Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

1. LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2018 THPT CHUYÊN KHTN Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Lê Phước – Nguyễn Mạnh Linh 1. Đề thi Bài 1. a) Giải hệ phương trình: ( xy.x y/ 2; C D x3 y3 x3y3 7.x 1/.y 1/ 31: C C C C C D b) Giải phương trình: p 9 3 x.3 2x/ 7px 5p3 2x: C D C Bài 2. a) Cho x; y là các số nguyên sao cho x2 2xy y và xy 2y2 x đều chia hết cho 5: Chứng minh rằng 2x2 y2 2x y cũng chia hết cho 5: C C C b) Cho a1; a2; : : : ; a50 là các số nguyên thỏa mãn 1 a1 a2 a50 50 và Ä Ä Ä
   
   
   Ä Ä a1 a2 a50 100: Chứng minh rằng từ các số đã cho, ta có thể chọn được một vàiC số cóC tổng
   
   
   Cbằng 50:D Bài 3. Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn .O/ có CD song song với BE: Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P: Điểm M thuộc đoạn thẳng BE sao cho ∠MAB ∠PAE: Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MK song song với AD; điểm L thuộc đườngD thẳng AD sao cho ML song song với AC: Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần lượt cắt BD; CE tại Q; S (Q khác B; S khác C ). a) Chứng minh rằng ba điểm K; M; Q thẳng hàng. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD; CE tại T; R (T khác D; R khác E). Chứng minh rằng năm điểm M; S; Q; R; T cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn .O/: CâuBài 4. Cho lạca; b; c là các bộ số thực dương. Toán Chứng minh học rằng muôn màu 0s s 1 ab bc  1 1 à @ A 2: a b C b c pa b C pb c Ä C C C C 1
2. 2 Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 2. Lời giải và bình luận các bài toán Bài 1. a) Giải hệ phương trình: ( xy.x y/ 2; C D x3 y3 x3y3 7.x 1/.y 1/ 31: C C C C C D b) Giải phương trình: p 9 3 x.3 2x/ 7px 5p3 2x: C D C Lời giải. a) Đặt a x y và b xy .a2 4b/: Hệ phương trình có thể được viết lại thành D C D  ( ab 2; D a3 3ab b3 7.a b 1/ 31: C C C C D Từ đó, ta có 31 a3 3ab b3 7.a b 1/ D C C C C .a b/3 3ab.a b/ 7.a b/ 1 D C C C C C .a b/3 .a b/ 1: D C C C C Suy ra .a b/3 .a b/ 30 0 hay a b 3 (vì nếu a b > 3 thì .a b/3 .a b/ 30 > 0; còn nếu aC bC < 3 Cthì .a b/D3 .a Cb/ D 30 < 0). C C C C C C C C Giải hệ phương trình a b 3 và ab 2 với chú ý a2 4b; ta được a 2 và b 1: Từ đó dễ dàng tính được x yC 1:DVậy hệ phươngD trình đã cho có nghiệm duy nhấtD .x; y/D .1; 1/: D D D 3 p 2 2 b) Điều kiện: 0 x 2 : Đặt a px và b 3 2x thì ta có a; b 0 và 2a b 3: Ngoài ra, từ giả thiết,Ä Ä ta cũng có D D  C D 9 3ab 7a 5b: .1/ C D C Từ đó, ta có 2a2 b2 3ab 6 7a 5b; C C C D C hay .a b 2/.2a b 3/ 0: C C D Suy ra b 2 a hoặc b 3 2a: D D Với b 2 a; thay vào (1), ta được 9 3a.2 a/ 2a 10: Giải phương trình này, ta  được aD 1(tương ứng, b 5 và x C1 ) hoặca D1 (tướngC ứng, b 1 và x 1). Câu lạcD 3 bộD Toán3 D 9 họcD muônD D màu Với b 3 2a; thay vào (1), ta được 9 3a.3 2a/ 7a 5.3 2a/: Giải phương  trình này,D ta được a 1 (tương ứng, b C1 và x 1). D C D D D Vậy phương trình đã cho có nghiệm ai nghiệm là x 1 và x 1: D 9 D
3. Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 3 Bài 2. a) Cho x; y là các số nguyên sao cho x2 2xy y và xy 2y2 x đều chia hết cho 5: Chứng minh rằng 2x2 y2 2x ycũng chia hết cho5: C C C b) Cho a1; a2; : : : ; a50 là các số nguyên thỏa mãn 1 a1 a2 a50 50 và Ä Ä Ä
   
