Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THCS Lĩnh Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THCS Lĩnh Mai (Có đáp án)

1. 1/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê TRƯỜNG THCS LĨNH NAM ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 Môn : Toán Thời gian : 120 phút 1 x 15 x 2 x 1 Bài I (2,0 điểm) : Cho biểu thức: A và B : (Với x 0; x 25 ) 1 x x 25 x 5 x 5 a) Tìm x để: A A ; b) Rút gọn B; c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm m để phương trình A B m có nghiệm. Bài II (2,0 điểm) : Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm so với kế hoạch, nên người đó đã hoàn thành sớm hơn so với thời gian dự định 20 phút. Hỏi theo kế hoạch mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm? Bài III (2,0 điểm) : 1) Giải phương trình: x2 x2 3 4 1 2) Cho parabol(P) : y x2 và đường thẳng (d) : y (m 2)x 2 2 Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) thỏa mãn: a. y1 y2 4 b. Diện tích tam giácOAB bằng 2 5 (đvdt) Bài IV (3,5 điểm): Cho O đường kính AB 2R . Lấy điểm H thuộc tia đối của tia BA . Từ H kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AB . Trên (d) lấy N , qua N kẻ tiếp tuyến NE với O tại E (E, B nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ AN ). AN cắt O tại C . Các đường thẳng AE, BE cắt (d) tại K và I . AI cắt O tại M . a) Chứng minh tứ giác KEBH, KECN nội tiếp. b) Chứng minh: K, B, M thẳng hàng. c) Từ Ekẻ đường thẳng vuông góc với A Bcắt AN, A tạiI Q,.ChứngJ minh Qlà trung điểm của EJ Nhóm Toán THCS:
2. 2/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê d)Cho N di chuyển trên d . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI thuộc một đường thẳng cố định. 0 a,b,c 2 Bài V (0,5 điểm): Cho a b c 3 Tìm GTNN,GTLN của P a3 b3 c3 Hướng dẫn giải - Đáp số Bài I: 1 x a)Để: A A A 0 0(*) 1 x Ta có: x 0 x 1 0 (*) 1 x 0 x 1 x 1 Kết hợp điều kiện ta được: 0 x 1 b)Với x 0; x 25 15 x 2 x 1 B : x 25 x 5 x 5 15 x 2( x 5) x 1 B : x 25 x 5 x 5 x 5 1 B . x 5 x 5) x 1 x 1 c)Với x 0; x 25 Nhóm Toán THCS:
3. 3/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê A B m 1 x 1 m 1 x x 1 x m 1 x x m x m 1 m x m(1) Nếu: m 1 , phương trình 1 0 1 . Phương trình vô nghiệm. m Nếu: m 1 , phương trình 1 x (2) 1 m Do:x 0; x 25 nên x 0; x 5 Để phương trình:A B m có nghiệm thì từ phương trình (2) cần có: m 0 (3) 1 m m 5 (4) 1 m (3) 1 m 0 5 (4) m 5m 5 m 6 5 Vậy 1 m 0 và m 6 Bài II: Gọi số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là: x ( x N* , sản phẩm) Số sản phẩm mỗi giờ mà người đó làm được theo thực tế là: x 3 (sản phẩm) 85 Thời gian người đó dự định làm 85 sản phẩm là: (giờ) x 96 Thời gian người đó làm theo thực tế 96 sản phẩm là: (giờ) x 3 1 Vì trong thực tế người đó đã hoàn thành sớm hơn so với thời gian dự định 20 phút = giờ nên ta có pt: 3 Nhóm Toán THCS:
4. 4/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 85 96 1 x x 3 3 255x 765 288x x2 3x x2 36x 765 0 x2 51x 15x 765 0 x( x 51) 15( x 51) 0 x 15 x 51 0 x 15 tmdk x 51 ktmdk Vậy số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là 15 sản phẩm. Bài III: 1) x2 x2 3 4 1 x4 3x2 4 0 Đặt t x2 t 0 thì phương trình trở thành: t 2 3t 4 0 a 1,b 3,c 4 Ta có: a b c 1 3 4 0 . Phương trình ẩn t có hai nghiệm: t1 1 L x2 4 x 2 t 2 4 TM Vậy PT (1) có hai nghiệm x1 2; x2 2 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: 1 x2 (m 2)x 2 x2 2(m 2)x 4 0 ()a 1;b 2(m 2);c 4 2 Có: ac 1.( 4) 4 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu m . Vậy d cắt P tại hai điểm phân biệt nằm về 2 phía của trục tungm . Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 x2 2(m 2) (1) x1.x2 4 (2) y1 (m 2)x1 2 a)Vì A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) (d) y2 (m 2)x2 2 Nhóm Toán THCS:
