Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Tri Phương (Có đáp án

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Tri Phương (Có đáp án

1. S GD& T Th a Thiờn - Hu THI H C SINH GI I Tr ưng THCS Nguy n Tri Ph ươ ng Mụn Toỏn 9 - Th i gian : 120 phỳt
    125 125 Cõu 1/ (1 ) Cho x = 339+ + −−+ 3 39 + .Ch ng minh r ng x là m t s 27 27 nguyờn . Cõu 2/ (1,5 ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . xy+ 1 yt + 1 xt+ 1 Ch ng minh r ng : Nếu = = thì x= y= t hoặc x.y.t =1 . y t x Cõu 3/(1,5 ) Cho a th c bc hai f(x)= ax 2 + bx + c cú nghi m d ươ ng x = m . Chng minh r ng a th c g(x) = cx 2 + bx + a (c 0) cng cú nghi m d ươ ng x = n và th a món m + n≥ 2 . Cõu 4/ (2) Trong m t ph ng t a Oxy , cho ưng th ng d(m) cú ph ươ ng trỡnh : (m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham s ) . Tỡm m kho ng cỏch t im O n ưng th ng d(m) cú giỏ tr l n nh t . Xỏc nh ưng th ng ú . Cõu 5/ (4 ) Cho hai ưng trũn ng tõm (O; R) và (O; r) v i R > r. L y A và E là hai im thu c ưng trũn (O; r) , trong ú A di ng , E c nh ( v i A E) . Qua E v m t ưng th ng vuụng gúc v i AE c t ưng trũn (O; R) B và C . G i M là trung im c a on th ng AB . a/ (1,5 ) Ch ng minh EB 2 +EC 2 + EA 2 khụng ph thu c v trớ im A . b/ (1,5 ) Ch ng minh r ng khi im A di ng trờn ưng trũn (O; r) và A E thỡ ưng th ng CM luụn i qua m t im c nh ( g i tờn im c nh là K ) . c/ (1 ) Trờn tia AK t m t im H sao cho AH = 3 AK . Khi A di ng trờn ưng 2 trũn (O;r) thỡ im H di ng trờn ưng nào ? Ch ng minh nh n xột ú ?
2. ỏp ỏn và bi u im ch m Toỏn 9 Cõu Ni dung im Cõu1 125 125 a=++3 3 9 và b = 3 −++ 3 9 (1 ) 27 27 0,25 5 Thì a3− b 3 = 6 và a.b = 3 x= a − b⇒ x3=−− a 3 b 3 3ab(a − b) 0,25 3 2 x = 6 - 5x ⇔− (x 1)(x ++= x 6) 0 0,25 Mà x2 ++> x 6 0(do ).Suy ra x = 1.Vậy x ∈ Z 0,25 Cõu 2 T ng th c v i iu ki n do bài ó cho suy ra : 1 1 1 x+ = y + = z + (1) y z x 0,25 (1,5 )  1 1 y− z  x− y = − =  z y zy   1 1 z− x (1)⇒  y− z = − = (2)  x z xz 0,5  1 1 x− y  z− x = − =  y x xy ( y− z)( z − x)( x − y ) 0,25 (2) ⇒ ()x− y() y − z() z −= x (3) zyzxxy x= y = z T (3) Học sinh chứng minh đ−ợc rằng  0,5 xyz= 1 Cõu 3 Ta cú : x = m là nghi m c a a th c f(x)= ax 2 + bx + c Suy ra am2 + bm + c = 0 (1), mà m > 0 (gt) 0,25 bc 11 ⇔ +=⇔ + 0,25 (1) a +2 0 a + b( ) c(2 ) = 0 (2) mm mm (1,5 ) 1 Đẳng thức này chứng tỏ rằng x= là nghiệm của 0,25 m 1 đa thức g(x) = cx2 + bx + a = 0 Vậy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3) 0,25 m 1 1 Ta có m+n = m +≥ 2 m. (do ) 0,25 m m Hay m+ n ≥ 2 0,25 Cõu 4 Nu m =1 thỡ d(1) là ưng th ng y= -1 nờn kho ng cỏch t O n d(1) là 1 0,25 (2 ) Nu m =2 thỡ d(2) là ưng th ng x = 1 nờn kho ng cỏch t O n d(2) là 1 0,25 (1)
3. 1  Nu m 1 và m 2 thỡ d(m) c t tr c hoành t i A ;0  và c t tr c tung t i m− 1  0,25 1  B0 ;  Gi OH là kho ng cỏch t O n ưng th ng AB ta cú : m− 2  1 1 1 = + =−+−(m 1)2 (m 2) 2 OH2 OA 2 OB 2 0,25 2   12 311 0,25 2 =2m −+= 6m 5 2 m −  +≥ OH 2  2 2 3 Vậy OH2 ≤ 2 ⇔ OH ≤ 2⇒ OH= 2 khi m = (2) lớn nhất 2 0,25 T (1) và (2) và do 1 < 2 suy ra kho ng cỏch l n nh t t O n d(m) là 2 0,25 Khi ú ưng th ng d cú cụng th c là x - y- 2 = 0 0,25 Cõu 5 A M B K O E G D C Cõu a Gi G là trung im BC thỡ OG ⊥ BC ( l) suy ra (1,5 ) 0,25 GB = GC và GE = GD ( l) 1 và OG là ưng trung bỡnh ∆ ADE nờn OG= AE hay AE = 2OG 0,25 2 Ta cú EB 2+EC 2= (BG-EG) 2+ (GC+ GD) 2=(BG-EG) 2+(BG+EG) 2 0,25 2 2 2 2 Suy ra EB +EC = 2(BG +EG ) Áp d ng nh lý Pi ta go vào cỏc tam giỏc vuụng OGE và OGB ta cú : 0,25 2 2 2 2 2 2 OG +GE = r và OG +GB = R Do ú EB 2+EC 2+EA 2=2(BG 2 +EG 2)+4OG 2 =2 (BG 2+OG 2)+2 (EG 2+OG 2) 0,25 2 2 = 2R +2r ( khụng i) B M G E O D A C Tr ưng h p c bi t : G≡ E ≡ D Thỡ ch ng minh trờn v n ỳng 0,25 Cõu b Hai tam giỏc ABC và ADE cú chung trung tuy n AG nờn cú chung tr ng tõm (1,5 ) 0,5
4. Mà tam giỏc ADE cú trung tuy n OE c nh , 0,5 Nờn im c nh K mà trung tuy n CM c a ∆ ABC i qua chớnh là tr ng tõm c a ∆ ADE 0,5 Cõu c (1 ) 3 Do H thu c tia AK, mà K là tr ng tõm ∆ ADE và AH = AK nờn H trựng 2 0,5 vi G ( là trung im chung c a hai on th ng DE và BC ) Mà ∆OGE vuụng t i E ( ch ng minh trờn) , O,E c nh (theo gt) ) 0,25 V y khi A di ng trờn ưng trũn (O; r) thỡ H di ng trờn ưng trũn ưng kớnh OE 0,25