   
   Ä Ä a1 a2 a50 100: Chứng minh rằng từ các số đã cho, ta có thể chọn được mộtC vài sốC có
   
   
   tổng C bằngD 50: Lời giải. a) Từ giả thiết, ta suy ra .x y/.x 2y 1/ .x2 2xy y/ .xy 2y2 x/ chia hết cho 5: Do đó, trong hai số x Cy và x 2y 1 cóD ít nhất một số chiaC hết cho 5: C Nếu x y chia hết cho 5 thì ta có y x .mod 5/; suy ra  C Á 0 x2 2xy y x2 2x2 x x.3x 1/ .mod 5/: Á Á C C Á C Do đó x hết cho 5 hoặc x chia 5 dư 3: Nếu x chia hết cho 5 thì ta cũng có y chia hết cho 5 (do x y chia hết cho 5) nên ı hiển nhiên 2x2 y2 2x y chia hết cho 5: C C C C Nếu x chia 5 dư 3 thì y chia 5 dư 2 (do x y chia hết cho 5) nên ı C 2x2 y2 2x y 2 32 22 2 3 2 0 .mod 5/: C C C Á
   C C
   C Á Nếu x 2y 1 chia hết cho 5 thì ta có x 2y 1 .mod 5/; suy ra  Á C 0 x2 2xy y .2y 1/2 2y.2y 1/ y y 1 .mod 5/: Á Á C C Á C Do đó y chia 5 dư 4 và x cũng chia 5 dư 4 (do x 2y 1 chia hết cho 5). Từ đó, ta có 2x2 y2 2x y 2 42 42 2 4 4 0 .mod 5/: C C C Á
   C C
   C Á Tóm lại, trong mọi trường hợp, ta luôn có 2x2 y2 2x y chia hết cho 5: C C C b) Nếu tồn tại chỉ số n .1 n 50/ sao cho a1 a2 an 50 thì kết luận của bài toán là hiển nhiên. Ä Ä C C
   
   
   C D Xét trường hợp ngược lại, khi đó tồn tại chỉ số n .1 n 49/ sao cho Ä Ä a1 a2 an 49; a1 a2 an 1 51: .1/ C C
   
   
   C Ä C C
   
   
   C C  Từ đây suy ra an 1 2 : Ta xét hai trường hợp sau. C  Trường hợp 1: an 1 2: Từ (1), dễ thấy a1 a2 an 49; suy ra  C D C C
   
   
   C D an 2 an 3 a50 49: C C C C
   
   
   C D Nếu n 24 thì do a1 an 2; a2 an 3; : : : ; an a2n 1 nên Ä Ä C Ä C Ä C Câu49 a lạc1 a2 bộan an Toán2 an 3 a học2n 1 < an 2 muônan 3 a49 a màu50; D C C
   
   
   C Ä C C C C
   
   
   C C C C C C
   
   
   C C mâu thuẫn. Vậy n 25; suy ra  49 a1 a2 an na1 25a1: D C C
   
   
   C   Từ đây, ta có a1 < 2 nên a1 1: Do đó a2 an 48 và a2 an 1 50: D C
   
   
   C D C
   
   
   C C D
4. 4 Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN Trường hợp 2: an 1 3: Lúc này, do  C  an 2 an 3 a50 100 .a1 a2 an 1/ 49 .2/ C C C C
   
   
   C D C C
   
   
   C C Ä nên 49 .49 n/an 2 .49 n/ 3; suy ra n 33: Do đó, ta có  C 
    49 .a1 a16/ .a17 an/ 16 .n 16/a17 16 17a17;  C
   