5. 5/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Có: y1 y2 4 (m 2)x1 2 (m 2)x2 2 4 (m 2)(x1 x2 ) 0 (m 2)2(m 2) 0 m 2 Vậy m 2 thì d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 y2 4 . b)Vì d cắt P tại hai điểm phân biệt nằm về 2 phía của trục tung m nên giả sử x1 0 x2 . - Gọi đường thẳng d cắt trục tung tại I => I(0,2) - Kẻ AK  Oy; BH  Oy y - Có: SAOI SBOI SOAB H B 1 1 AK.OI BH.OI 2 5 I 2 2 A K 1 OI.(AK BH ) 2 5 2 x 1 x1 O x2 .2( x x ) 2 5 2 1 2 x1 x2 2 5 x2 x1 2 5 - Thay x2 x1 2 5 vào (1) ta được: 2x1 2 5 2(m 2) x1 m 2 5 x2 m 2 5 - Thay x1 m 2 5 ; x2 m 2 5 vào (2) được: m 2 5 m 2 5 4 (m 2)2 5 4 (m 2)2 1 m 2 1 m 2 1 m 3 m 1 Vậy m 3;m 1 thì d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) ; B(x2 ; y2 ) thỏa mãn SOAB 2 5 (đvdt) Nhóm Toán THCS:
6. 6/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài IV: K a) Do AEB nội tiếp (O) cóAB là đường kính ·AEB 90o K· EB 90o Xét tứ giácKEBH có: K· EB 90o (cmt) và K· HB 90o (gt) E Tứ giác KEBH nội tiếp (đpcm). N C E· BA E· KN (1) · · » B Xét đường tròn (O) có: ECA EBA (cùng chắn AE ) (2) A O H Từ (1) và (2) E· KN E· CA M Xét tứ giác KECN ta có E· CA E· BA (cmt) I Tứ giác KECN nội tiếp (đpcm) K b) Do AMB nội tiếp có AB là đường kính ·AMB 90o AM  MB AI  MB (3) E Ta có IE  AK, AH  KI (gt) N B là trực tâm AKI C KB  AI (4) B A O H Từ (3) và (4) K, B, M thẳng hàng M I c) Ta có: N· EI E· AB (góc tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn E»B ) Mà E· AB E· BA 90o , E· BA H· BI (đối đỉnh) , H· BI H· IB 90o N· EI N· IE NEI cân tại N hay NE NI (5) Chứng minh tương tự: NE NK (6) Nhóm Toán THCS:
7. 7/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Từ (5) (6) NK NI (9) EQ AE Ta có: EQ//KN (hệ quả ĐL Talet) (7) KN AK EJ AE Ta có: EJ//KI (hệ quả ĐL Talet) (8) KI AK EQ EJ Từ (7) (8) (10) KN KI Từ (9) và (10) EQ EJ hay Q là trung điểm EJ (đpcm) d) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp AKI và D, F là K trung điểm của AK, AI . Ta có: OF là đường trung bình ABI OF / /BI E Mà BI / /DP  AK D OF / /DP P CMTT: OD / /FP N Khi đó: ODPF là hình bình G Q C hành. A O H G/s: G DF OP G là B trung điểm OP và DF . F J Mặt khác DF / /IK và N là M trung điểm IK nên AN đi qua I trung điểm của DF . Khi đó AN, DF,OP đồng quy tại trung điểm của G của DF và OP . Lại do PN / / AB  IK Khi đó ta chứng minh được PGN OGA g.c.g PN OA R ( không đổi ) Vậy khi N chuyển động thì tâm P của AIK chuyển động trên đường thẳng song song với d cố định và cách d một khoảng bằng R không đổi. Nhóm Toán THCS:
8. 8/8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài V: a) Tìm GTNN của P a3 b3 c3 Dễ thấy điểm rơi đạt tại a b c 1 a3 1 1 3a 3 3 3 3 b 1 1 3b P a b c 3 a b c 6 3 MinP 3 a b c 1 3 c 1 1 3c b) Tìm GTLN của P a3 b3 c3 Điểm rơi dự đoán đạt tại a,b,c 2,1,0 và các hoán vị .Từ đó ta có hướng tách : P a3 b3 c3 a b c 3 3 a b c ab bc ca 3abc 27 9 ab bc ca 3abc ab bc ca m Như vậy ta cần khai thác giả thiết bài toán để đi tìm m và k sao cho abc k abc 0 a 2 b 2 c 2 abc 0 0 a,b,c 2 a 2 b 2 c 2 0 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 0 ab bc ca 2 a b c 4 2 P 27 3 ab bc ca 12 27 6 12 9 abc 2 ab bc ca 4 Vậy MaxP 9 a,b,c 2,1,0 và các hoán vị Nhóm Toán THCS: