›
›
›

Bài tập Đại số 10 - Cơ bản & nâng cao

pdf 22 trang mainguyen 5180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số 10 - Cơ bản & nâng cao", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_dai_so_10_co_ban_nang_cao.pdf

Nội dung text: Bài tập Đại số 10 - Cơ bản & nâng cao

  1. - 42 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác °. cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 2 2 2 ±. cos A + cos B + cos C = 1 – 2cosAcosBcosC. Vũ Mạnh Hùng A B−C B C−A C A−B ². cos 2 cos 2 + cos 2 cos 2 + cos 2 cos 2 = sinA + sinB + sinC. sin A++ sin B sin C A Β ³. = cot cot . sin A+− sin B sin C 2 2 sin B+ sin C Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu và chỉ nếu sinA = . cos B+ cos C Chứng minh biểu thức sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) không phụ thuộc vào α. o o o o Chứng minh: ¬. sin84 sin24 sin48 sin12 = . 1sin25o −. sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = . 2 sin 5o Bài Tập ®. sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α. ¯. 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α. ΔABC có 4A = 2B = C. Chứng minh rằng: 111 2 2 2 ¬. =+ −. cos A + cos B + cos C = . abc Chứng minh mệnh đề sau: «Điều kiện cần và đủ để một trong các góc của o ΔABC bằng 60 là sin3A + sin3B + sin3C = 0». 10 Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều nếu các góc của nó thoả: ¬. sin  sin  sin  = . −. cosAcosBcosC = sin  sin  sin  . Chứng minh rằng ΔABC cân nếu các góc của nó thoả hệ thức: 2 2 2 AB+ tan A + tan B = 2tan . 2 Chứng minh rằng ΔABC vuông hoặc cân nếu: acosB – bcosA = asinA – bsinB trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C. Tính số đo góc C của ΔABC biết sinA + sinB + sinC – 2sin  sin  = 2sin  . Tìm các góc của ΔABC nếu: sinA + sinB – cosC = . Nếu A, B, C là 3 góc của ΔABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3cosA + 3(cosB + cosC). Cơ Bản & Nâng Cao 6 -09/2006
  2. Vũ Mạnh Hùng - 41 - 11 8cos2 2α ´. − = 2. !0. tanα + cotα + tan3α + cot3α = . sin18oo cos36 sin 6α sin 2α− sin 3 α+ sin 4 α sin 2α+ sin 5 α− sin 3 α !1. = tan3α. !2. = 2sinα. cos 2α− cos3 α+ cos 4 α cosα+ 1 − 2sin2 2 α cos6α− cos7 α− cos8 α+ cos9 α !3. = cot . . . sin 6α− sin 7 α− sin8 α+ sin 9 α 2sin 2α+ sin 4 α cot22αα− cot 3 !4. = tan2αcosα. !5. 22= 8cos2 cosα. 2 3α 2(cosα+ cos3 α ) 1cot+ 2 cos 28oo cos56 cos 2 oo cos 4 3 sin 38 o !6. += . sin 2oooo sin 28 4sin 2 sin 28 !7. 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α. 2 2 2 !8. (cosα – cosβ) – (sinα – sinβ) = – 4sin cos(α + β). Đơn giản biểu thức: sinα+ sin 3 α cos 4α− cos 2 α cos mα− cos n α ¬. . −. . ®. . cosα+ cos3 α sin 2α+ sin 4 α sin nα− sin m α cos3α+ cos 4 α+ cos5 α 2(sin 2α+ 2cos2 α− 1) ¯. . °. . sin 3α+ sin 4 α+ sin 5 α cosα− sin α− cos3 α+ sin 3 α 1+α+α+α cos cos 2 cos3 sin 2α+ cos 2 α− cos6 α− sin 6 α ±. . ². . cosα+ 2cos2 α− 1 sin 4α+ 2sin2 2 α− 1 sin(2α+ 2 π ) + 2sin(4 α−π ) + sin(6 α+ 4 π ) ³. . cos(6π− 2 α ) + 2cos(4 α−π ) + cos(6 α− 4 π ) sin(2α+β+ ) sin(2 α−β− ) cos( − 2 α ) ´. . cos(2α+β ) + cos(2 α−β ) − sin( + 2 α ) Biến đổi thành tích: 2 ¬. 3 – 4cos α. −. 1 + sin – 1 – sin (0 Chứng minh trong ΔABC: ¬. sinA + sinB + sinC = 4cos  cos  cos  . −. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC. ®. sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC. ¯. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin  sin  sin  .
  3. - 40 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác Chương I Chứng minh: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP o o o o o o o o ¬. sin5 sin55 sin65 = sin15 . −. cos5 cos55 cos65 = cos15 . ŒA Mệnh Đề Mệnh đề là một câu có đặc tính đúng hay sai và phải thoả 2 điều kiện: ®. cos( – )sin( – )sin = sin .. . Mỗi mệnh đề đều phải hoặc đúng, hoặc sai. sin 3α o 1 Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. ¯. 4cos( – α)sin( – α) = . °. 1 – 2sin50 = o . sin α 2cos160 + Phủ định của mệnh đề A, kí hiệu A : sin(80o +α 4 ) Nếu A đúng thì A sai, nếu A sai thì A đúng. ±. = cos(40o + 2α). 4sin(20oo+α )sin(70 −α ) + Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề Nếu A thì B gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A ⇒ B: A ⇒ B sai nếu A đúng, B sai và đúng trong các trường hợp còn lại. 2 ². sin α + cos( – α)cos( + α) = . B ⇒ A gọi là mệnh đề đảo của A ⇒ B. 2 2 2 + Mệnh đề tương đương: Mệnh đề A nếu và chỉ nếu B gọi là mệnh đề tương ³. sin 2α – cos( – 2α)sin(2α – ) = . ´. sinαsin3α = sin 2α – sin α.   !0. cos2(45o – α) – cos2(60o + α) – cos75osin(75o – 2α) = sin2α. đương, kí hiệu A  B: !1. cos2αcosα – sin4αsinα – cos3αcos2α = 0. A  B đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai. Đơn giản biểu thức: ƒ Mệnh đề "A hoặc B" được kí hiệu là A B, mệnh đề này sai nếu A và B đều sai, các trường hợp còn lại đều đúng. ¬. sinαsin(x−α) + sin2( −α). ®. sin22α + sin2β + cos(2α+β)cos(2α–β).  ƒ Mệnh đề "A và B" được kí hiệu là A B, mệnh đề này đúng nếu A và B đều đúng, 2 o 2 o o o −. sin (45 + α) – sin (30 – α) – sin15 cos(15 + 2α). các trường hợp còn lại đều sai. 3 3 3 3 ¯. sin αcos3α + cos αsin3α. °. sin3αsin α + cos3αcos α. ‚ Phủ định của mệnh đề A B là mệnh đề A B : A B = A B Chứng minh rằng biểu thức: ‚ Phủ định của mệnh đề A B là mệnh đề A B : A B = A B 2 2 A = cos (x – a) + sin (x – b) – 2cos(x – a)sin(x – b)sin(a – b) ‚ Phủ định của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề A B : A ⇒ B = A B độc lập đối với x. + Mệnh đề chứa biến: là 1 câu chứa một hay nhiều yếu tố không xác định và câu đó µ Công thức biến đổi tổng thành tích: trở thành 1 mệnh đề khi thay các yếu tố không xác định bằng những yếu tố xác định, yếu tố không xác định gọi là biến. Nếu sinα + sinβ = – , cosα + cosβ = – và Tính cos nếu sinα + sinβ = –  , tan = , . . Tính giá trị biểu thức nếu sinα – cosα = m. + Điều kiện cần, điều kiện đủ: cos 2α+ 1 − 2sin2 4 α * Nếu mệnh đề A  B là 1 định lí thì ta nói: Chứng minh: "A là điều kiện đủ để có B". o o o ¬. sin495 – sin795 + sin1095 = 0. "B là điều kiện cần để có A". −. cosα + cos2α + cos6α + cos7α = 4cos  cos . . cos4α. Lúc đó ta có thể phát biểu định lí A  B dưới dạng: "Để có B điều kiện đủ là A" hoặc "Điều kiện đủ để có B là A". ®. sin9α + sin10α + sin11α + sin12α = 4cos  cosαsin .   . "Để có A điều kiện cần là B" hoặc "Điều kiện cần để có A là B". ¯. cos2α – cos3α – cos4α + cos5α = – 4sin  sinαcos . . . * Nếu A  B là một định lí và B  A cũng là một định lí thì B  A gọi là định lí đảo của định lí A  B, lúc đó A  B gọi là định lí thuận, trong trường hợp này A  B đúng °. sin14α – sin5α – sin16α + sin7α = 4sin .. sinαsin .  . và ta có thể nói: ±. cosα + sinα + cos3α + sin3α = 22 cosαsin( + 2α). "A là điều kiện cần và đủ để có B" o o o o o "B là điều kiện cần và đủ để có A". ². cos36 – sin18 = sin30 . ³. cot70 + 4cos70 = 3.
