Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp tỉnh - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp tỉnh - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 ___ ___ Đề chính thức_ ĐỀ THI MÔN: TOÁN Ngày thi: 15/02/2009 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3 điểm) 3 10 6 3 3 1 3 2009 Cho x = . Tính P = ( x - 4 x +1) 6 2 5 5 Câu 2: (4 điểm) x5 2x 4 2x3 4x 2 3x 6 Cho phân thức A = x 2 x 2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b. Rút gọn phân thức A. c. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A bằng 0. Câu 3: (5 điểm) a. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 2 x 1 x m x 1 b. Tìm giá trị của n để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất: nx 2y n 1 2x ny 2n 1 1 c. Giải phương trình sau: x 2009 y 2008 z 2 x y z 2 Câu 4: (5 điểm) 12a a. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = ; BC = 5a. 5 Tính hai cạnh góc vuông theo a. b. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác. S 2 2 2 Chứng minh rằng HIK 1 cos A cos B cos C S ABC Câu 5: (3 điểm) Cho đường tròn (O1 ; R1) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O2 ; R2).Vẽ một đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O1) và (O2 ) ( với A (O1) ; B (O2) ). Vẽ đường tròn (O ; R) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (O1) , (O2 ) và tiếp xúc với đường thẳng AB tại C. 1 1 1 Chứng minh rằng: R R1 R2 HẾT. HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 1/1 Môn: Toán
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 ___ ___ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Nội dung Câu 1 3 điểm 3 10 6 3 3 1 0,5 2 0,5 6 2 5 5 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x = = 2 0,25- 0,5- 05 2 1 5 1 5 5 1 5 Vậy P = (23-4.2+1)2009 0,25 = 12009 = 1 0,25 P = 1 0,25 Câu 2 4 điểm a) x ;2 x 1 0,5 b) x 5- 2 x 4+ 2 x 3- 4 x 2 - 3 x +6 = x 4( x -2)+2 x 2( x -2)-3( x -2) 0,5 = ( x -2)( x 4 + 2 x 2-3) 0,25 = ( x -2)[( x 2+1)2 -4] 0,5 2 2 = ( x -2)[( x +3)( x -1)] 0,25 = ( x -2)( x 2 +3)( x -1) ( x +1) 0,25 x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x 2 x 2 3 x 1 x 1 0,5 A = x2 x 2 x 1 x 2 0,25 = ( x 2+3)( x -1) 0,5 c) Vì x 2+3> 0 ; để A= 0 thì x -1 =0 0,25 x = 1 (thỏa điều kiện) 0,25 Câu 3 5 điểm a) ĐKXĐ: x m ; x 1 0,25 x 2 x 1 0,25 Khi đó: (x +2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) x m x 1 2 2 2 m 0,25 x + x – 2 = x – mx + x – m mx = 2 – m x m Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 0,25 m 0 m 0 m 0 m 0 2 m x m m m 2 m 2 0 m 1 m x 1 2 m m m 2 2 m 1 m nx 2y n 1 (1) 0,25 b) Hệ phương trình: 2x ny 2n 1 (2) 1 Từ (1) suy ra y  (n 1 nx) 2 HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 1/3 HDC môn:Toán
3. 1 0,25 Thay vào (2) ta được 2x n  (n 1 nx) 2n 1 2 4x – n2.x = – n2 + 3n – 2 (4 – n2).x = – n2 + 3n – 2 0,25 n 2 3n 2 0,25 x 4 n 2 Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi: 4–n2 0 n 2 0, 25 n 1 3 x 1 n 2 n 2 0, 25 Khi đó: 2n 1 3 y 2 n 2 n 2 x, y nguyên khi: (n + 2) Ư(3) ={1 ; –1 ; 3 ;–3} 0,25 n {–1 ; –3 ; 1 ; –5} 0,25 c) ĐK : x ≥ 2009 ; y ≥ -2008 ; z ≥ 2 0,25 1 0,5 x 2009 y 2008 z 2 x y z) 2 x y z 2 x 2009 2 y 2008 2 z 2 2 2 2 0,5 x 2009 1 y 2008 1 z 2 1 0 x 2009 1 0 0,5 y 2008 1 0 z 2 1 0 x 2010 0,25 y 2007 (thỏa điều kiện) z 3 Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = 3 Câu 4 5 điểm a) Đặt AB= x ; AC = y (x,y >0) 0,25 ABC vuông tại A, ta có : AB.AC = AH. BC 12a 2 0,25 x.y = 5. a = 12a (1) 5 BC2 = AB2 + AC2 25a2 = x2+y2 (2) 0,25 Từ (1) &(2) (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 = 25a2 + 24a2 = 49a2 0,5 (x-y)2 = x2-2xy+y2 = 25a2-24a2 = a2 0,5 x y 7a x y 7a 0,5 Vậy hoặc x y a x y a x 4a x 3a 0,25 Do đó hoặc y 3a y 4a Vậy hai cạnh góc vuông là 4a và 3a b) SHIK = SABC – SAKI – SBKH – SCHI 0,5 S S S S 0,5 HIK 1 AKI BKH CHI S ABC S ABC S ABC S ABC Xét AKI và ABC có góc A chung nên 0,5 S AK.AI AK AI AKI . S ABC AB.AC AC AB HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 2/3 HDC môn:Toán
4. AKC vuông tại K và AIB vuông tại I, ta có : 0,5 AK AI Cos A = và cos A = AC AB S Do đó AKI cos2 A S ABC S 2 S 2 0,5 Tương tự : BHK cos B; CHI cos C S ABC S ABC S Vậy HIK 1 cos2 A cos2 B cos2 C S ABC A I K B H C Câu 5 3 điểm Đẳng thức cần chứng minh tương đương với RR1 RR2 R1R 2 0,25 Qua O kẻ HK O1A và O2B (với H O1A ; K O2B),khi đó H, O, K 0,75 thẳng hàng . 2 2 2 2 2 HOO1vuông có :OH = OO1 - HO1 = (R1+R) - (R1-R) = 4R1R OH = 2 RR1 (1) 2 2 2 2 2 KOO2vuông có :OK = OO2 -KO2 = (R2+R) - (R2-R) = 4R2R 0,75 OK= 2 RR2 (2) 0,25 Từ (1) & (2) HK= 2 RRRR1 2 Qua O2 kẻ O2I O1A (với I O1A ) 0,5 2 2 IO2O1vuông có :IO2= O1 O 2 IO 1 = 2 R1R 2 Mà IO2 = HK RR1 RR2 R1R 2 0,5 O1 I O2 o d H K A C B HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 3/3 HDC môn:Toán