Đề thi khảo sát đội tuyển Toán 9 lần 2 - Năm học 2012 - 2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát đội tuyển Toán 9 lần 2 - Năm học 2012 - 2013 (Có đáp án)

1. Trường THCS Đề thi khảo sát đội tuyển Toán 9 Lần 2 Bản nguyên Thời gian làm bài 120 phút Năm học: 2012 - 2013 Bài 1: (1.5 điểm ). Rỳt gọn cỏc biểu thức sau a, A = 3x x2 4x 4 b, B = 3 5 3 5 2 c, C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (1,5 điểm). Giải cỏc phương trỡnh 2 a. x x 2 x x 0 b. x 5x 36 8 3x 4 Bài 3: ( 2 điểm) a) Cho x là số thỏa mãn x 2 2x 25 x 2 2x 9 2 Tính giá trị của biểu thức : B = x 2 2x 25 x 2 2x 9 b) Tìm số tự nhiên n để n 2 91 cũng là số tự nhiên Bài 4: ( 1 điểm) Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương Bài 5 ( 3 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn. Cỏc đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuụng gúc với HC và đường thẳng qua N vuụng gúc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a. Tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC. 2 ã Từ đú hóy suy ra SAEF = SABC. cos BAC b. BH.KM = BA.KN GA5 GB5 GH 5 c. 4 2 GM 5 GK 5 GN 5 Bài 6: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cựng một phớa của AB cỏc tia Ax và By vuụng gúc với AB. Qua M cú hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luụn vuụng gúc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo gúc ãAMC . Xỏc định số đo để tam giỏc MCD cú diện tớch nhỏ nhất.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MễN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm cú 02 trang Bài í Nội dung cần đạt Điểm a 2 4x 2; neu x 2 0.25x 3x (x 2) 3x x 2 0.75 2x 2; neu x 2 3 b B. 2 6 2 5 6 2 5 2 ( 5 1)2 ( 5 1)2 2 0.5 0.25 0.75 = | 5 1| | 5 1| 2 = 5 1 5 1 2 = 0. Suy ra A = 0 sin2 cos2 0.2x5 1. C (1 )(1 sin2 ) (1 )(1 cos2 ) = 2.5 cos2 sin2 2 2 sin 2 cos 2 b. (1 2 )(cos ) (1 2 )(sin ) = 1.0 cos sin sin2 cos2 cos2 sin2 1 1 .cos2 sin2 = .cos2 sin2 = cos2 sin2 cos2 sin2 2 ĐK: x 0 0.25x x x 2 x x 0 x(x 2 x) 0 4 2a. x 0 ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận 1.0 x( x 2)( x 1) 0 x 4 2. nghiệm 2.0 4 ĐKXĐ: x 0.25 3 2b. (x2 8x 16) (3x 4 2 3x 4.4 16) 0 (x 4)2 ( 3x 4 4)2 0 0.25 1.0 x 4 0 và 3x 4 4 0 x 4(tm) 0.25 0.25 n 24 k 2 Ta cú: 2 n 65 h k2 24 h2 65 k h k h 89 1.89 k h 89 k 45 Bai k h 1 h 44 4 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 b) Đặt n 2 91 m m n và (m n)(m n) 1.91 7.13 ; m+n>m-n Xét 2 TH: m+n=91; m-n=1 ta được n=45 m+n=13; m-n=7 ta được n=3 . Thử lại đúng KL: n 3;45
3. A 0.25 F E K N H G B D M C AE AF AEB vuụng tại E nờn cosBã AE ACF vuụng tại F nờn cosCã AF 0.25 AB ; AC 4. 4a Tư đú chứng minh được tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC (c.g.c) 0.25 2.5 1.0 Vỡ tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC nờn S AE 2 0.25 AEF cos2 Bã AC S S .cos2 Bã AC 2 AEF ABC 0.25 SABC AB ABH và MNK cú Bã AH Nã MK ; ãABH Mã KN (Gúc cú cạnh tương ứng song 0.5 4b. song) 0.75 BA BH 0.25 Suy ra AHB đồng dạng với MNK ( g.g); BA.KN BH.KM KM KN AB AH AHB đồng dạng với MNK nờn 2 ( Vỡ MN là đường TB của MK MN AG HG tam giỏc AHC); Lại cú: 2 ; 2 ( G là trọng tõm của tam giỏcAHC) MG NG AB AG ã ã 4c. 2 . Mặt khỏc BAG GMK ( so le trong) MK MG 0.25 0.75 ABG đồng dạng với tam giỏc MKG (c.g.c) GB GA GH GB5 GA5 GH 5 GB5 GA5 GH 5 2 32 GK GM GN GK 5 GM 5 GN 5 GK 5 GM 5 GN 5 GB5 GA5 GH 5 4 2 GK 5 GM 5 GN 5 0.25 1 ã ã Ta cú : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta cú AMC BDM 2 a b 1 ab MC = , MD = ; SMCD = 5 cos sin 2 cos .sin 1.0 Do a,b là hằng số nờn SMCD nhỏ nhất 2sin .cos lớn nhất . 0.5 Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta cú : 2 2 2sin .cos sin +cos = 1 nờn SMCD ≥ ab
4. 0 0 0 SMCD = ab sin = cos sin = sin(90 ) = 90 = 45y AMC và BMD vuụng cõn. D x 0.5 Vậy min SMCD = ab . Khi = 450 ; C,D được xỏc định trờn tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM . C A ( a M b B