  4. -2- Mệnh Đề - Tập Hợp Vũ Mạnh Hùng - 39 - 1/ Câu nào trong các câu sau là mệnh đề. Xét tính đúng sai của các mệnh đề và 4 4 6 6 4 o !0. 4(sin x + cos x) – 4(sin x + cos x) – 1. !2. 32cos 15  – 10 – 83. tìm mệnh đề phủ định của chúng: 2 2 2 2 !1. cosαtan α – sin α + sinαcot α – cos α . ¬. 4.2 = 6. −. y + 5 > 2. ®. Bạn hãy ngồi xuống. ¯. 3 + 2. Chứng minh: °. 23 là số nguyên tố. ±. 2x + 4y = 7. ². Bạn bao nhiêu tuổi? 1cossinα+ α 3+α+α 4cos 2 cos 4 ³. 12 chia hết cho 3 và 7. ´. Điểm A nằm trên đường thẳng AB. ¬. tan2α + = . −. = cot4α. cos 2αα−α cos sin 3−α+α 4cos 2 cos 4 2/ Đặt các kí hiệu , ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng:  ®. cos2α – sin22α = cos2αcos2α – 2sin2αcos2α. ¬. x + 2 > 3. −. a + 3 = 3 + a. ®. 15 là bội số của x. 4 4 ¯. 3 – 4cos2α + cos4α = 8sin α. °. cos α = cos4α + cos2α + . ¯. (x – 2)2 > – 1. °. x + 1 > y. ±. (a – b)(a + b) = a2 – b2.   ². (a – b)2 = a2 – b2. ³. x2 > 0. ´. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. ±. 8cos %cos cos  = 1. ². cos cos  = . 2 2 o o o o o !0. (x – 2) = 1. !1. (x + y)z = xz + yz. !2. x – 5x + 6 = 0. ³. sin18 sin54 = . ´. cos260 sin130 cos160 = . 3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: o !0. cos cos cos% cos  cos = . !1. tan142 30 = 2+2 – 3 – 6. ¬. 2 6. −. a là số chẵn; a là số lẻ. ®. x là số âm; x là số dương. 4 cos2αα+α cot sin2 ¯. Đường thẳng a cắt đ.thẳng b; Đường thẳng a song song với đ.thẳng b. 2 tan3α−α 3 tan 8 8 °. Có 1 số là ước số của 15; Có 1 số không là ước số của 15. @1. = . @2. sin α + cos α = cos8α + cos4α +  . tan α 13tan−α2 ±. Mọi hình thang đều nội tiếp được đường tròn; @3. 8 + 4tan + 2tan + tan = cot . Mọi hình thang đều không nội tiếp được đường tròn.     cos(3π− 2 α ) sin(+α 3 ) 5/ Điền vào chỗ trống liên từ "và", "hoặc" để được mệnh đề đúng: @4. = tan(α – . ). @5. = cot( + ). 2 5π .. .. .. ¬. π 5. −. ab = 0 khi a = 0 b = 0. 2sin (4 +α ) 1sin(3−α−π ) ®. ab ≠ 0 khi a ≠ 0 b ≠ 0. ¯. ab > 0 khi a > 0 b > 0 a Tính: ¬. Để tích của 2 số là chẵn, là một trong hai số đó chẵn. ¬. sin cos nếu sinx = (0 0 là x ≠ 0. ¯. sin(α + β)sin(α − β) nếu sinα = – , cosβ = – . ±. Để 1 tứ giác là hình vuông, là tất cả các góc của nó đều vuông. Tính: 7/ Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm điều kiện cần: ¬. cos   – cos . −. sin  sin . ¬. Nếu 2 cung trên 1 đường tròn bằng nhau thì 2 dây tương ứng bằng nhau 2 2 2 o o o o ®. sin  + sin  + sin %. ¯. sin20 sin40 sin60 sin80 . −. Nếu tứ giác T là một h.bình hành thì nó có 2 cạnh đối diện bằng nhau. o o o o °. tan20 tan40 tan60 tan80 . ±. sin sin sin sin  sin . ®. Nếu điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy thì M nằm trên đường phân 1 o sin 7α giác của xOy. ². – 2sin70 . ³. – 2(cos2α + cos4α + cos6α).  2sin10o sin α
  5. - 38 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác Vũ Mạnh Hùng -3- Tìm góc α thoả  Tìm x nếu biết tanα = x + 1, tanβ = x – 1, tan(2α + 2β) = %. ¬. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất 1 cạnh bằng nhau. Tìm m, M sao cho ∀α, m ≤ sinα.cosα.cos2α ≤ M và hiệu M – m nhỏ nhất −. Nếu tứ giác T là một h.thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau. Chứng minh nếu cosα = , tanβ = với 0 Nếu a, b là 2 góc nhọn thoả . Chứng minh a + 2b =  ¬. Để 2 tam giác là bằng nhau, điều kiện cần và đủ là các góc tương ứng {3sin2a−= 2sin2b 0 của chúng bằng nhau. pcos33α− cos3 α psin α+ sin3 α −. Để tứ giác T là hình bình hành, điều kiện đủ là nó có 2 cạnh đối diện Chứng minh biểu thức + (p: hằng số) cosαα sin bằng nhau. không phụ thuộc vào α. ®. Điều kiện đủ để số a chia hết cho 5 là a tận cùng bằng chữ số 0 hoặc 5. Định m để biểu thức sau không phụ thuộc vào α: Các mệnh đề sau đúng hay sai, giải thích: 2 ¬. cos2α – msin2α + 3cos2α + 1. ¬. Mọi số nguyên tố đều lẻ. −. x, x > x. 6 6 4 4 2 2 −. sin α + cos α + m(sin α + cos α) + (m + 1)sin 2α. ®. n, n + n + 41 nguyên tố. ¯. Nếu xy > 4 thì x > 2 và y > 2. 2 2 2 ®. m(2msinα – 1) – 4(m – 1)sinαsin + 2(m + 1)cos α – 2sinα. °. Một tổng bất kì chia hết cho 3 thì từng số hạng của tổng chia hết cho 3. ¯. m(sin8α + cos8α) + (2m – 1)(cos4α – sin4α) + cos2α + 4. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phản chứng: 2 2 6 6 4 4 2 ¬. Nếu ab lẻ thì a và b đều lẻ. −. Nếu a = b thì a = b (a, b > 0). Định p, q để biểu thức p(sin α + cos α) – q(sin α + cos α) + sin 2α ®. Nếu x2 + y2 = 0 thì x = y = 0. ¯. Nếu x ≠ –1 và y ≠ – 1 thì x+y+xy ≠ –1 không phụ thuộc α. °. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ Chứng minh nếu tanα.tanβ = 1 thì sin2α = sin2β và cos2α = − cos2β. ba thì chúng song song với nhau. Chứng minh nếu A và B là 2 góc nhọn của 1 tam giác vuông thì: sin2A + sin2B = 4sinA.sinB. ±. Nếu a + b Chứng minh rằng trong ΔABC: ². Nếu a1a2  2(b1 + b2) thì ít nhất 1 trong 2 phương trình x + a1x + b1= 0, 2 111 A B C A B C x + a2x + b2 = 0 có nghiệm. ++= (tan + tan + tan + cot cot cot ). sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 Phân tích các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng: ¬. 2 là số nguyên chẵn. −. – 5 là số dương hoặc là số nguyên. Tính không dùng bảng: ¬. cos cos% cos. 2 o 2 o 2 o 4 4 4 4 ®. 15 và 17 là hai số lẻ. ¯. 2 là số dương còn 2 là số vô tỉ. −. sin 70 sin 50 sin 10 . ®. sin  + sin  + cos  + cos . Đơn giản biểu thức: °. 2 > 5 hoặc 2 2 và y > 2 thì xy > 4. 4 2 2 4 ´. 5sin 2x – 4sin 2xcos 2x – cos 2x + 3cos4x. @0. Nếu một số tận cùng bằng 5 hoặc 0 thì nó chia hết cho 5.
  6. -4- Mệnh Đề - Tập Hợp Vũ Mạnh Hùng - 37 - Phủ định các mệnh đề (mệnh đề chứa biến) sau: sin(α−β ).sin( α+β ) 2 2 ¬. ΔABC vuông cân. −. Số a lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. ®. 4 4 thì x > 2 và y > 2. ³. Nếu a hoặc b chẵn thì ab chẵn. °. tan(α – β).tanα.tanβ = tanα – tanβ – tan(α – β). 2cos(β−α ) sin2 (α−β ) ´. Nếu số a chia hết cho 5 thì nó tận cùng bằng 0 hoặc 5. ±. cot2α + cot2β – + 2 = . !0. Nếu tứ giác T là hình bình hành và có 2 đường chéo bằng nhau thì nó là sinαβ sin sin22αβ .sin hình chữ nhật. ². tan6α – tan4α – tan2α = tan6α.tan4α.tan2α. ŒB o o o o Tập Hợp ³. tan20 + tan40 + 3tan20 .tan40 = 3. + Tập hợp con: A  B  x, x  A  x  B. ´. tan830o + tan770o + tan740o = tan470o.tan410o.tan380o. Ta thường gặp một số tập con của tập sau đây: !0. cot80o.cot70o + cot70o.cot30o + cot30o.cot80o = 1. ‘ (a;b) = {x  / a b},      Đơn giản biểu thức: Như vậy = (–;+), sin(α+β ) + sin( α−β ) cos(45oo−α ) − cos(45 +α ) + Tập hợp bằng nhau: A = B  A  B và B  A. ¬. . −. . cos(α+β ) − cos( α−β ) sin(45oo+α ) − sin(45 −α ) + Phép giao: A  B = {x / x  A và x  B}. + Phép hợp: A  B = {x / x  A hoặc x  B}. ®. sin(2x – π)cos(x – 3π) + sin(2x – )cos(x + ). + Hiệu của 2 tập hợp: A \ B = {x / x  A và x  B}. Tìm điều kiện của α và β để sin(α + β) = 3sin(α − β) ⇒ tanα = 2tanβ. Chứng minh nếu sin(2α + β) = 2sinβ thì tan(α + β) = 3tanα. + Phần bù: Nếu A  E, EA = E \ A.  Tính A = a.sin2(α + β) + b.sin(α + β)cos(α + β) + c.cos2(α + β) biết tanα Các mệnh đề sau đúng hay sai: và tanβ là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0. ¬. a = {a}. −. a ∈ {a}. ®. {a} ⊂ {a}. ¯. ∅ ⊂ ∅. Í Công thức nhân °. ∅ ∈ ∅. ±. ∅ ∈ {∅}. ². ∅ = {0}. ³. ∅ ∈ {0}. Tính: ´. ∅ = {∅}. !0. {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2, 3}}. ¬. sin2α nếu sinα − cosα = m. −. sinα nếu sin + cos = . !1. {1, 2} ⊂ {1, 2, {1, 2, 3}}. !2. {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2}}. ®. tan2α nếu cos(α − 90o) = 0,2 (90o Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập ∅: o o o 2 ¯. cot2α nếu sin(α − 90 ) = − (270 Chứng minh sinα và tan có cùng dấu ∀α ≠ kπ (k ∈ ). ±. Tập các số nguyên tố lớn hơn 7 và nhỏ hơn 11. Tìm tan( – 2α) nếu sinα = và α không thuộc về cung phần tư I. 2   n1− o o Cho A = { x / x = , n ∈ }. Số nào trong các số 0, , , ,  , 4 là Cho sinx = 2 – 3 với 0 < x < 90 . Tính cos 2x và suy ra giá trị của x. 2 Trong trường hợp 90o < x < 180o, tìm giá trị của x. phần tử của A.
