Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 lần 1 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nghĩa Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 lần 1 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nghĩa Đồng (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN I TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút làm bài. x 3 x 2 x 1 x 9 Bài 1: (4 điểm) Cho P . x 6 x 9 x 3 x x 3 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P khi x=0,25. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2: (5 điểm) a) Tính 8 2 15 5 2 6 . 7 2 10 x4 6x3 9x2 2018 b) Cho x2 – 3x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:.P x4 9x2 6x 2018 c) Giải phương trình:2x2 7x 10 2x2 x 4 3x 3 . Bài 3: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n bé nhất để: F = n3 + 5n2 – 9n – 45 chia hết cho 239. b) Tìm số tự nhiên n để số A = n4 +2n3 – 2n2 + 8 là số chính phương. Bài 4: (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) sin cos 2 sin cos 2 ; c) sin .cos tan cot ; b)cot2 cos2 .cot2 ; d) tan2 sin2 .tan2 . Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC. b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M. Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng. d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui. HẾT Lưu ý: Thí sinh không được dùng máy tính bỏ túi.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 Bài Nội dung Điểm ĐKXĐ: x 0; x 9 0,5 2 x 1 a) P . 2 x 2 0,25 1 1 (4đ) b) Với x 0,25 Ta có: P 0,5 0,5 0,25 2 x 1 1 1 c) P = x 2 2 x. 2 2 2 0 . 0,5 x x x Dấu bằng xảy ra khi x 1 (TMĐKXĐ). Vậy minP 0 x 1 0,5 2 2 8 2 15 5 2 6 ( 5 3) 3 2 a) Ta có 1 1 2 7 2 10 5 2 b) Ta có: x2 – 3x – 1 = 0 x2 – 3x = 1 (x2 – 3x)2 = 1 x4 – 6x3 + 9x2 = 1 ; Mặt khác: x2 – 3x – 1 = 0 x2 = 3x + 1 x4 = (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1. 1,5 1 2018 2019 P 1. 0,5 2 (5đ) 1 2018 2019 c) ĐK: x Đặt u 2x2 7x 10; v 2x2 x 4 u 0, v 0. 0,5 Suy ra u2 v2 6x 6, 2 3x 3 2 u v . 2 2 Từ u v 2 u v ta có u v u v 2 0 . Vì u v 0 nên 0,5 u v 2 0 suy ra u v 2 hay là 2x2 7x 10 2x2 x 4 2 0,5 3x 1 0 Do đó 2 2x2 x 4 3x 1 x 3 (TM) 2 0,5 x 2x 15 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 3 . a) Ta có: F = n3 + 5n2 – 9n – 45 = (n – 3)(n + 3)(n + 5). 0,5 Thử với n = 0; 1; 2 thì F đều không chia hết cho 239. 0,5 Thử với n = 3 thì F = 0 chia hết cho 239. 0,5 Vậy số tự nhiên bé nhất cần tìm là: n = 3. b) A= n4 2n3 2n2 8 = n 1 2 1 n 2 2 0,5 3 (3đ) Ta có:Với n 0 A 8 , không chính phương Với n 1 A 9 là chính phương. 0,5 Với n > 1 thì (n-1)2 1) (n-1)2 +1 không thể là số chính phương khi n > 1. 0,5 Vậy khi n = 1 thì A là số chính phương.
3. Rút gọn các biểu thức: a) sin cos 2 sin cos 2 ; 0,5 4 (2đ) b) sin .cos tan cot ; 0,5 c)cot2 cos2 .cot2 ; 0,5 d)tan2 sin2 .tan2 . 0,5 0,5 a) Đặt BH = x (0 < x < 6) BC = x + 6,4 AB2 = BH.BC 62 = x(x + 6,4) x = 3,6 0,5 BC = 10cm; AC = 8cm. 0,5 b) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE = AH 5 (5đ) Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA 0,5 AH2 = HB.HC, suy ra AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA AH4 = BD.CE.BC.AH 0,5 AH3 = BD.CE.BC Vậy DE3 = BD.CE.BC 0,5 c) Chứng minhC· NH =B· HM , HD = AE Gọi giao điểm của NA với HD là M’. Ta có: NE NC NE AE HD HB HD AE cos2 C· NH . ; cos2 B· HM . NC NH NH M ' H HB HM HM HM 0,5 AE AE Suy ra M ' H MH M ' H MH Nên M’ trùng M M, A, N thẳng hàng. 0,5 d) Có BM//CN, BD // NE, MD // CE BDM ∽ NEC BD/NE = DM/EC (1) Gọi I là giao của MC với DE DI/EI = DM/EC (2) 0,5 Gọi I’ là giao của BN với DE DI’/EI’ = BD/NE (3) Từ (1), (2), (3) DI/EI = DI’/EI’ I và I’ trùng nhau. Vậy BN, CM, DE đồng qui. 0,5