   
   C C C
   
   
   C  C  C suy ra a17 49: C
   
   
   C C C
   
   
   C  C  C
   Đặt an 1 50 k .k Z; 0 k 31/: Khi đó, ta có a1 ak an 1 50 C D 2 Ä Ä C
   
   
   C C C D vì a1 a2 ak 1: D D
   
   
   D D Bài 3. Cho ngũ giác lồi AB CDE nội tiếp đường tròn .O/ có CD song song với BE : Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P: Điểm M thuộc đoạn thẳng BE sao cho ∠MAB ∠PAE: Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MK song song với AD; điểm L thuộcD đường thẳng AD sao cho ML song song với AC: Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần lượt cắt BD;CE tại Q;S (Q khác B;S khác C ). a) Chứng minh rằng ba điểm K;M;Q thẳng hàng. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD;CE tại T;R (T khác D;R khác E). Chứng minh rằng năm điểm M;S;Q;R;T cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P QR tiếp xúc với đường tròn .O/: Lời giải. a) Do các tứ giác B CQK và B CDA nội tiếp nên ∠CKQ ∠CBQ ∠CAD; suy ra KQ AD: Mặt khác, ta lại có MK AD nên ba điểm K;M;QD thẳngD hàng. k k Câub) Chứng minh lạc tương tự bộ như câu a) Toán, ta cũng có ba điểm họcR;M;L thẳng muôn hàng. màu Ta có MQ AD nên RMQ RLD RTD; suy ra tứ giác RTMQ nội tiếp. k ∠ D ∠ D ∠ Chứng minh tương tự, ta cũng có tứ giác RMSQ nội tiếp. Do đó, năm điểm M;T;R;Q;S cùng thuộc một đường tròn.
5. Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN 5 y G X C D R Q P I S T O M B E K L A c) Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn .O/: Ta có MR AC nên RMG CAG CEG; suy ra tứ giác RMEG nội tiếp. k ∠ D ∠ D ∠ Chứng minh tương tự, ta cũng có tứ giác QM B G nội tiếp. Ta có RGQ RGM QGM REM QBM ∠ D ∠ C ∠ D ∠ C ∠ 180ı BP E 180ı RPQ D ∠ D ∠ nên tứ giác RPQG nội tiếp. Bây giờ, gọi I là giao điểm thứ hai của đường thẳng AG và đường tròn .P QR/; X là giao điểm thứ hai của đường thẳng AP và đường tròn .O/: Ta có ∠BAM ∠EAP và ∠BAC ∠EAD (do B CDE là hình thang cân) nên CAG XAD;D suy ra CDG DXGD: Từ đó, ta có GX CD: ∠ D ∠ ∠ D ∠ k Do XG CD nên tứ giác G CDX là hình thang cân, mà PC PD nên PG PX: Ta có RPIk RGI REB RCD nên PI CD hayD PI GX: D ∠ D ∠ D ∠ D ∠ k k Kẻ tiếp tuyến Gy của .O/: Ta có XGy XAG và PGX PXG AP I nên ∠ D ∠ ∠ D ∠ D ∠ GIP GAX AP I XGy PGX P Gy : ∠ D ∠ C ∠ D ∠ C ∠ D ∠ suy ra Gy là tiếp tuyến của đường tròn .GIP/: Do đó Gy là tiếp tuyến chung của các đường tròn .O/ và .GIP/: Vậy đường tròn .P QR/ tiếp xúc với đường tròn .O/ tại G: CâuBài 4. Cho lạca; b; c là bộ các số thực Toán dương. Chứng minh học rằng muôn màu 0s s 1 ab b c  1 1 à @ A 2 : .1/ a b C b c pa b C pb c Ä C C C C
6. 6 Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên KHTN Lời giải. Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có s s  ab b c à  1 1 à VT.1/ 2 2 Ä a b C b c
   a b C b c C C C C s  a c àb b à 2 D a b C b c a b C b c C C C C  a c à  b b Ã Ä a b C b c C a b C b c C C C C 2 : D Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c : D D Bình luận. Ngoài cách trên, ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có s s pab ab b c pb c VT.1/ D a b C .a b /.b c / C .a b /.b c / C b c C C C C C C 1 1  a b à 1  b c à 1 Ä 2 C 2 a b C b c C 2 a b C b c C 2 C C C C 2 : D Câu lạc bộ Toán học muôn màu