  7. - 36 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác Vũ Mạnh Hùng -5- Ì Công thức cộng Liệt kê các phần tử của tập hợp: o o o Tính: ¬. sin(60 − α) nếu tanα = – , 270 Tìm tanβ nếu cot(α + β) = 2 và tanα = –3. 2 2 !0. J = {x ∈ / (2x – x )(2x – 3x – 2) = 0}. Tìm α + β nếu cotα = 4, cotβ =  và 0 Chứng minh nếu tanα = 5, cotβ = và 0 Chứng minh nếu sinα =  , sinβ =  và α, β là góc nhọn thì α + β = 60 . !4. N = {(x;y) / 7x + 4y = 100, x, y ∈ } Tìm x nếu biết tanα =   , tanβ =   và α + β = . 2 Cho M = {2, 3, 4, 5, 6, 61}. Hãy xác định các tập hợp sau bằng phương Tìm α + β nếu tanα và tanβ là nghiệm của phương trình 6x – 5x + 1 = 0. pháp liệt kê: Biết α + β = . Tính (1 + tanα)(1 + tanβ). ¬. A = {x ∈ M / 2x ∈ M}. −. B = {x ∈ M / x – 1 ∈ M và x + 1 ∈ M}. Nếu A, B, C là các góc của 1 tam giác với C tù. Ch. minh tanA.tanB Nếu A, B là các góc của 1 tam giác. Chứng minh nếu = thì ¯. D = {x ∈ M / ∃y ∈ M, x + y = 6}. cos B sin B °. E = {x ∈ M / y ∈ M, y ≠ x, khi chia x cho y còn dư 1}. tam giác đó cân. Cho X = {x / x = , n ∈ }. Xác định tập hợp A = {x ∈ X / x ∈ } bằng Giả sử A, B, C là các góc của 1 tam giác. Chứng minh :    sin C phương pháp liệt kê. ¬. sinA.sinB – cosC = cosA.cosB. −. = tanA + tanB. cos A.cos B Cho B = {– 35, – 32 , – 21, – 4, 0, , 3, 4, 8, 9, 16, 21}. Tìm các tập con ®. tan tan + tan tan + tan tan = 1. của B có phần tử là số tự nhiên, số nguyên, số lẻ, số âm, số là bội số của 6.       Liệt kê các tập hợp con của của các tập hợp sau: ¯. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC. ¬. A = {1}. −. B = {x / x3 + x2 – 6x = 0}. ®. C = {x ∈ / x2 – 3 = 0}. °. cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1.  Cho A = {x ∈ / 0 Xét quan hệ "⊂" hay "=" giữa các tập hợp sau: sin A sin B sin C ³. 2 + 2 + 2 = 2. ¬. A = {x ∈ / x chẵn}, B = {x ∈ / x chia hết cho 12}. B C A C AB   cos22 cos cos22 cos cos22 cos 2 −. A = {x ∈ / x – 3x + 2 = 0}, B = {x ∈ / x – 2 = 0}. Chứng minh: ®. A = {x / x2 + 1 = 0}, B = {x / x2 – 4 = 0}. sin(α+β ) − 2sin α cos β ¬. = tan(β – α). ¯. A = {x ∈ / (x2 – 4)(x – x2) = 0}, 2sinαβ+α+β sin cos( )  2 4 2 oo o o B = {x ∈  / (x – 3x + 2)(x – 3x ) = 0}. cos63 cos3− cos87 cos 27 o −. = – tan24 . °. A = {x ∈ / x 0}, B = {x ∈ / x2 – πx = 0}. cos132oo cos72− cos 42 oo cos18     2 2 2 ±. A = {x ∈ / (x + 4)(x – 3x – 4) = 0}, B = {x ∈  / 2x – 5 = 0}.
  8. -6- Mệnh Đề - Tập Hợp Vũ Mạnh Hùng - 35 - 2 3 ². A = {x ∈  / x Có bao nhiêu tập hợp X thoả điều kiện: {1, 2, 3} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ®. tanα =  (0 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, x}. Tìm x để B ⊂ A. °. cosα =  . ±. sinα = –  . ². tanα = . ³. cotα = %. o o Cho A = {2, 5}, B = {5, x}, C = {x, y, 5}. Tìm x, y để A = B = C. Tính tanα + cotα nếu cosα = –  (90 Cho A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, x}. Tìm x để A = B. Chứng minh: Xác định tập hợp X biết {1, 3, 5, 7} và {3, 5, 7, 9} là các tập hợp con của DD 1−+α+α+ tan(90 ) tan(180 ) 1 X và X là tập hợp con của {1, 3, 5, 7, 9}. ¬. DD= . Cho đường tròn tâm O và điểm A. Một cát tuyến di động qua A cắt đường 1+−α−α− cot(360 ) cot(270 ) 1 tròn tại B và C. Gọi Δ là tập hợp các trung điểm của đoạn BC và C là tập hợp cot(270DD−α ) cot2 (360 −α ) − 1 −. .1= . các điểm trên đường tròn đường kính OA. Chứng minh Δ ⊂ C. Có thể xảy ra 1−−αα tan2o (180D ) cot(180 + ) trường hợp Δ = C không? D D cos(270−α ) 1 Có bao nhiêu tập con của tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} gồm 2 phần tử. ®. cot(180+α ) − = . 1−−α cos(180D ) sin α Cho A = {–3, –2, –1, 0, 1}, B = {–1, 0, 1, 2, 3}, C = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} 3 tan(−α ) + tan ( +α ) ¬. Tìm A  B, A  B, A  C, A  C, B  C. ¯. = cot4α. cot3 (5π −α ) + cot( +α ) −. Tìm A  , B  , A  , B  , (A  B)  , (A  B)  . 2  Cho X = {x / x2 + x – 20 = 0}, Y = {x / x2 + x – 12 = 0}. Liệt kê các phần Đơn giản biểu thức: tử của X Y, X Y, X \ Y, Y \ X. (cot44ooo+ tan226 )cos406   ¬. – cot72o.cot18o. 2 2 o Cho hai tập hợp: A = {x ∈ / x + x – 12 = 0 và 2x – 7x + 3 = 0} và cos316 2 2 22DD B = {x ∈ / 3x – 13x + 12 = 0 hoặc x – 3x = 0}. cos (90−α ) + cot (90 +α ) + 1 −. 22DD. ¬. Liệt kê các phần tử của A và B. sin (270−α ) + tan (270 +α ) + 1 DD −. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A \ B, B \ A. sin22 (90+α ) − cos (90 −α ) tan(− α) 1tan(−−2 πα) ®. 22DD. ¯. 2 . . Cho A = {x ∈  / x là ước số của 18}, B = {x ∈  / x là ước số của 24}. tan (90+α ) − cot (90 −α ) 1tan(−+ α) tan(πα+ ) Xác định A \ B, A \ (A \ B). cos22α+ 2sin ( π−α ) cos 2 α+ 4sin α+ sin 2 ( π+α ) Cho X là tập hợp các điểm cách đều 2 điểm cố định A và B, Y là tập hợp °. + . cos3 (4π−α ) cosαα+ (4sin 1) các điểm nhìn A và B dưới 1 góc vuông. Xác định X  Y. cos(90oo−+α)tan(90 −−α)cot(180 o +α) Cho A = {1, 2}, B = {a, 5}, a ∈ . Xác định A  B, A  B. ±. . sin(90oo+−α).cot(270 α) Cho A = [–2;8), B = [5;+). Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A. Tính: Cho tập hợp A thoả điều kiện: 2 2 2 2 ¬. sin  + cos .. + sin .. + cos .. . −. cos0 + cos  + cos. . + + cos.. . A  {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4} và A  {1, 2, 3} = {1, 2}. ®. cos95o + cos94o + cos93o + cos85o + cos86o + cos87o. Xác định tập hợp A. ¯. tan1o.tan2o tan89o. Cho A = {1, 2}, E = {1, 2, 4, 6}. Tìm các tập hợp B ⊂ E sao cho AB = E. 4 4 4 4 Cho 3sin x + 2cos x =  . Tính A = 2sin x+3cos x. B. Công Thức Lượng giác
  9. - 34 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác Vũ Mạnh Hùng -7- sinα+ cos α tan 2α+ cot3 β tan 2 α @3. 1 + tanα + tan2α + tan3α = . @5. = . Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8}. Tìm tất cả các tập X biết X ⊂ cos3 α tan3βα +cot2 tan 3 β A và X ⊂ B. 2/ Đơn giản biểu thức: Cho A = {x ∈  / x là bội số của 2}, B = {x ∈  / x là bội số của 3} và C 2 2 2 2 2 ¬. cos α(1 + sin α.tan α + cos α.tan α). = {x ∈  / x là bội số của 6}. Chứng minh A  B = C. 2 ⎛⎞⎛⎞11 2 2 4tan α Cho 3 tập hợp A = {a, c, f}, B = {b, c, f, g, h}, C = {b, d, f, h}. −. ⎜⎟⎜⎟−αcot +α cot . °. 1 – cos α + 3sin α – 2 . ⎝⎠⎝⎠sinαα sin 1tan+α ¬. Xác định A  B, B  C, C \ A. −. Viết các tập hợp con của A \ C. 22 ⎛⎞⎛⎞11 cosα− cot α+ 1 ®. Kiểm chứng rằng A  (B  C) = (A  B)  (A  C). ®. cosα ⎜⎟⎜⎟1tan1tan++α−+α. ±. 22. ⎝⎠⎝⎠cosαα cos sinα+ tan α− 1 ¯. So sánh (A  B) \ (A  B) với (A \ B)  (B \ A). 22 2 2 2 ⎛⎞⎛⎞11cos α sin α Cho 3 tập hợp: A = {x ∈ / (x – 1)(x – x – 6) = 0}, B = {x ∈  / x Cho X = {(x;y) / 2x – 3y = 7}, Y = {(x;y) / 3x + 4y = 2}. Tìm X Y. 2 2 2 2  !3. cosαtan α – sin α + sinαcot α – cos α (π Cho các tập hợp: E = {x ∈  / x Cho E = [–10;4], A = [–5;1], B = [–3;2]. ¯. 2(sin4α + cos4α + sin2αcos2α)2 – (sin8α + cos8α) . Tìm EA, EB, E(A  B), EA  EB, E(A  B), EA  EB. 2222 2         tanα− cos α cot α− sin α 1 6 3tan α °. 22+ . !0. 6 – tan α – 2 . Cho A = (–1;3] và B = [m;+). Tìm A  B, A  B. sinαα cos cos α cos α ±. 3(sin4α + cos4α) – 2(sin6α + cos6α). Cho A = (–;2m – 3) và B = (m + 1; +). Tìm A  B, A  B. ². (sin4α + cos4α – 1)(tan2α + cot2α + 2). Cho 2 khoảng A = (m;m + 1) và B = (–2;1). Tìm m để A  B là một ³. 3(sin8α – cos8α) + 4(cos6α – 2sin6α) + 6sin4α. khoảng. Hãy xác định khoảng đó. 8 8 6 6 4 4/ Định p, q để biểu thức A = p(cos x – sin x) + 4(cos x – 2sin x) + qsin x Cho A = {x / x = 4n + 2, n  }, B = {x / x = 3n, n  }. Tìm A  B. không phụ thuộc vào x. 4 4 7 7 ŒCSố gần đúng và sai số 5/ ¬. Biết sinα + cosα = a. Tìm sinα – cosα, cos α + sin α, cos α + sin α 3 Một hình lập phương có thể tích là V = 180,57  0,05 (cm ). Xác định các −. Biết tanα + cotα = m. Tìm tan2α + cot2α, tan3α + cot3α. chữ số chắc. Viết thể tích gần đúng dưới dạng chuẩn. 6/ Cho sinα + tanα = , tanα – sinα =  . Tính cosα. Một tam giác có 3 cạnh đo được như sau: 8cos33 x−+ 2sin x cosx 7/ Cho tanx = 2. Tính: . a = 6,3  0,1 (cm); b = 10  0,2 (cm); c = 15  0,1 (cm). 2cosx− sin3 x Tính chu vi tam giác và viết kết quả gần đúng dưới dạng chuẩn.
