Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) THANH HOÁ Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010 Câu I: ( 2 điểm ) x 6 1 10 x Cho biểu thức: A = : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 1) Rút gọn biểu thức A 2). Tìm x sao cho A < 2 2 Câu II : ( 2 điểm ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x – 7x + 3 = 0 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1 2) Tính giá trị của biểu thức : B = 2x1 x2 + 2x2 x1 , Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình 4 1 1 x 2y x 2y 20 3 1 x 2y x 2y Câu IV : ( 3,5 điểm ) Cho hình vuông ABCD trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA . Đường thẳng đi qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H 1) Chứng minh rằng : AE = ID 2) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F ( F A) Chứng minh : DF.DA = EH . EB Câu V : ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là : BC = a ; CA= b ; BA= c p p p Và chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng : 9 p a p b p c Hết Họ và tên thí sinh số báo danh: chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 1 :
2. dự kiến lời giải môn toán chung KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010-2011 ( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010 Câu I: ( 2 điểm ) a) ĐK: x>0 ;x 4 x 6 1 10 x A = : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 x 6 1 x 2 x 2 10 x A = : x x 4 3.( x 2) x 2 x 2 x 2 x 2 1 x 4 10 x A = : x 4 ( x 2) x 2 x 2 x 2.( x 2) x 2 x 4 10 x A = : x 2 x 2 ( x 2). x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 6 A = : x 2 x 2 x 2 6 6 A = : x 2 x 2 x 2 1 1 A = x 2 2 x b) với x>0 ;x 4 ta có : 1 1 A 0 2 x 2 x 3 2 x 0 4 2 x 1 3 2 x 2 x 0 x 4 = > 0 9 2 x 2 x 3 2 x 0 x 0 4 2 x 0 . 9 Vậy với x 4 hoặc 0 x thì A<2 4 Câu II (2đ) 1) Vì 49 12 37 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 7 Theo hệ thức Vi-et ta có: x1x2 3 Đặt y1 2x1 x2 ; y2 2x2 x1 ta có:
3. y1 y2 2x1 x2 2x2 x1 x1 x2 7 y y (2x x )(2x x ) 5x x 2(x 2 x 2 ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 5x1x2 2[(x1 x2 ) 2x1x2 ]=9x1x2 2(x1 x2 ) 9.3 2.72 71 Do đó phương trình bậc hai cần lập là: y2 7y 71 0 2)Ta có : B2= 2 2 2 2 y1 y2 y1 2 y1 y2 y2 y1 y2 2y1 y2 2 y1 y2 49 2.( 71) 2 71 333 B 333 Câu III (1,5đ) 1 1 ĐK: x 2y Đặt a 0, b 0 ta được hệ: x 2y x 2y 1 a x 3 4a b 1 8 x 2y 8 5 20a 3b 1 1 x 2y 2 y b 2 12 Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình) 1) Xét tam giác ABE và tam giác IBE có: AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung suy ra tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vuông) suy ra AE = IE (1) vì ABCD là hình vuông nên góc EDI = 450 suy ra góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vuông ở I) suy ra tam giác DEI cân tại I suy ra IE =ID (2) từ (1) và (2) suy ra AE = DI 2) Vì EA = EI nên đường tròn (E;EA) đi qua I mà EI vuông góc với DI suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn (E;EA) suy ra gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF) suy ra tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy ra DA/DI =DI/DF do đó DF.DA = DI2 mà DI = IE suy ra DF.DA =IE2 (3) vì AI là dây chung của đương tròn (E;EA) và đường tròn (B;BA=BI) nên AI vuông góc với BE tại H Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BEI có : IE2 = EH.EB (4) Từ (3) và (4) suy ra DF.DA =EH.EB Câu V (1đ)
4. 1 1 4 Trước hết ta chưng minh: với a,b >0 ta có: (*) a b a b Thật vậy(*) a b 2 4ab a b 2 0 (đúng).Dấu “=” xảy ra a b Áp dụng (*) ta có: p p 4 p 4 p p a p b p a p b c p p 4 p 4 p tương tự ta có: p b p c p b p c a p p 4 p 4 p p c p a p c p a b p p p 2 p 2 p 2 p suy ra p a p b p c a b c p p p a b b c c a Hay 3 ( ) ( ) ( ) p a p b p c b a c b a c a b b c c a mà ( ) 2;( ) 2;( ) 2 (BĐT Cauchy) b a c b a c p p p Do đó 9 (đpcm) p a p b p c Dấu “=” xảy ra a=b=c tức là ABC là tam giác đều