Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên quốc học - Môn thi: Toán (chuyên tin)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên quốc học - Môn thi: Toán (chuyên tin)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2019-2020 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2019 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) 1 1 1 a) Chứng minh 1  2020. 1 2 2 3 2019 2020 x x 1 x x 1 x 1 b) Cho biểu thức A : với x 0, x 1. Tìm các giá trị nguyên x x x x x 1 của x để A có giá trị nguyên. Câu 2: (1,5 điểm) x2 y2 xy 1 a) Giải hệ phương trình . 3 3 x y x 3y b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y 2(m 1)x m 4 và parabol (P): y x2. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt y1 y2 A x1;y1 và B x2 ;y2 sao cho biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất. x1 1 x2 x2 1 x1 Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 2 2x x 3 2x x 3 9. 4 2 b) Cho phương trình (ẩn x) x 2mx 4 0. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 4 4 4 4 bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3, x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 32. Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn O và điểm A cố định thuộc O .Trên tiếp tuyến của O tại A lấy, điểm M cố định (M khác A). Kẻ đường thẳng d đi qua M cắt O tại hai điểm phân biệt B và C (C ở giữa B và M, d không đi qua tâm O). Gọi I là trung điểm của đoạn BC. a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, I cùng thuộc một đường tròn. b) Vẽ đường kính AD của O . Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng ID tại H. Chứng minh AH 2OI và H là trực tâm của tam giác ABC. c) Khi đường thẳng d thay đổi, chứng minh H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Câu 5: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 2019 2019 x 2020 2020 1. b) Trên trục số, mỗi điểm biểu diễn số nguyên được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (không tô màu các điểm khác). Chứng minh rằng tồn tại hai điểm phân biệt và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có cùng màu. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2 :
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2019-2020 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2019 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (Nội dung có 05 trang) Câu Đáp án Điểm 1 1 1 a) Chứng minh 1  2020. 0,5 1 2 2 3 2019 2020 1 1 1 Ta có: 1  1 2 2 3 2019 2020 0,25 2 1 3 2 2020 2019 1  2 1 3 2 2020 2019 1 2 1 3 2  2020 2019 =2020 . 0,25 x x 1 x x 1 x 1 b) Cho biểu thức A : với x 0, x 1. Tìm các giá trị 1,0 x x x x x 1 1 nguyên của x để A có giá trị nguyên. (1,5 Với xthì A0, cóx nghĩa1 và điểm) x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 0,25 A : x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 2(x 1) : . 0,25 x x 1 x 1 2x 2 2x 2 4 4 A 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 0; x 2 0,25  x 1 2 x 1; x 3 . A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 4 x 1 hay x 1 4 x 3; x 5 So với điều kiện, ta có x 3. 0,25 2 2 x y xy 1 (1) a) Giải hệ phương trình . 0,75 3 3 x y x 3y (2) Từ (1) và (2) suy ra 3 3 2 2 2 x y x 3y x y xy (1,5 2y3 4xy2 4x 2 y 0 0,25 điểm) 2y x y 2 x2 0 y 0 y 0 x y 0 . 0,25 x y 0 x 0 Trang 1/5
3. Với y 0 thì x 1, thỏa mãn hệ phương trình. Với x y 0, không thỏa phương trình 1 . 0,25 Vậy nghiệm x;y của hệ là 1;0 ; 1;0 . b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y 2(m 1)x m 4 và parabol (P): y x2 . Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A x1;y1 và B x2;y2 sao cho biểu thức 0,75 y y Q 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x1 1 x2 x2 1 x1 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 2 m 1 x m 4 0 (1). 2 2 2 1 19 Do m 1 m 4 m m 5 m 0 m ¡ nên phương 0,25 2 4 trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. x1 x2 2 m 1 Theo định lý Vi-ét, ta có . 0,25 x1x2 m 4 2 x2 x2 x x 2x x Q 1 2 1 2 1 2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 2x1x2 2 2 2m 3m 6 2 3 39 39 0,25 m m ¡ . 5 5 4 40 40 3 39 Vậy m thì Q đạt giá trị nhỏ nhất là . 4 40 a) Giải phương trình x2 2x x 3 2x x 3 9. 1,0 Điều kiện: x 3 . 0,25 Đặt t x x 3 thì t2 x2 x 3 2x x 3 x2 x 2x x 3 t2 3 . 2 t 4 Phương trình thành t t 12 0 . 0,25 t 3 Với t 4 thì x x 3 4 x 3 x 4 (vô nghiệm do x 3 vế phải 0,25 luôn âm). 3 Với t 3 thì (2,0 3 x 3 3 x 3 điểm) x x 3 3 x 3 3 x x 1. 2 x 1 0,25 x 3 9 6x x x 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1. b) Cho phương trình (ẩn x) x4 2mx2 4 0. Tìm giá trị của m để phương trình 4 4 4 4 1,0 đã cho có bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 32. Đặt t x2 , t 0. Phương trình đã cho trở thành t 2 2mt 4 0 (2) . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm 0,25 dương phân biệt hay Trang 2/5
4. ' m2 4 0 t1 t 2 2m 0 m 2 * . t1t 2 4 0 Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là x1 t1 , x2 t1 , x3 t 2 , x4 t 2 . Ta có: 0,25 x4 x4 x4 x4 2 t 2 t 2 2 t t 2 – 2t t 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 2 2m 2 2.4 8m2 16. 0,25 Từ giả thiết suy ra: 8m 2 16 32 m 6. Giá trị m 6 loại do không thỏa mãn điều kiện * . 0,25 Vậy m 6 . Cho đường tròn O và điểm A cố định thuộc O . Trên tiếp tuyến của O tại A, lấy điểm M cố định (M khác A) .Kẻ đường thẳng dđi qua M cắt O tại hai điểm phân biệt B và C (C ở giữa B và M, d không đi qua tâm 0,75 O). Gọi I là trung điểm của đoạn BC. a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, I cùng thuộc một đường tròn. H I là trung điểm của BC nên OI  BC. 0,25 A AM là tiếp tuyến của O tại A nên 0,25 I M AM  OA . B C 4 O (3,0 · · 0 điểm) Suy ra OIM OAM 90 , suy ra bốn điểm O, A, I, M cùng thuộc đường 0,25 tròn đường kính OM . D b) Vẽ đường kính AD của O . Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng ID tại H. Chứng minh AH 2OI và H là trực tâm 1,25 của tam giác ABC . Do HA  BC nên AH//OI. 0,25 Mặt khác O là trung điểm của AD nên OI là đường trung bình của tam giác DAH 0,25 hay AH 2OI . Do I là trung điểm của BC và DH nên tứ giác BDCH là hình bình hành. 0,25 Suy ra CH//BD. Mặt khác AB  BD (AD là đường kính), suy ra CH  AB . 0,25 Tam giác ABC có AH  BC và CH  AB nên H là trực tâm của tam giác ABC. 0,25 Trang 3/5
5. c) Khi đường thẳng d thay đổi, chứng minh H luôn nằm trên một đường tròn cố 1,0 định. N H A I C B M O D Dựng điểm N sao cho M là trung điểm DN, khi đó N cố định. 0,25 Do I, M lần lượt là trung điểm DH, DN nên OI, IM lần lượt là các đường trung bình 0,25 của tam giác DAH, DHN. AH//OI 0 Suy ra AH  NH A· HN 90 . 0,25 NH//MI Vậy H luôn nằm trên đường tròn đường kính AN cố định. 0,25 2019 2020 a) Giải phương trình x 2019 x 2020 1. 1,0 + Với x 2019 hoặc x 2020 thì phương trình thỏa mãn nên x 2019, x 2020 là 0,25 nghiệm của phương trình. + Với x 2019 thì x 2019 >0 và x 2020 1 nên VT 1. 0,25 Suy ra x 2019 không thỏa mãn phương trình. + Với x 2020 thì x 2019 1 và x – 2020 0 nên VT 1. 0,25 Suy ra x 2020 không thỏa mãn phương trình. + Với 2019 x 2020 thì 0 x 2019 1 và 1 x – 2020 0 nên x 2019 2019 x 2019 x 2019 5 x 2020 2020 x 2020 2020 – x (2,0 0,25 điểm) Do đó VT x – 2019 2020 – x 1. Suy ra phương trình vô nghiệm khi 2019 x 2020. Vậy phương trình có hai nghiệm x 2019, x 2020. b) Trên trục số, mỗi điểm biểu diễn số nguyên được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (không tô màu các điểm khác). Chứng minh rằng tồn tại hai điểm 1,0 phân biệt và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có cùng màu. Ta chọn ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số nguyên 2a, 2b, 2c (a, b, c là các số nguyên phân biệt). Khi đó tồn tại hai trong ba điểm này có cùng màu, không mất tính tổng quát giả sử 0,25 hai điểm này là A và B có cùng màu đỏ. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I biểu diễn số a b . Trang 4/5
6. * Nếu I được tô màu đỏ thì I, A, B là ba điểm cần tìm. đỏ đỏ đỏ A I B * Nếu I được tô màu xanh ta chọn điểm D sao cho B là trung điểm của AD. Khi đó D biểu diễn số 4b 2a . + Nếu D được tô màu đỏ thì A, B, D là ba điểm cần tìm. 0,25 đỏ xanh đỏ đỏ A I B D + Nếu D được tô màu xanh thì ta lấy E sao cho A là trung điểm BE. Khi đó E biểu diễn số 4a 2b . 0,25 - Nếu E được tô màu đỏ thì E, A, B là ba điểm cần tìm. đỏ đỏ xanh đỏ xanh E A I B D - Nếu E được tô màu xanh thì E, I, D là ba điểm cần tìm. 0,25 xanh đỏ xanh đỏ xanh E A I B D Chú ý: - Học sinh làm cách khác đáp án nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài chấm điểm lẻ đến 0,25 Hết Trang 5/5