  10. Vũ Mạnh Hùng - 33 - Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT & BẬC HAI ƒ cosα + cosβ = 2coscos ƒ cosα – cosβ = – 2sinsin ´. Tập xác định của hàm số ƒ sinα + sinβ = 2sincos ƒ sinα – sinβ = 2cossin Hàm số y = P(x) y = P(x):Q(x) y = P(x) y = P(x): Q(x) y = P(x)          2 2 ƒ 1 + cosα = 2cos ƒ 1 – cosα = 2sin Tập xác định Q(x) ≠ 0 P(x) ≥ 0 Q(x) > 0 2 2 1/ Tìm tập xác định của các hàm số: ƒ 1 + sinα = 2cos ( – ) ƒ 1 – sinα = 2sin ( – ) 2 3 2 2 3 2 ¬. y = x  – x . −. y = 9 – x + x  – 4. ®. y = x  – x . ƒ sinα + cosα = 2sin(α + ) = 2cos(α – ) x1+ x1+− x3 ƒ sinα – cosα = 2sin(α – ) = – 2cos(α + ) ¯. y = 4 – x2 – . °. y = − .           2 2 x2x3−− x2+ x2x3+− A. Các Hệ Thức Cơ Bản 2x+− 1 3 − 4x x2− 2 1/ Chứng minh: ±. y = . ². y = + x – x . 2 2 2 4 x |x|+ 4 ¬. cos x(2sin x + cos x) = 1 – sin x. −. (cosx + 1 + sinx)(cosx – 1 + sinx) = 2sinxcosx. |x| x1+ 2 2x− 1 ³. y = . ´. y = + x – x. !0. y = . ®. (1 – sinx + cosx)2 = 2(1 – sinx)(1 + cosx). |x−+ 3| |x + 3| |x|− 1 x|x|− 4 ¯. sin2x(1 + cot2x) = 3cos2x(1 + tan2x) – 2. x2x32 ++ x2+ x|x|+ 4 °. cos4x – sin4x = cos2x(1 – tanx)(1 + tanx). !1. y = . !2. y = . !3. y = . 2 |x2 −+− 2x| |x 1| x|x|+ 4 x ±. cos α(2tanα + 1)(tanα + 2) – 5sinαcosα = 2. ². sin3α(1 + cotα) + cos3α(1 + tanα) = sinα + cosα. x12 − 2/ Biện luận theo m tập xác định của hàm số y = . ³. 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) = 1. 22 x2mxm2m3−+−+ 12cosx− 2 12sinx−−2 1tanx 3/ Định m để tập xác định của các hàm số sau là : ´. tanx – cotx = . !0. = . sinxcosx 12sinxcosx1tanx++ x1+ 2x+ 1 44 22 ¬. y = . −. y = . sin α + cos α 1 sin α − tan α 6 2 2 !1. 2 + = . !2. = tan α. xm6 22 22 22 −+ mx+ 4 sin αcos α cos αsin α cos α − cot α x22 − x12 − ®. y = . ¯. y = . 1 1 2 2 !3. (1 + + tanα)(1 – + tanα) = 2tanα. x2mx4++ mx++ 2mx 4 cos α cos α 4/ Xác định a để tập xác định của hàm số y = 2x – a + 2a – 1 – x là một cos33α + sin α sin22αα cos !4. = cosα + sinα. !5. 1 – − = sinαcosα. đoạn có độ dài bằng 1. 1sincos−αα 1cot1tan+α + α 2 cosα tan α 5/ Cho hàm số f(x) = a + 2 – x + . !6. = . !7. tan2α – sin2α = sin4α(1 + tan2α) x2a3−+ (1+α sin )(cot α−α cos ) cos α ¬. Tìm tập xác định của hàm số. 2 ⎛⎞tanα+ cot α 1 sin3 α −. Xác định a để tập xác định của hàm số chứa đoạn [–1;1]. !8. = . !9. = cosα(1 + cosα) ⎜⎟ 6/ Định a để các hàm số sau xác định trên [–1;0): ⎝⎠sinαα +cos sin αα cos tanα− sin α x2a+ 1 44 ¬. y = . −. y = + – x + 2a + 6. ⎛⎞⎛⎞1cos−α 1cos +α 4 sin x+− cos x 1 2 xa1−+ xa− @0. ⎜⎟⎜⎟11++=. @1. 66= . ⎝⎠⎝⎠1cos+α 1cos −αsin2 α sin x+− cos x 1 3 7/ Định a để các hàm số sau xác định ∀x > 2: 1sin−α 1sin +α 2 cos22α − cos β xa− @2. +=. @4. cot2α – cot2β = ¬. y = x – a + 2x – a – 1. −. y = 2x – 3a + 4 + . 22 xa1+− 1sin+α 1sin −α cos α sin αsin β
  11. Vũ Mạnh Hùng - 9 - Chương 6 GÓC LƯỢNG GIÁC & µ. Tính đơn điệu của hàm số: f(x21 )− f(x ) Giả sử x1  x2, xét hiệu số f(x2) – f(x1) suy ra tỉ số , CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC xx21− I . Các hệ thức cơ bản: f(x )− f(x ) + Nếu x , x (a;b), 21> 0: hàm số đồng biến trên (a;b) ƒ cos2α + sin2α = 1 ƒ tanα.cotα = 1 (α ≠ k )  1 2   xx21− sinα 2 1 f(x )− f(x ) ƒ tanα = (α ≠  + kπ) ƒ 1 + tan α = (α   + kπ) + Nếu x , x (a;b), 21 Æ x3mx2 + x3mx2 + 2 2 !3. y = x2 – 2 x . !4. y = 3x2 – x – 2. !5. y = 2 – x. V. Công thức biến đổi:              ¬. Công thức biến đổi tích thành tổng: ·. Hàm số bậc nhất và bậc hai. Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của các hàm số: ƒ cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a – b)] ¬. y = 3x – 2. −. y = 1 – 2x. ®. y = – 3x. ¯. y = (x – 1). ƒ sina.sinb = – [cos(a + b) – cos(a – b)] °. y = (3 – x). ±. y = 2x + x – 2. ². y = |x – 3| + |x + 5|. ƒ sina.cosb = [sin(a + b) + sin(a – b)] ³. y = x1+≥ nux1Æ . ´. y = x2−> nux3Æ . −. Công thức biến đổi tổng thành tích: {53xnux1−<Æ {32xnux3−≤Æ
  12. - 10 - Hàm Số Bậc Nhất & Bậc Hai Vũ Mạnh Hùng - 31 - Tìm a để 3 đường thẳng y = 2x – 1, y = 3 – x, y = ax + 2 đồng qui. 2  Độ lệch chuẩn: s = s Tìm a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b:  Số trung vị của 1 mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc ¬. Đi qua 2 điểm A(–1;3), B(2;1). không tăng), kí hiệu Me, là số đứng giữa dãy nếu N lẻ và là trung bình cộng của 2 số −. Đi qua điểm A(1;3) và song song với đường thẳng y = – 2x + 1. đứng giữa dãy nếu N chẵn.  Mốt của mẫu số liệu cho dưới dạng bảng phân bố tần số, kí hiệu Mo, là giá trị có tần ®. Đi qua điểm B(3;2) và vuông góc với đường thẳng y = x – 3. số lớn nhất (có thể có nhiều mốt). Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của các hàm số: 1/ Điểm trong 1 bài thi của 36 học sinh được ghi như sau: 2 2 2 ¬. y = 2x – x . −. y = x – 3x + . ®. y = 2x – x – 1. 4 15 12 10 10 6 17 8 6 12 11 7 2 2 2 12 5 14 11 7 10 10 17 15 5 4 8 ¯. y = x – 2x + 1. °. y = x + 2x – 3. ±. y = |x – 4x + 3| 2 11 8 10 7 8 11 8 14 10 6 10 10 ². y = – x + 2x + 3. ³. y = x – 1(2x + 1). ¬. Lập bảng phân bố tần số. 2 2 ´. y = x2x3nux1+−Æ Tìm a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax2 + bx + 1: 2/ Cho các số liệu thống kê: ¬. Đi qua 2 điểm M(1;–1), N(2;–3). 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116 112 113 113 114 115 114 116 117 113 115 −. Đi qua điểm A(–2;3) và có trục đối xứng x = . ¬. Lập bảng phân bố tần số - tần suất. −. Vẽ biểu đồ tần số hình cột. ®. Đi qua điểm B(3;1) và đỉnh có tung độ –1. ®. Tìm số trung vị và mốt. ¯. Tìm số trung bình và độ lệch chuẩn. Tìm a, b, c sao cho đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c: 3/ Chiều cao của 500 học sinh trong 1 trường: ¬. Có đỉnh S(3;–1) và đi qua điểm A(6,8). Chiều cao cm [150;154) [154;158) [158;162) [162;166) [166;170] −. Cắt trục hoành tại điểm M(–1;0), cắt trục tung tại điểm N(0;3) và có Tần số 25 50 200 175 50 trục đối xứng là đường thẳng x = 1. ¬. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. −. Vẽ đường gấp khúc tần suất. ®. Đi qua 3 điểm A(2;0), B(1;3), C(–1;–3). ®. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. ¯. Đi qua 2 điểm M(4;7), N(–2;–5) và tiếp xúc với đ.thẳng y = 2x – 10. 4/ Khảo sát dân số 1 thành phố tuỳ theo số tuổi ta có bảng kết quả: 2 Xác định a, b, c sao cho hàm số y = ax + bx + c đạt giá trị lớn nhất bằng  Dân số dưới 20t từ 20t đến 60t trên 60t khi x = và nhận giá trị bằng – 5 khi x = 2. 40 100 11 800 23 800 4 500 Tìm a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với cả hai parabol: Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. 2 2 5/ Điểm Toán x và điểm Lí y của 1 học sinh như sau: y = 8 – 3x – 2x và y = 2 + 9x – 2x . Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình – x2 + 4x + m =0 x 3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 2 y 4 5 6 6 7 8 8 9 9 Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x – x. Dùng đồ thị biện luận theo m số Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của điểm Toán và Lí. Nhận xét. 2 nghiệm của phương trình x – 2x – 1 = m. 2 2 Vẽ đồ thị hàm số y = x – 3x + . Định m để phương trình x – 6x + 5 – m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 
