4 16 16 8 2 2 2 2 2 a b c a b c 6 3 3 2 MaxA 3 31 abc 6 a b x y 22 a b, a b c Đẳng thức xảy ra khi cz 31 Bài 93. Cho các dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2002 2017 Q = 2996ab 5501 . ab Lời giải. Q = . 2002 2017 ( 8008a ) ( 2017 b ) 2506(2 a 3 b ). ab Áp dụng BĐT Cơ- si và sử dụng giả thiết 2a + 3b ≤ 4 ta cĩ : 258
  75. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 2002 2017 Q ≥ 2. .8008ab 2. .2017 2506.4 ≥ 8008 + 4034 – 10024 = 2018. ab 2002 8008a a 1 2017 a Dấu « = » xảy ra khi : 2017b 2 b b 1 2ab 3 4 1 Vậy Q 2018 khi ab ; 1. min 2 Bài 94. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 35 P 22 2 xy x y xy Lời giải. Ta cĩ: 2x2 y 2 35 35 xy x 2 y 2 35 xy = 2xy x22 y32 xy 16 32 16 2x2 y 2 35 35 xy ( x y ) 2 xy = . x22 y32 xy 16 32 8 xy22 2 35 Sử dụng Cơ – si cho các cặp ( ; ) và ( ; 35xy ) ta cĩ: 32 xy22 xy 16 2 xy22 2 1 35 35xy 352 35 ≥ 2 = ; ≥ 2. = xy22 32 32 2 xy 16 16 2 ()xy 2 Mặt khác: x + y ≤ 4 ⇒ x.y ≤ 4 nên xy ≤ 1 , ≤ 1 8 2 32 2 Vậy minP = + - - = 17. Dấu “=” xảy ra khi x = y = 2 Bài 95. Cho a, b là số các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 M ( a b )( ) a33 b a b ab Lời giải. Ta cĩ : 259
  76. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” 11 (a3 b )( b )( a b );( 2 b 3 a )( a )( a b ). 2 ab Khi đĩ : 11 11 ab ab 11 ab 1 1 1 ab 1 1. a3 b a b 3() a b 2 ⇔ VT ≤ a b ab ab ab Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi a = b = 1. Bài 96. Xét các số thực a, b, c khơng âm, khác 1 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị 11 nhỏ nhất cảu biểu thức P ( a b )(4 5 c ). a bc b ac Lời giải. 1 1 1 Áp dụng BĐT : ( xy , 0) x y x y Tacĩ : 1 1 4 P ( a b )(5 c 4) ( a b )(5 c 4) a bc b ac( a b )( c 1) 4 5cc 4 (1 cc )(5 4) 4 4 4 8 (1 c )(1 c ) c 1 c 1 1 Vậy minP = 8. Dấu « = » xảy ra khi c 0, a b . 2 Bài 97. Cho x, y là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : xy 11 P ( ) 2( x22 y ). x22 y x y Lời giải. Ta cĩ : x2 + y2 ≥ 2xy nên : 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2. Do đĩ : xy1 1 xy 1 1 xy x22 y P ( ) 2( x22 y ) ( )( x y ) 2 xyxy2 2 xyxy 2 2 xyxy 2 2 4xy x2 y 2 3 xy 3( x 2 y 2 ) 2 2 4 2 x2 y 2 xy x 2 y 22( x 2 y 2 ) 39 6. 22 260
  77. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” x22 y2 xy Dấu « = » xảy ra khi 4xy x22 y xy. 22 x y xy Vậy minP = 9 khi x = y. 2 a + b 1 Bài 98. Chứng minh rằng: với a, b là các số dương. a 3a + b b 3b + a 2 Lời giải. a + b 2(a + b) Ta cĩ: (1) a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho các số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b 4a 3a + b 2 22 4b + (3b + a) 7b + a 4b 3b + a 3 22 Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4 Từ (1) và (4) suy ra: a + b 2(a + b) 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. a 3a + b b 3b + a 4a + 4b 2 Bài 99. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: x xy 31 y x y x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x22 xy2 y y Lời giải. x 1 Ta cĩ: x 3 ( do y 0) yy x1 x2 x Do đĩ: 3 x 3.3 0 1. y y y2 y x 1 x y xy x Mặt khác: P x2 xy2 y 2yy x 2 x 2 yy2 x Đặt tt (0 1) . khi đĩ bài tốn trở thành: y 261
  78. CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC” t 1 Cho 01 t . Tìm giá trị lớn nhất của Pt tt2 2 t 1 0 Dễ thấy do: nên: tt2 2 0 1 1 t 1 x 1 y Vậy Pmax 1 t 1 x y 1. x 1 x yy Bài 100. 2 22 1 xy Cho số thực x, y ( x y 0). Chứng minh rằng xy 2 . xy Lời giải : 1 xy Đặt z ta cĩ : xy yz zx 1 và BĐT đã trở thành: xy xyz2 2 22 xyz 2 2 2 2( xyyzzx ) ( xyz ) 2 0 ( luơn đúng) Vậy BĐT được chứng minh. 262