Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Trương Quang An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Trương Quang An (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƢƠNG QUANG AN Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 2a a 2 a - 3 b 3 b 2 a - 3 b - 2 a a Cho biểu thức M = a23 ab a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M. 11 8 b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2 , b = 10 3 Bài 2. (2,0 điểm) Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số. a) Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3. 2 2 2 b) Tìm giá trị của m để x1 + x2 + x3 = 11. Bài 3. (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n và các số A = 444 4 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888 8 (B 2n n gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD. c) Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d. MD HA2 d) Chứng minh = MC HC2 Bài 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2019. a b c Chứng minh + + 1. a + 2019a + bc b + 2019b + ca c + 2019c + ab Dấu đẳng thức sảy ra khi nào? Hết Họ tên thí sinh: .Số báo danh: . Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƢƠNG QUANG AN Năm học: 2018 – 2019 Môn: Toán (Chuyên Toán) Hƣớng dẫn chấm (Hướng dẫn này gồm 4 trang) Câu Nội dung Điểm 2a a 2 a - 3 b 3 b 2 a - 3 b - 2 a a a) M = a23 ab a, b 0 a 0 ĐK xác định của M: 0,25 ab 00 2a 2 a 2 2 3 ab 2 3 ab 3 b 2 a 2 M = 0,25 a23 ab 23a b (2 a 3)(2 b a 3) b 2 a 3 b Câu 1 = 0, 5 (2,0 đ) a2 3 ab a ( 2 a 3 b ) a 3b 11 8 b) Ta có M = 2 với a = 1 3 2 , b = 10 0,25 a 3 3b 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2 0,25 a 1 3 2 (1 3 2)(3 2 1) 17 3b 2 Vậy 6 4 2 2 2 2 2 0,25 a Từ đó M = 2 (2 2) 2 0,25 a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1) 2 x 2 x 2 x 2 ( x 3 x 2 m 1) 0 2 Nếu 2 trừ x 3 x 2 m 1 0(*) x 3 x 2 m 1 0 0,25 0,25 điểm Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0,25 0 13 8m 0 3 13 Điều kiện là m 0,5 Câu 2 4 6 2mm 1 0 2 3 28 b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x = 2; x ; x trong đó x ; x là (2,0 đ) 1 2 3 2 3 0,25 hai nghiệm phân biệt của pt (*) 2 2 2 22 Khi đó x1 + x2 + x3 = 11 4 x2 x 3 2 x 2 x 3 11 x 2 x 3 2 x 2 x 3 7( ) 0,25 xx23 3 áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có (0,25 đ) x. x 2 m 1 23 0,5 Vậy ( ) 9 2(2mm 1) 7 1 (thoả mãn ĐK) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. n Ta có A 444 4 444 4000 0 444 4 444 4. 10 1 888 8 0,25 2n n n n n n 2 Câu 3 = 4.111 1.999 9 BBB 4.111 1.9.111 1 6.111 1 0,25 n n n n n (1,0 đ) 2 2 33 = .888 8 BBB 0,25 44n Khi đó 0,25
3. 2 2 2 3 3 3 3 ABBBBBBB 2 4 2 4 2. .2 4 2 4 4 4 4 2 2 2 3 = .888 8 2 3.222 2 2 666 68 4 n n n 1 Ta có điều phảI chứng minh. A O H d M C I D B Q a) MA, MB là các iếp tuyến của (O) 0,25 MAO MBO 900 I là trung điểm của CD OI  CD MIO 900 0,25 Câu 4 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO 0,25 (4,0 đ) Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO. b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB MO là đường trung trực của AB 0,25 MO  AB MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) 1 MBC MBD sđ BC 2 MBC MDB(.) g g 0,25 MB MD MC. MD MB2 (2) MC MB Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD MC MO MCH MOD( ) c g c 0,25 MH MD MHC MDO tứ giác CHOD nội tiếp 0,25 H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD. c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI Hai tam giác vuông MIO và QHO có IOH chung 0,25 MIO QHO
4. MO OQ OI OH (R là bán kính (O) không đổi) 0,25 MO. OH OA22 R OQ OI OI OI O, I cố định độ dài OI không đổi lại có Q thuộc tia OI cố định 0, 5 Q là điểm cố định đpcm. 1800 COD d) AHC 900 MHC 90 0 ODC 90 0 ( COD cân tại O) 2 1 1 1 0,25 = 18000 COD 360 sdCBCB sdCAD 2 2 2 = CBD (3) CAH CDB (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Từ (3) và (4) AHC DBC(.) g g 0,25 HA BD (5) HC BC MBC MDB(.) g g (chứng minh trên) MD MB BD MB MC BC 0,25 2 (6) BD MD MB MD . BC MB MC MC MD HA2 Từ (5) và (6) 0,25 MB HC 2 Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c) Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc 2a bc . Từ đó 0,25 a2 + bc + a(b + c) 2a +a(b + c) = a(b + c + 2 ) = a( bc )2 a a a a Vậy (1) a 2019 a bc2 a b c 0,25 a a b c a a b c Chứng minh tương tự được bb cc (2) và (3) Câu 5 b 2019 b ca a b c c 2019 c ba a b c (1,0 đ) Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được 0,25 a b c abc + + 1 a + 2019a + bc b + 2019b + ca c + 2019c + ab abc a2 bc b2 ca Dờu “=” xảy ra abc 673 2 0,25 c ab abc 2019 CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN
5. TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “ Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Tôi tên là :Trương Quang An Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên
6. không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc đi học : Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : - Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . -Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường . -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ
7. -Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi -Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi -Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học
8. ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm , Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi Trƣơng Quang An