  13. Chương V THỐNG KÊ Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ¥| Trình bày một mẫu số liệu: ´. Phương trình tương đương. Cho một mẫu số liệu {x1, x2, , xk} có kích thước N gồm k (k  N) giá trị khác nhau. 1/ Các phương trình sau có tương đương hay không ? 2 3 2  Bảng phân bố tần số: gồm 2 dòng (hoặc 2 cột): ¬. x = x và x = 1. −. x = 1 và x = 1.  Dòng (cột) đầu ghi các giá trị xi theo thứ tự tăng dần. 2 2  Dòng (cột) thứ hai ghi tần số ni (số lần xuất hiện) của mỗi giá trị xi. ®. x + 2 = 0 và (x + 1)(x + 2) = 0. ¯. x + 2x + 1 = 0 và x + 1 = 0.  Bảng phân bố tần số - tần suất: x2− °. = 1 và x – 2 = x2 – 5x + 6.  Trong bảng phân bố tần số bổ sung một dòng (cột) thứ ba ghi tần suất fi (tỉ số % 2 giữa tần số ni và kích thước mẫu N). x5x6−+  Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp: Khi số liệu được chia thành nhiều khoảng 1 1 ±. 4x + 1 – = 11 – x – và 4x + 1 = 11 – x. [a1;a2), [a2;a3), , [ak;ak + 1] hay đoạn, mỗi khoảng hay đoạn này gọi là 1 lớp, ta có bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. x3− x3− ². x – 1 = 5x – 2 và (x – 1)2 = (5x – 2)2. ¥} Biểu đồ:  Biểu đồ tần số - tần suất hình cột (dùng cho bảng phân bố tần số - tần suất ghép ³. x + 12 + x = 18 – x + x và x + 12 = 18 – x. lớp): 2x−− 3 5 2x  Vẽ hai đường thẳng vuông góc. ´. 2x – 3 = 5 – 2x và = .  Trên trục hoành đánh dấu các khoảng [ai;ai + 1) xác định các lớp, trên trục tung ghi x1−− x1 2 2 2 2 tần số (tần suất). !0. x – 2 = x + 2x – 4 và x – 2 = x + 2x – 4.  Vẽ các hình chữ nhật có: Đáy nằm trên trục hoành có kích thước bằng chiều dài của lớp, !1. (3x – 2)1 – x = (6 – x)1 – x và 3x – 2 = 6 – x. Chiều cao bằng với tần số (tần suất) tương ứng với lớp đó. !2. x x + 1 = 2 và x(x + 1) = 2.  Đường gấp khúc tần số, tần suất:                Vẽ 2 đường thẳng vuông góc. µ. Phương trình dạng ax + b = 0. aaii1+ + Cách giải: ax + b = 0 ax = – b  Vẽ các điểm Mi(xi;yi) với xi = là giá trị đại diện của lớp [ai;ai + 1), yi = ni  2 ƒ Nếu a  0: x = – . (hoặc y = f ). i i ƒ Nếu a = 0: phương trình có dạng 0x = – b.  Nối các điểm Mi ta được đường gấp khúc tần số (tần suất). + b 0: phương trình vô nghiệm.  Biểu đồ tần suất hình quạt:   Vẽ 1 hình tròn. + b = 0: phương trình luôn nghiệm đúng ∀x  .  Chia hình tròn thành những hình quạt có góc ở tâm tỉ lệ với tần suất của lớp. 2/ Giải các phương trình sau: ¥~ Các số đặc trưng của mẫu số liệu: ¬. (3x + 7) – (2x + 5) = 3. −. 2x + 5 = (3x – 1) – (x – 6).  Đối với mẫu số liệu {x , x , , x } kích thước N: 1 2 N ®. (2x + 5) = (3x + 2) – (x – 6). 1 N 1 N 2 2 2 2 3/ Giải và biện luận các phương trình sau:  Số trung bình: x = xi .  Phương sai: s = (xi − x) = x – (x ) . ∑ ∑ 2 2 3 2 N i1= N i1= ¬. (a + 1)x = (a + 1) . −. (a – 4)x = a + 8. ®. (a + 2)x = 4 – a . 2  Độ lệch chuẩn: s = s . ¯. m(mx – 3) = 2 – x. °. m(x – 4m) + x + 3 = 2 – mx.  Đối với mẫu số liệu cho dưới dạng một bảng phân bố tần số - tần suất: ±. m(3x – m) = x – 2. ². m(mx – 1) = (2m + 3)x + 1. 1 ³. m2(1 – x) = m(x + 2) + 3. ´. m(mx – 1) = 4(m – 1)x – 2.  Số trung bình: x = nixi = fixi. N   !0. m2(x – 1) = m(2x + 1). !1. m(m2x – 1) = 1 – x. 22 2 1 2 2 2 2 mx+++ 1 mx 3 m 9x  Phương sai: s = ni(xi – x ) = fi(xi – x ) = x – (x ) . !2. m2(1 – mx) = 4(2x + m + 3). !3. −=. N   236 aaii1+ + a x1− 1 2(x+ 1) trong đó xi = là giá trị đại diện của lớp [ai;ai + 1). !4. x – = 1 – . !5. x – 2 (1−= ) . 2 1a− a1− a3a
  14. - 12 - Phương Trình & Hệ Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 29 - 4/ Cho phương trình m2(x – 1) = 4(x – m – 3). ¬. 7x + 1 = 2x + 4. −. x + 5 + 5 – x = 4. ¬. Định m để phương trình có nghiệm x = 3. −. Định m để phương trình vô nghiệm. ®. 3x + 3 – x – 2 = 7. ¯. x + 10 – x + 3 = 4x – 23. 5/ Định a, b để phương trình (a + b – 5)x = 2a – b – 1 luôn thoả x. °. 11x + 3 – 2 – x = 9x + 7 – x – 2. 2 2 2 ¶. Phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 . ±. 4x + 9x + 5 – 2x + x – 1 = x – 1. 2 —| Cách giải:  Nếu a = 0: phương trình có dạng bx + c = 0. ². x + 2 + x – 2 = 4x – 15 + 4x – 4. 2 2  Nếu a  0: Tính Δ = b – 4ac. ³. 3x – 2 + x – 1 = 4x – 9 + 23x – 5x + 2. * Δ 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 = . 2 Giải các bất phương trình: Chú ý 1: 1. Nếu b = 2b: tính Δ = b – ac. 2 ¬. x + 7 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 = . 1x− 2x2 +− 7x 4 1 1 1 2. Nếu a + b + c = 0: Phương trình có 2 nghiệm x1 = 1, x2 = . ³. . 2x− 5 x4+ 2 3x− x2− 3. Nếu a – b + c = 0: Phương trình có 2 nghiệm x1 = – 1, x2 = – . 2 Giải các bất phương trình: Chú ý 2: 1. Nếu phương trình ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1,2 thì: 2 2 ax + bx + c = a(x – x1)(x – x2). ¬. x  2 – x. −. 2x + 14 > x + 3. ®. x – 2x > 4 – x. 2. Nếu biết 1 nghiệm của phương trình là xo thì: 2 2 c ¯. x – 5x – 24  x + 2. °. (x + 4)(x + 3) > 6 – x. ax + bx + c = (x – xo)(ax + ). −xo 2 2 2 ±. x + 4  – x – 8x – 12. ². x – 4x + 5 > 2x – 8x. —}. Định lí Viète: 2 2 ³. | – x| x + . ´. (x + 1)(x + 4) 1. !1. x – 2. P = x1.x2 = . 2x− 15− x x y Đảo lại, nếu có 2 số x1, x2 sao cho x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì x1 và x2 là nghiệm của 2 Giải các bất phương trình: phương trình x – Sx + P = 0. 2 2 2 2 2 ¬. (x – 3)x + 4  x – 9. −. (x + 1)x + 1 > x – 1. —~. Dấu các nghiệm số của phương trình ax + bx + c = 0: ®. x + 3 – x – 1 0 °. 3x + 5x + 7 – 3x + 5x + 2 > 1. ±. (x – 2)x + 1 > x + 2. ƒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu (x1.x2 > 0)  2 {P0> ². (x – 12)x – 3  0. ³. (x – 1)x – x – 2  0. 2 2 ⎪ Δ>0 114x−− 9x− 4 y Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt (x1 > x2 > 0)  ⎨P0> . ´. 5x− 1 ⎪ Δ>0 y Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt (x1 .  ⎩⎪S0<
