Đề thi tuyển học sinh giỏi - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển học sinh giỏi - Môn thi: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012- 2013 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt Đề thi gồm : 01 trang Cõu I (2,0 điểm) 1) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a 2 (b-2c)+b2 (c-a)+2c2 (a-b)+abc . 2) Cho x, y thỏa món x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tớnh giỏ trị của biểu thức A x4 +x3y+3x2 +xy- 2y2 +1. Cõu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh (x2 - 4x+11)(x4 - 8x2 +21) 35 . 2 2 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 2) Giải hệ phương trỡnh . 2 2 x + z - 4(y+z)+8 0 Cõu III (2,0 điểm) 1)Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ (n 2 + n + 1) khụng chia hết cho 9. 2)Xột phương trỡnh x 2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm nguyờn. Cõu IV (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB < AC ngoại tiếp đường trũn tõm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với cỏc cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trờn đoạn CE. 1) Tớnh Bã IF . 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thỡ tứ giỏc ABHI nội tiếp. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hỡnh chiếu của N trờn cỏc đường thẳng DE, DF. Xỏc định vị trớ của điểm M để PQ lớn nhất. Cõu V (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa món 0 a b c 1 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức B (a+b+c+3) + + . a+1 b+1 c+1 Hết Họ và tờn thớ sinh Số bỏo danh Chữ kớ của giỏm thị 1: Chữ kớ của giỏm thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MễN TOÁN (chuyờn) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thớ sinh làm bài theo cỏch riờng nhưng đỏp ứng được yờu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu cú) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Cõu Nội dung Điểm Cõu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a 2 (b - 2c) +b2 (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2 b2 ) ac(a 0,25b) (a b)[2c2 2ac ab bc] 0,25 (a b)[2c(c a) b(a c)] 0,25 (a b)(a c)(b 2c) 0,25 2) 1,0 điểm Cú x = 3 y- y2 + 1 3 y+ y2 + 1 0,25 3 2 2 2 2 x = 2y +33 y - y + 1 . 3 y+ y + 1 3 y- y +1 3 y+ y +1 x3 + 3x -2y = 0 0,25 A = x4 + x3y + 3x2 - 2xy + 3xy - 2y2 + 1 = (x4 +3x2 -2xy) +(x3y+3xy - 2y2 ) 10,25 x(x3 +3x-2y) +y(x3 +3x - 2y) 1 1 0,25 Cõu II (1,0đ) 1)1,0 điểm phương trỡnh đó cho tương đương với 0,25 2 2 2 (x 2) 7 (x 4) 5 35(1) (x 2)2 7 7x  0,25 Do (x 2)2 7 (x2 4)2 5 35x 2 2  (x 4) 5 5x (x 2)2 7 7 0,25 (1) 2 2 (x 4) 5 5 x=2 0,25 2)1,0 điểm 2 2 0,25 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1) 2 2 x + z - 4(y+z)+8=0 (2) (1) x x2 2012 y y2 2012 y2 2012 y 2012 y2 2012 y (Do y2 2012 y 0y )
3. x x2 2012 2012 2012 y2 2012 y x x2 2012 y2 2012 y x y y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 x y y2 2012 x2 2012 y2 x2 y2 2012 y x2 2012 x x y (x y) 0 y2 2012 x2 2012 y2 2012 x2 2012 Do 0,25 2  y 2012 | y | yy 2 2  y 2012 y x 2012 x 0 y x 2 x 2012 | x | xx Thay y=-x vào(2) x2 z2 4x 4z 8 0 (x 2)2 (z 2)2 0 0,25 (x 2)2 0 x 2 0,25 y x 2 Vậy hệ cú nghiệm (x;y;z)=(- 2 (z 2) 0 z 2 2;2;2). Cõu III (2,0đ) 1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + 1 do n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k 0,25  ) * n = 3k => A khụng chia hết cho 9 (vỡ A khụng chia hết cho 3) 0,25 * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 khụng chia hết cho 9. 0,25 * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 khụng chia hết cho 9 0,25 Vậy với mọi số nguyờn n thỡ A = n2 + n + 1 khụng chia hết cho 9. * 2)1,0 điểm Giả sử tồn tại m Ơ để phơng trình có nghiệm x1, x2 0,25 2 x1 x2 m 2 Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m + 2m + 3 x1x2 2m 2 * Với m Ơ . Ta có x1x2 4 và x1 + x2 1 mà x1hoặc x2 nguyên và 0,25 2 * * x1 x2 m Ơ x1, x2 Ơ (x1 1)(x2 1) 0 m2 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 m 3 m {1;2;3} Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phơng trình đã cho vô nghiệm. 0,25 Với m = 3 thay vào phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã 0,25 cho là x =1; x = 8 thoả mãn. Vậy m= 3 Cõu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hỡnh đỳng theo yờu cầu chung của đề 0,25
4. B F K H D O I A E M C Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuụng tại K 0,25 1 0,25 Cú Dã FE= Dã OE=450 2 Bã IF 450 0,25 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thỡ ΔABM vuụng cõn tại A => Dã BH=450 .Cú 0,25 Dã FH=450 => Tứ giỏc BDHF nội tiếp => 5 điểm B, D, O, H, F cựng thuộc một đường trũn. 0,25 => Bã FO=Bã HO 900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H 0,25 thẳng hàng Bã AH=Bã IH 450 => Tứ giỏc ABHI nội tiếp. 0,25 3) 1,0 điểm B 0,25 F P D O N A E M C Q Cú tứ giỏc PNQD nội tiếp = > Qã PN=Qã DN=Eã FN . Tương tự cú Nã QP=Nã DP=Fã EN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng PQ NQ 0,25 => = 1 PQ EF EF NE Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q E => DN là đường kớnh 0,25
5. của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. Cỏch xỏc định điểm M : Kẻ đường kớnh DN của (O), BN cắt AC tại 0,25 M thỡ PQ lớn nhất. Cõu V Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 a b c 1 = >1 z y x 2 0,25 (1,0đ) 1 1 1 x x y y z z Khi đú A= (x+y+z)( )=3+3 x y z y z x z x y x y x y x.y x y x 0,25 1 1 0 1 0 1 y z y z y.z y z z z y z y z.y z y z 1 1 0 1 0 1 y x y x y.x y x x x y z y x z x x y y z z x z 2 2 2 y z y x z x y z x z x y z x x 0,25 Đặt = t =>1 t 2 z x z 1 t 2 1 2t 2 5t 2 5 (2t 1)(t 2) 5 t z x t t 2t 2 2t 2 (2t 1)(t 2) x z 5 Do 1 t 2 0 2t z x 2 5 A 3 2. 2 10 2 Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thỡ A=10 nờn giỏ trị lớn nhất của A là 10 0,25