Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Không chuyên) - Năm học 2018-2019 - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Không chuyên) - Năm học 2018-2019 - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2018-2019 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH MÔN THI: TOÁN (không chuyên) (Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề) Ngày thi 26/5/2018 Bài 1: (1,0 điểm) Biết 0 x y và 2 2 x y x y y x 5 x . Tính xyxy 2 xy 2 xxy yxy 3 y Bài 2: (2,0 điểm) 2x2 7 x a) Giải phương trình x x 7 3 x x 3 x 1 y 2 x 3 b) Giải hệ phương trình 2 2 x 1 y 5 y 8 y 2 Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 x 3 m 11 0 1 a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó; b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho 2017x1 2018 x 2 2019 . Bài 4: (2,0 điểm) a) Đầu tháng 5 năm 2018 khi đang vào vụ thu hoạch, giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kilôgam (1500đ/kg), sau đó nhờ phong trào “giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa hấu còn lại với giá 3500đ/kg; nếu trừ tiên đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng (không kể công chăm sóc hơn hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông A mỗi sào đầu tư (hạt giống, phân bón, ) hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu? b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD (AB BC. Dựng CK vuông góc với AD (K AD), CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E (E ≠ C). a) Tính số đo COD . Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD. b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 1
2. SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Bài 1: (1,0 điểm) 2 2 5 x y x y y x Ta có: 3 xyxy 2 xy 2 xxy yxy 2 x y y y x x2 x y x xy y 2 x xy y 3 x y xy x y 3 xy x y 3 xy x xy y 2 x 1 x y 0 x y 1 xy y Bài 2: (2,0 điểm) a) ĐK: x 3 2 x 0 x 0 tm 2x 7 x 2x x x7 x 7 x 1 0 7 x 0 x 7 loai 3 x 3 x 2x 2 x 1 0 1 0 3 x 3 x 2x x 0 x 0 +) 1 0 2x 3 x 2 3 x 4x x 3 0 x 1 4 x 3 0 x 0 x 1 x 1. Vậy phương trình có tập nghiệm là S 1; 0 3 x 4 2 2 5 7 b) y 5 y 8 y 0;  y 2 4 x3 x 1 y 2 x 3 x 3 x y 1 0 Ta có 22 2 2 x 1 y 5 y 8 y 2 x 1 y 5 y 8 y 2 x 3 0 x 3 x y 1 0 x y 1 22 2 2 x 1 y 5 y 8 y 2 x 1 y 5 y 8 y 2 2 +) TH: x 3; ta có: 4y2 5 y 8 y 2 * 2 Vì 4y2 5 y 8 0; y 2 0;  y nên * vô nghiệm 2 +) TH: x y 1; ta có: y 2 y2 5 y 8 y 2 y 2 y 2 y 2 y2 5 y 8 0 . Khi y 2 x 1 2 y 2 y 5 y 8 y 2 y 2 y 4 . Khi y 4 x 3 2 2 y 2 y 5 y 8 y 4 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 2
3. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là 1; 2 và 3; 4 Bài 3: (2,0 điểm) 15 a) PT (1) có nghiệm kép 0 143 m 11 0 12 m 45 m 4 1 15 1 Nghiệm kép là x x . Vậy m thì phương trình có nghiệm kép là x x 1 2 2 4 1 2 2 15 b) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x, x 0 1 4 3 m 11 0 m 1 2 4 x1 x 2 1 Theo Viét, ta có: ; Theo giả thiết 2017x1 2018 x 2 2019 x1 x 2 3 m 11 x1 x 2 1 x 1 1 Ta có 2017x1 2018 x 2 2019 x 2 2 Khi đó ta có: 3m 11 2 m 3 (TMĐK). Vậy m 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho 2017x1 2018 x 2 2019 . Bài 4: (2,0 điểm) a) Gọi x (sào) là số sào dưa hấu ông A đã trồng x 0 Khi đó: Số tiền đầu tư là 4x (triệu đồng) 30% 2x  1000  1500 Số tiền bán dưa với giá 1500đ/kg là: 0,9x (triệu đồng) 1000000 1 30%  2x  1000  3500 Số tiền bán dưa với giá 3500đ/kg là: 4,9x (triệu đồng) 1000000 Theo đề, ta có phương trình 4,9x 0,9 x 4 x 9 1,8 x 9 x 5 tm Vậy ông A đã trồng 5 sào dưa hấu. b) Gọi x, y (m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài khu đất hình chữ nhật ABCD 0 x 60; 0 y 120 240 Theo đề, ta có x y 120 y 120 x a y 2 A M 2 D Diện tích vườn thả SCDMN 2400  1 2400 m ; 2400 Diện tích chuồng trại S 800 m2 x ABNM 3 2400 Kích thước còn lại của vườn thả DM m x B N C 800 Kích thước còn lại của chuồng trại AM m x 800 2400 3200 Theo đề, ta có: y y b x x x 3200 Từ a) và b) có: 120 x x 2 x 40 tm x 120 x 32000 x 40 x 80 0 x 80 loai 2400 Vậy chu vi khu đất làm vườn thả là: 2 40 200 m 40 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 3
4. Bài 5: (3,0 điểm) a) Tính số đo COD . Chứng minh các A điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD. Ta có: COD 2 CAD 2  450 90 0 (liên hệ giữa góc nội 450 tiếp và góc ở tâm) Tứ giác CDKI có: B O F 0 CID CKD 90 AC  BDCK ,  AD E I Vậy tứ giác CDKI là tứ giác nội tiếp, nên các điểm C, I, K, K H D cùng thuộc một đường tròn. (đpcm) D C AID: AID 900 , IAD 45 0 gt nên AID vuông cân tại I ADI 450 Do đó ACB ADI 450 (góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (T)) ACB CAD 450 AD / / BC tứ giác ABCD là hình thang Mặt khác tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (gt), nên tứ giác ABCD là hình thang cân AC = BD (đpcm) b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R AKCAKC: 900 , KAC 45 0 gt nên AKC vuông cân tại K ACK 450 Do đó ACK ACB 450 CI là phân giác BCH Mặt khác CI  BH (gt) nên BCH cân tại C CI là trung trực của BH hay CA là trung trực của BH (a) Chứng minh tương tự có DK là trung trực của EH hay DA là trung trực của EH (b) Từ a) và b) suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE (đpcm) * Tính IK theo R Ta có BCE ACB ACK 450 45 0 90 0 Nên BE là đường kính của đường tròn (T) BE 2 R 1 BHE: IB IH BH (CI là trung trực của BH) 2 1 KE KH EH (DK là trung trực của EH) 2 1 1 Nên IK là đường trung bình của BHE IK BE 2 R R 2 2 c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD Ta có IA = ID ( AID vuông cân tại I), OA = OD = R (gt) Nên IO là trung trực của AD IO  AD hay IO  AK (c) Tương tự KA = KC ( AKC vuông cân tại K), OA = OC = R (gt) Nên KO là trung trực của AC KO  AC hay KO  AI (d) Từ c) và d) O là trực tâm AIK (đpcm) Ta có ABE ACE ACK 450 (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của đường tròn (T)) AFK ABE 450 (KI // BE, vì IK là đường trung bình của BHE ) Do đó AFK ACB 450 hay BFI BCI 450 , nên tứ giác BICF nội tiếp BFC 1800 BIC 180 0 90 0 90 0 Xét BFC và DKC: BFC DKC 900 gt , cmt ; CBF CDK (tứ giác ABCD nội tiếp) CB CD Vậy BFC DKC (g.g) CK  CB CF  CD (đpcm) CF CK NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) trang 4