  15. - 28 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 13 - B0≥ B0> 6/ Giải và biện luận các phương trình: ⎪ ⎪ 2 2 2 ’ A  B  ⎨A0≥ ’ A B  2 {A0≥ {AB≥ {A0≥ {AB> ¬. Định m để phương trình có nghiệm. Tính nghiệm x2 khi biết x1 = 2. 11 Giải các phương trình: −. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa + = 10. 2 2 xx ¬. |x – 3x – 5| = 2x – 1. −. x + 4|x – 3| – 7x + 11 = 0. 12 2 2 ®. x + 4x – |x + 2| – 8 = 0. ¯. |x – 9| + |x + 2| = 5. ®. Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm x1, x2 độc lập đối với m. 2 2 °. |x2 – 4x + 3| + |x2 – 5x + 6| = 1. 8/ Cho phương trình (m – 1)x – 2(m – 1)x + 3 = 0. Giải các bất phương trình: ¬. Định m để phương trình có 1 nghiệm, tìm nghiệm này. 2 2 ¬. |x – 4x| 0. ±. |x + 6x + 8|  – x – 6x – 8. −. Định m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương. Giải các bất phương trình: 2 2 ®. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  –1. Lập phương ¬. |2x – 9x + 15|  20. −. |x – 6|  x – 5x + 9. 2 2 2 1 1 ®. |x – 3x + 2|  x + 2. ¯. |x + 3x|  2 – x . trình bậc hai có nghiệm là: , . x1+ x1+ °. x2 – 4x – 2|x – 2| + 1 0. ±. |x2 – 3x + 2| > 3x – x2 – 2. 1 2  Cho phương trình (m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – 1 = 0. Giải các bất phương trình: 2 2 2 2 ¬. Định m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. ¬. |2x – x – 10| > |x – 8x – 22|. −. |x – 2x + a|  |x – 3x – a|. −. Định m để phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm dương. ®. |x2 – 5|x| + 4| |2x2 – 3|x| + 1|.  ®. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 = 64. 2 2 2 3 2 5 Cho phương trình x + 2(m + 3)x + m + 3 = 0. ¯. x – 8x – + 18  0. °. x + 10x – + 4 > 0. |x− 4| |x+ 5| ¬. Định m để phương trình có 1 nghiệm bằng – 2. Tìm nghiệm còn lại. x5x42 −+ |x2 −+ 2x| 4 23|x|− −. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Chứng minh x1 + x2  8. ±. 1. ². 1. ³. > 1. 4 2 2  2  Định m để ph.trình – 4x + 2(m + 1)x – 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. x4− x|x2|++ 1|x|+ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 + mx + 1 = 0 có 2 nghiệm 4 |x− 3| | x2 −−− 2x | 1 2x 22 ´. |x – 1|. !0. 2. !1. 0. xx12  2  22 x , x thoả: + > 7. |x+− 1| 2 x5x6−+ x2|x3x|−+ + 1 2 22 xx21 Giải các phương trình: .Cho phương trình 2x2 + 2(2m + 1)x + 2m2 + m – 1 = 0. 2 2 ¬. 2x + 5 = x + 2. −. 2x + 8x + 7 – 2 = x. ®. 4 – 6x – x = x + 4. ¬. Định m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương. 2 2 ¯. x + 2x – 3x + 11 = 3x + 4. °. x – 1.2x + 6 = x + 3. −. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 nhỏ nhất. 2 2 2 ±. (x + 1)x + x – 2 = 2x + 2. ². (x + 1)16x + 17 = 8x – 15x – 23. Tìm m để phương trình x – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có nghiệm x1, x2 sao x2− x3+ cho x1 + x2 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. ³. = x – 6. ´. = 3x + 1. 2 2 2x− 7 x1− .Định m để ph. trình 2x + 2(m + 1)x + m + 4m + 3 = 0 có nghiệm. Gọi x1, Giải các phương trình: x2 là nghiệm của phương trình, tìm giá trị lớn nhất của A = x1x2 – 2(x1 + x2).
  16. - 14 - Phương Trình & Hệ Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 27 - 2 2 2 .Cho phương trình a x – 2ax + 1 – b = 0 Định m để các phương trình sau có nghiệm: ¬. Xác định a, b để phương trình có 1 nghiệm. ¬. x2 – 2(m – 1)x + 2m + 1 = 0. −. (m – 2)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0. −. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định m để phương trình (m – 2)x2 + mx + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. x1, x2 thỏa x1 + x2 = 4. Định m để các bất phương trình sau được nghiệm đúng x  : 2 2 2 ¬. Định m để phương trình mx – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm ¬. x – mx + m + 3 > 0. −. 2x – 2(2m – 1)x + m(m + 1)  0. phân biệt x , x thỏa x + 2x = 1. 1 2 1 2 ®. (m–1)x2 – (m–5)x + m–1 0. ¯. (m2 – m + 1)x2 – 2(m + 2)x + 1 0. −. Định m để phương trình (m + 3)x2 – 3mx + 2m = 0 có 2 nghiệm phân   °. (m2–2m–3)x2 – 2(m–3)x + 1 > 0. ±. (– 2m2+m+1)x2 + 2(m+3)x – 2 0. !0. –3 2. ¯. Xác định c để phương trình x – 2x + c = 0 có nghiệm x , x thỏa điều  2  1 2 xx1−+ kiện 7x2 – 4x1 = 47. 2 2 Định m để hàm số y = (m +1)x – 2(m – 1)x + 3m – 3 xác định x . °. Định m để phương trình 3x – 2(m + 2)x + 1 – m = 0 có 2 nghiệm phân                              Định m để bất phương trình: biệt x1, x2 thỏa x1 – x2= 2. 2 ¬. (m – 2)x – 2mx + 2m + 3 > 0 có nghiệm. Cho phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = a. −. (3m – 2)x2 + 2mx + 3m 0 vô nghiệm. ¬. Giải phương trình khi a = 10.  −. Định a để phương trình có đúng 3 nghiệm. Định m để bất ph.trình: 2 Nếu α và β là nghiệm của phương trình x2 + 4x – 1 = 0. Không giải ¬. x + mx + m – 1 0 nghiệm đúng x  (0;2). α β α β 22+ 22+ αβ (2α+ 1) (2 β+ 1) 2 2 2 ¯. x – (2m + 5)x + m + 5m  0 được thoả x  (1;+). Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình x + 4x – 1 = 0. Không giải x3x202 −+≤ phương trình tính x1 + x2 . Định m để hệ ⎨ 22 có nghiệm. 2 ⎩x(2m1)xmm20++++−≥ Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0. Không giải phương trình lập phương trình bậc hai mới có nghiệm là: Định m để bất phương trình: ¬. mx2 – 2(m – 4)x + m 0 nghiệm đúng x 0. ¬. x1 + 1, x2 + 1. −. x1 + x2, x1.x2. ®. 2x1 + 3x2, 3x1 + 2x2.    2 2 2 1 1 xx12 −. x – 2mx + |x – m| + 2 > 0 nghiệm đúng x. ¯. (x1 + x2) , (x1 – x2) . °. , . ±. , . 2 x1 x2 x1x121−− x10x90++≤ Định m để hệ ⎨ 2 có nghiệm. ¬. Giải phương trình x2 + px + 35 = 0 nếu tổng bình phương các nghiệm ⎩x2x1m0−+−≤ của phương trình bằng 74. · Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. −. Giải phương trình x2 – x – q = 0 nếu tổng lập phương các nghiệm của B0≥ A0≥ ¬. Với giá trị nào của k thì tổng 2 nghiệm của ph.trình x2 – 2k(x–1) – 1 = 0 bằng tổng bình phương 2 nghiệm. ’ A  B  – B  A  B ’ A  B  – A  B A  B −. Với giá trị nào của a thì tỉ số 2 nghiệm của ph.trình x2– (2a+1)x + a2 = 0 B0≥ B0≥ ’ A = B ’ A = B   2    AB= bằng . {AB= {
  17. - 26 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 15 - Tìm miền nghiệm của các bất phương trình: ®. Với giá trị nguyên nào của k thì ph.trình 4x2 – (3k + 2)x + k2 – 1 = 0 có ¬. 2x – 3y – 12 > 0. −. y – 4 0. 2 nghiệm x1, x2 thỏa: a. x1 = x2 + 1. b. x1 = 2x2. Tìm miền nghiệm của bất phương trình & hệ bất phương trình sau: ¯. Với giá trị dương nào của c thì phương trình 8x2 – 6x + 9c2 = 0 có hai ⎪ 3x−+> 4y 12 0 nghiệm x , x thỏa x = x2. ¬. xy20−+ °. Tìm p, q để phương trình x + px + q = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa: ¯. (x + y – 1)(3x + y – 1) > 0. °. (x + y)(y – 3x) > 0. a. x1 – x2 = 5. b. x1 – x2 = 35. ¶ Độ dài cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông là nghiệm của phương trình . Tam thức bậc hai - Bất phương trình bậc hai. 2 2 ax + bx + c = 0 (a > 0). Không giải phương trình tìm độ dài cạnh huyền, diện 1/ Tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a  0) tích hình tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. Nghiệm của tam thức là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0. 2 2 Với giá trị nào của a thì tổng bình phương 2 nghiệm của phương trình Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a 0) và Δ = b – 4ac. 2  x + ax + a – 2 = 0 ‚ Nếu Δ 0 ⇒ ax + bx + c > 0 x. 2 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng phương ’ a 0 ⇒ ax + bx + c > 0 x  –  (ax + bx + c  0 x). 2 2  ’ a 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 và: ·. Phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Giải các phương trình sau: a > 0 x – x x + a 0 (, Giải các phương trình: Cách giải: Xét dấu tam thức và chọn nghiệm thích hợp. ¬. (x2 + 2x)2 – 7(x2 + 2x) + 6 = 0. −. x4 – 2 2x2 – x + 2 – 2 = 0.   1 3 10 x1− 3x 5 Điều kiện để tam thức luôn dương hoặc âm: ®. + = . ¯. − = – . 2 2 2 2 a0> 2 a0> 2x−+ x 1 2x−+ x 3 2x−+ x 7 x2x2− 2 ‚ x, ax + bx + c > 0  . ‚ x, ax + bx + c  0  . {Δ Giải các bất phương trình: !0. (x – 6)(x – 2)(x + 1)(x + 3) = 7x . 4 4 4 4 x6x72 +− 14 9x− 30 14x !1. (x + 3) + (x + 1) = 20. !2.(x – 2) + (x – 3) = 1. ¬.  2. −. 2x > 5 – . ®. > . !3. 2(x2 + 6x + 1)2 + 5(x2 + 6x + 1)(x2 + 1) + 2(x2 + 1)2 = 0. 2 x3 x4 x1 x1+ + − + Giải các phương trình sau: 5x+ 4 x2+ 7 9 ¯.  . °. + + 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Giải và biện luận các phương trình sau: x2+ x1+ ¬. y = . −. y = . ¬. 3 – x = m. −. x – m = x – 4. ®. mx + 3 = 2x – m. x3x32 ++ 2x2 −− x 1
  18. - 16 - Phương Trình & Hệ Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 25 - Giải và biện luận các phương trình sau: Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 4 a x1+ x1+ ¬. = a. −. = 2. ®. = 2m. ¯. = 2m. ¬. m1x0+− > . −. 3x−>− 2 3 2x . x2+ 2a− x mx− 2m− x {2x−+> 3m 2 0 {mx+≥ 1 x − 2m + 5 mx++ 2m 3 4mx−− m(mx 1) xm− x2+ °. = m2. ±. = 2. ². = . Định m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm: 1x− 2x+ 1 x1− x1+ ¬. 2x−≥ 1 0 . −. mx−+≥+ m 2 x 1 . 3 1 2x− m 2x+ 2 xm+ 2x+ 2 {m2x0+−≥ {(m+−+> 1)x m 2 0 ³. = . ´. – = 0. !0. + = 3. x2a− x1+ xm− x1− xm− 3ax− Giải và biện luận hệ m(x−≥− 2) x 3 . Định m để các phương trình sau vô nghiệm: {(m+>+ 1)x mx 1 mx+ 2 mx−− m 3 ¬. = 3. −. = 1. Giải các bất phương trình: 2 3 xm1+− x1+ ¬. (x + 14)(8 – x)(x + 5) > 0. −. (8 – x)(1 – x) (10 – x)  0. Định m để các phương trình sau có nghiệm: (x+− 3)(2 x) (x+− 6)2 (x 4) 2m− 3 mx− 1 xm2 − ®.  0. ¯.  0. ¬. – m + 4 = 0. −. = 2. ®. – x + m = 1. (1− 2x ) 2 (7−− x)52 (1 x) x3+ x2m− x1+ −−13(5x 4)(2x − 7)5 (x++− 8)35 (x 4)(8 x) m(mx+ 1) °. > 0. ±. .Định m để phương trình = 1 có nghiệm duy nhất xo. Tìm m  3 52 x1+ (3x+ 9) (x−+ 4) (x 5) 23  sao cho xo  . (4−++ x )(x 2)(x 1) x7++ x1 ².  0. ³. +  0. Giải và biện luận các phương trình: (1−+ x )22 (x 3) x5−− 2x 2x2 −+ x 2 1 Giải các phương trình và bất phương trình: ¬. = – x + m. −. x + 1 + = m(x – 3). x1− x1− ¬. x – 1 + x – 3 = 3. ¯. 2x + 1 > x + 4. °. 2x – 1  x – 1. 3x+ m x(m2)xm2 ++ − −. x – 2 x + 1 +3 x + 2 = 0. ±. 3 – x Định m để phương trình: ´. |7 – 2x| |x| – 4x – 1. 2mx−− 5m 1 ¬. = m(x + 2) – 1 vô nghiệm. !1. |x – 1| + |2 – x| > x + 3. x2− (m − 1)x + m +1 2mx+− 2m 1 2x− 1 Giải và biện luận bất phương trình: > 0. −. = 2 + có nghiệm. x −1 x1− x1+ ¶. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn - Hê bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. 22 x2mx2m1−+− 2 2 ®. = 0 có 2 nghiệm phân biệt. 1/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c > 0 (, 0 ⇒ ax + by + c > 0. ’ axo + byo + c < 0 ⇒ ax + by + c < 0.  2/ Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Cách giải: ‚ Vẽ các đường thẳng tương ứng với mỗi bất phương trình trong hệ. ‚ Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình (gạch bỏ những miền không là nghiệm), phần còn lại là miền nghiệm của hệ.
  19. - 24 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 17 - µ. Bất phương trình bậc nhất - Hê bất phương trình bậc nhất. ¸. Hệ phương trình bậc nhất. ¤| Cách giải bất phương trình ax + b > 0: ax + b > 0  ax > – b. ax+= by c Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 111.  Nếu a > 0: x > – .  Nếu a 0. ab11 cb11 ac11 Nếu b > 0: Bất phương trình luôn thỏa x . Cách giải: Đặt D = , Dx = , Dy =   ab22 cb22 ac22 Nếu b  0: Bất phương trình vô nghiệm. + D  0: Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x = Dx:D, y = Dy:D. ¤} Hệ bất phương trình: + D = 0, Dx  0 hoặc Dy  0: Hệ vô nghiệm. Cách giải:  Giải từng bất phương trình trong hệ. + D = Dx = Dy = 0: Xét cụ thể.  Biểu diễn các đỉnh nghiệm trên 1 trục theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải.  Gạch bỏ những khoảng không là nghiệm của mỗi bất phương trình, phần trống  Giải hệ phương trình: còn lại là nghiệm của hệ. ¬. 2x+= 3y 1 . −. xy3+= . ®. x2y4+=. ¯. 3x−= y 1 . ¤} Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b: {3x−= 2y 9 {2x+= 2y 8 {y3x7−= {12x−= 4y 4 a > 0 x – –  + a Các bất phương trình sau có tương đương hay không ? ⎪ +=4, 75 2 2 |x−+ 1| |y −= 2| 1 ⎪ ¬. (2 – x) (x + 1) > 3(2 – x) và x + 1 > 3. ³. . ´. 2x+− y 1 x + 2y − 3 . {y3|x1|=− − ⎨ 32 1 1 ⎪ −=2,5 −. 2x – 3 – Giải và biện luận hệ phương trình: x12 − ®. > 1 và x2 – 1 > x2 – x + 1. (m+−=+ 2)x 3y 3m 9 mx++ (m 2)y = 1 2 ¬. . −. . xx1−+ {x(m4)y2+− = {xmym+= 1 1 ¯. x3 + > – 1 + và x3 > – 1. (m23−+−=− 1)x (m 1)y m 1 ax+=+ by a 1 x3− x3− ®. ⎨ 23. ¯. . ⎩(m+++=+ 1)x (m 1)y m 1 {bxayb1+=+ x4+ °.  0 và (x + 4)(x – 1)  0. ±. x + 1 – x > 1 – x – 3 và x > – 3. 22 x1− °. (a++−= b)x (a b)y a . ±. ax−=− bya b. (2a−++= b)x (2a b)y b ⎨ 2 2 2 2 2 { ⎩bxby24b−=+ ². (x – 4) (x + 1) > 0 và x + 1 > 0. ³. x – 1(x + x)  0 và x + x  0 Định a, b, m để hệ sau vô nghiệm: 2 x5(x1)++ x1+ x2− x2− 23 ´. 0 và 0. !0. 2 và 2. 2x+−= (9m2 2)y 3m mx+− (2 m)y = m + 4     ¬. . −. ⎨ 5 . x2+ x2+ x3+ x3+ {xy1+= ⎩mx+−=− (2m 1)y m 2 Giải và biện luận các bất phương trình: ax+=+ 3y a2 1 (1+++=− a )x (a b) y b a ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6. −. m(mx – 3) 2 – x. ®. ⎨ 2 . ¯. .  ⎩(3a+++=+ 14)x (a 8)y 5a 5 {(5+++=− a)x 2(a b)y b 1 2 ®. m(mx – 1)  4(m – 1)x – 2. ¯. m (1 – x) Định a, b, k để hệ sau có nghiệm: °. m(mx – 1) (2m + 3)x + 1.  ¬. ax−= 3y a . −. ax+=+ by a b . Định m để bất phương trình m(mx – 1) Định m để 2 bất phương trình sau tương đương: 2 22 ®. 2x+−=− (9k 2)y 6k 2 . ¯. (2−+=+ k)x k y 3k 2 . ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6 và 2x + 1 0 và (m + 2)x – m + 1 > 0.
  20. - 18 - Phương Trình & Hệ Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 23 - 2 2 2 2 2 2 Định m để hệ −+4x my =+ m 1 có vô số nghiệm. !4. a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a )  6abc (a, b, c  0). {(m++=+ 6)x 2y m 3 !5. ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a)  6abc (a, b, c  0). ax+=+ 2y b 1 2x+= y a2 + 2 Định a, b để 2 hệ và tương đương. !6. (1 + a)(1 + b)(1 + c) 1 + abc (a, b, c 0). {xy3+= {x3y3+=                        n n n Định a, b để hai hệ phương trình sau cùng vô nghiệm: ⎛⎞1x+ ⎛⎞1y+ ⎛⎞1z+ * !7. ⎜⎟+ ⎜⎟+ ⎜⎟3 (x, y, z dương thỏa xyz=1 và n  ). 2 2 2 (a+++=− 1)x (b 1)y 5b 1 và (a++= 1)x ay b . ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ {(a−+= 1)x by 2 {3x+− (4 a)y = 2b − 1 abc222abc !8. a2 + b2 + c2 a + b + c nếu abc = 1. !9. ++ ++.  222 Cho hệ mx+−+−= (3m 2)y m 3 0 . b ca b ca {2x++−= (m 1)y 4 0 Một số dạng khác ¬. Định m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm 5/ Chứng minh rằng: −. Định m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. 2 2 2 11 1 ¬. 2pq – q + p  – q  p (p  q  0). ®. +++" Định a để tổng xo + yo đạt giá trị nhỏ nhất biết (xo;yo) là nghiệm của hệ 1222 n 2 3x−=− y 2 a phương trình: . 11 1 1 * {x2ya1+=+ −. Giải các hệ: abcd 2x++−= 3y z 1 0 ¯. 1 0). −. y = 1 + ( 0 Cho hệ 222 . 9/ Nếu x, y > 0 và x + y  1, tìm GTNN của P = + + 4xy. {xy+= xy 2m −− m 3 xy22+ xy ¬. Giải hệ khi m = 3. −. Chứng minh rằng m, hệ luôn có nghiệm.  Cho x, y thay đổi thỏa 0  x  3, 0  y  4. Tìm GTLN của: xy2a1+= − .(x;y) là nghiệm của hệ . Định a để xy nhỏ nhất. A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y). xya2a3222+=+− { x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa x + y + z  1. Tìm GTLN của: xym+= xzy .Giải và biện luận hệ: 22 . A = ++. {xy2x2−+= x1+++ y1 z1
  21. - 22 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình Vũ Mạnh Hùng - 19 - 2 2 2 2 #2. a + b + c  k nếu a, b, c > 0 và a + b + c = k |x|+= |y| 1 2 2 2 2 2 .Cho hệ 22 . #3. 2(a  – a)(b  – b)  (a + b) – (a + b) nếu a + b = 1 và ab > 0. {xym+= n #4. (1 + a1)(1 + a2) (1 + an)  2 nếu a1, a2, , an > 0 và a1a2 an = 1. ¬. Giải hệ khi m = . −. Định m để hệ có nghiệm. 22 #5. ab + bc + ca  0 nếu a + b + c = 0. .Định m để hệ xy1+= có nghiệm duy nhất. 2 {xym+= #6. (x1 + x2)(z1 + z2)  (y1 + y2) nếu x1x2 > 0, x1z1  y1, x2z2  y2. ab++ cb 112 —} Hệ Đối Xứng: f(x,y)= 0 với f(x,y) = f(y,x), g(x,y) = g(y,x) #7. +  4 nếu a, b, c > 0 và +=. g(x, y)= 0 2a−− b 2c b acb { 2 1 1 1 Cách Giải: Đặt S = x + y, P = x.y. Điều kiện có nghiệm: S – 4P  0 #8. + +  1 nếu x, y, z > 0 và xyz = 1. xy133++ yz133++ zx133++ .Giải các hệ sau: xy522+= xyxy5++ = xyx++22 + y = 8 2 1 a b c ¬. . −. 22 . ®. . #9. a +  1. $0. + +  2 (a, b, c > 0). {xyxy1+− = {xy5+= {xy(x++= 1)(y 1) 12 a12 + b + c ca+ ab+ 22 22 2 4 4 4 xxyy3++= (x−−= y)(x y ) 3 xy+ $1. (ab + bc + ca)  3abc(a + b + c) $2. a + b + c  abc(a + b + c). ¯. 22. °. ⎨ 22 . ±. {xy+= xy 2 ⎩(x++= y)(x y ) 15 {xyxy1−+ = abc333 $3. ++ a + b + c (a, b, c > 0). 11 bccaab xy++ + = 5 xy522+= ⎪ xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ². . ³. . $4. a b + b c + c a  abc3(a  + b  + c ) (a, b, c  0). ⎨ 4224 ⎨ 11 ⎩xxyy13−+= ⎪xy22++ + = 9 n 1 n n + 1 22 $5. (1 + a) + (1 + )  2 (a > 0, n  ). ⎩⎪ xy a 2 4/ Chứng minh rằng: xy4+= xy+=− x 1 y ´. 2233 . !0. ⎨ 2 . {(x++= y )(x y ) 280 xy+=− y 1 x abc 2 2 ⎩ ¬. ++3 (a, b, c > 0). −. (p + p + 1)(q + q + 1)  9pq (p, q0). b ca xyxym++ = Định m để hệ 22 có nghiệm duy nhất. 6 6 2 2 xym+= ®. a + b + 1  3a b . ¯. (x+y+z)(x+y+z)9xyz (x, y, z  0). { °. (1 – x)(2 – y)(4x + y) 2 (0 x 1, 0 y 2). Giải các phương trình:      3 2 66 69 ¬. x + 1 = 2 2x – 1. −. x + x + 5 = 5. ®. 9 – x + x + 3 = 4. ab+ 2 2 ab+ 2 3 ±.  3a b – 4. ².  3a b – 16 (b  0, a  ). xya+= 2 4 Cho hệ ⎨ . xy+− xya = 23 111 9 ⎩ ³. a1 – a  (0  a  1). !0. ++ (a, b, c > 0). 9 abcabc++ ¬. Giải hệ khi a = 4. −. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm. 1 abc3 Định a để hệ sau có nghiệm: ´. a +  3 (a > b > 0). !1. ++ (a, b, c > 0). b(a− b) b +++ccaab 2 ¬. x1++ y2a + =. −. x1+− y2a + =. ⎨xy3a+= ⎨xy3a+= 222 9 ⎩ ⎩ !2. ++ (a, b, c > 0). b +++ccaab abc++ xyz3 111 !3. ++  ++ 1x+++222 1y 1z 2 1x+++ 1y1z  nếu x, y, z  0 và x + y + z  3.
  22. Vũ Mạnh Hùng - 21 - 2 2 2 2 2 2 (CHƯƠNG*4) BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH !0. a  + b + c  + d  (a + c)  + (b + d) . Khi nào dấu "=" xảy ra. 2 2 2 2 2 2 ´. Bất đẳng thức: Áp dụng: Chứng minh rằng: x  + xy + y + x  + xz + z  y  + yz + z . Định nghĩa: ƒ a > b  a – b > 0. ƒ a 0). −. ca +  2ab (a, b, c > 0). 2 b a c ab+ abc+ 4 y z x ƒ  ab hay a + b  2ab (a, b  0) ®.  ab (a, b, c > 0). ¯. (1+ )(1+ )(1+ )8 (x, y, z > 0). 2 2c2 x y z Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b. °. (a + b)(b + c)(c + a)  8abc (a, b, c  0). abc++ 2 2 2 ƒ  abc hay a + b + c  3abc (a, b, c  0) ±. (p + 2)(q + 2)(p + q)  16pq (p, q  0). ². a + b + c  2 a(b + c). 3 ³. a2 + b2 + 1 ab + a + b. ´. a2 + b2 + c2 + 3 2(a + b + c). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.   !0. a + b + c ab + bc + ca (a, b, c 0). !1. 2a2 + b2 + c2 2a(b + c). −. Bất đẳng thức tam giác: a–b  a  b  a + b      !2. a + b + 2a2+ 2b2 2ab + 2b a + 2a b (a, b 0). a + b = a + b  ab  0.     111 111 x12 a – b = a + b  ab  0. !3. ++ ++ (a, b, c > 0). !9. ≤ . abc bccaab 1x+ 4 2 Dùng định nghĩa và biến đổi tương đương bccaab 1/ Chứng minh rằng: !4. ++ a + b + c (a, b, c > 0). abc 1 2 8 2 5 ¬. > (a 2). −. x + x + 1 > x + x 2 2 3  abbcca+++ 1x+ 3 a4a4−+ a8− !5. ++ 6 (a, b, c > 0). @0. ≤ . 4 4 3 3 4 4 2 2 4 ®. a + b  a b + ab . ¯. a + b  2ab(a – ab + b ). cab 1x+ 2 11 1a++ 1b °. 2(x + y + z) – (xy + yz + zx) 4 (x, y, z [0;2]). !6. x2 + y2 + 2( x + y) (x, y > 0). @1. 3.   +    22+  2 2 2 2 2 2 xy 1a++ 1b ±. a + b + c  1 + a b + b c + c a (a, b, c  [0;1]). 2 2 2 !7. 3x + 2y + 4z  xy + 3yz + 5zx (x, y, z  0). ². a + b + c  5 nếu a, b, c  [0;2] và a + b + c = 3. ab5++ x4 2/ Chứng minh rằng: !8.  a + 2b (a, b  0). @2. +  8 (0 a + b (a, b > 0). −. a + b  + (a, b > 0) xy+ aa2++ 2x+ 1 b a @3.  22 (x > y, xy = 1). @4.  2. @5. 1. 2 2 2 2 3 3 xy− aa1++ 4x+ 1 ®. a + b a  + b (a, b > 0). 3 @6. 32  11 – x + 7 + x  6 (– 7  x  11). b + c4 ab33++⎛⎞ ab ¯. ≥ (b, c > 0). ±. ≥ ⎜⎟ (a, b > 0). @7. Nếu a + b = 1, a > 0, b > 0 thì 4a + 1 + 4b + 1  23. bcbc+ 22⎝⎠ @8. mn(m + n) m3 + n3 (m, n 0). ². 3(x + y + xy) 2 (x2 + x + 1)(y2 + y + 1).                          2 4 2 4 4 4 2 @9. a (1 + b ) + b (1 + a )  (1 + a )(1 + b ). ³. (ax + by)(bx + ay)  (a + b) xy (a, b  0, x, y  ). 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (m+− k)(1 mk) ´. x  +xy + y +y  +yz + z +z  +zx + x 3(x+y+z) (x, y, z > 0). #0. (4 + x )( + + 1) > 16 (x > 0). #1. –   . x 2 x (m22++ 1)(k 1)