Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm bài (trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi; không làm bài vào đề thi. A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1. Cho phương trình x2 mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm kép là A. 4; 4. B. 4. C. 4. D. 16. Câu 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y 5 x và y 5 x bằng A. 70o. B. 30o. C. 90o. D. 45o. 3 10 6 3 3 1 2018 Câu 3. Cho x . Giá trị của biểu thức x3 4x 2 bằng 6 2 5 5 A. 22018. B. 22018. C. 0. D. 1. Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B( 2018;1). Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là x x A. y . B. y . C. y 2018x. D. y 2018x. 2018 2018 Câu 5. Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ? 1 A. P 2 với mọi x . B. Pvới mọi 2 . x 1 2 1 C. Pvới mọi 2 2x 1 x 1. D. P 2 2x 1 với mọi x 1. 2 Câu 6. Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết rằng M cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x. Hoành độ của điểm M bằng 1 A. 2 2. B. 2 2. C. . D. 2. 2 Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M 2018;2018 đến đường thẳng y x 2 bằng A. 2. B. 2. C. 4. D. 1. 2 Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A m;m -10 .Khi m thay đổi thì khẳng định nào 3 dưới đây đúng ? A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố định. B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định. C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định. D. Điểm A thuộc đường thẳng y x 10. Câu 9. Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm và BC 5 cm. Kẻ đường cao AH, gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC. Độ dài của đoạn thẳng KI bằng A. 1,4 cm. B. 2 2 cm. C. 1,45 cm. D. 2 cm. Trang 1/3
2. Câu 10. Cho AB là một dây cung của đường tròn O; 1 cm và ·AOB 150o. Độ dài của đoạn thẳng AB bằng A. 2 cm . B. 2 3 cm. C. 1 5 cm. D. 2 3 cm. Câu 11. Cho hai đường tròn I;3 và O;6 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng A. 6. B. 12. C. 18. D. 20. Câu 12. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Gọi x, y lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của 1 1 tam giác ABC và tam giác ABD. Giá trị của biểu thức bằng x2 y2 3 1 A. 4. B. 2. C. . D. . 2 4 Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O; R đường kính AC và dây cung BD R 2. Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA. Giá trị của biểu thức xy zt bằng 2 2 A. 2 2R2. B. 2R2. C. R2. D. R2. 2 4 Câu 14. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I;2 cm) và nội tiếp đường tròn O;6 cm . Tổng khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng A. 8 cm. B. 12 cm. C. 16 cm. D. 32 cm. Câu 15. Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15,20 thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng A. 5. B. 4. C. 3. D. 6 . Câu 16. Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để rào. Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng rau an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 400 m2. B. 450 m2. C. 225 m2. D.550 m2. B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) Cho a2 b c b2 c a 2018 với ađôi,b ,mộtc khác nhau và khác không. Tính giá trị của biểu thức c2 a b . b) Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn a b c 91 và b2 ca. Câu 2 (3,5 điểm). a) Giải phương trình x2 2x x2 2x 2 0. b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B .Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét). Câu 3 (4,0 điểm). Trang 2/3
3. Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O (B,C là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E (AD AE). Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N. a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M , E, N, I cùng thuộc một đường tròn T . b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau. c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4 (1,5 điểm). 3a b 3b c 3c a Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba cạnh của a2 ab b2 bc c2 ca một tam giác. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3/3
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C B,D A,B B A Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 D B C A C A A B B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) a) Cho a2 b c b2 c a 2018 với đôia,b ,mộtc khác nhau và khác không. Câu 1 Tính giá trị của biểu thức c2 a b . Điểm 3,0 điểm b) Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn a b c 91 và b2 ca. 2 2 a b a b 1 Ta có a b c b c a . 0,25 bc ab ab ca c b a c 2 a) Suy ra ab bc ca 0 bc a b c abc a b c 2018.(1) 0,5 1.5 điểm ab bc ca 0 ab c a b abc c2 a b .(2) 0,5 Từ (1) và (2) ta được c2 a b 2018. 0,25 Đặt b qa;c q2a q 1 thì ta được a 1 q q2 91 13.7. 0,25 Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được a 1 a 1 0,25 a 1;b 9;c 81. 2 1 q q 91 q 9 a 7 a 7 a 7;b 21;c 63. 2 0,25 1 q q 13 q 3 b) a 13 a 13 1,5 điểm a 13;b 26;c 52. 2 0,25 1 q q 7 q 2 x Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q x 3; y 2 . y 0,25 Khi đó a 1 q q2 91 a x2 xy y2 91y2 x2 xy y2 19 ax2 a Ta có c ¥ ¥ a ty2 x2 xy y2 91 x 6; y 5. y2 y2 0,25 và a 25;b 30;c 36. Vậy có 8 bộ số a;b;c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ; a) Giải phương trình x2 2x x2 2x 2 0. b) Hai vị trí A và B cách nhau 615m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng Câu 2. cách từ đếnA, B bờ sông lần lượt là 1và18 m 4 (tham87m khảo hình vẽ dưới đây). 3,5 điểm Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Trang 4/3
5. x2 2x x2 2x 2 0 x2 2x 2 x2 2x 2 2 0. 0,25 x2 2x 2 1(L) 0,25 2 x 2x 2 2 0,25 a) x2 2x 2 4 x2 2x 2 0 0,25 1.5 điểm x 1 3 0,25 . x 1 3 0,25 b) 2,0 điểm Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông. Đặt CE x 0 x 492 2 0,25 Ta có CD 6152 487 118 492. Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB 0,25 x2 1182 492 x 2 4872 2 2 0,25 Ta có với mọi a,b,c,d thì a2 b2 c2 d 2 a c b d (1). Thật vậy 1 a2 b2 c2 d 2 2 a2 b2 c2 d 2 a c 2 b d 2 a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac bd 0 bình phương hai vế ta được 0,25 (2) trở thành ad bc 2 0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc. 0,25 2 2 0,25 Áp dụng (1) thì AE EB x 492 x 487 118 608089 779,8m Dấu đẳng thức xảy ra khi 487x 118 492 x x 96m 0,25 Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m 0,25 Câu 3 Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC 4,0 điểm với O (B,C là các tiếp điểm), một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E(AD AE). Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N. a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, chứng minh rằng bốn điểm M , E, N, I cùng thuộc một đường tròn T . b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau. c) Chứng minh rằng IT luôn đi qua một điểm cố định. Trang 5/3
6. a) 1,5 điểm 0,25 Ta có ·ABO ·ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ABOC . Suy ra DMA đồng dạng 0,25 DNJ Suy ra DM.DN DA.DJ 0,25 1 0,25 Mà DA 2DI; DJ DE. 2 Nên DM.DN DI.DE DMI đồng dạng DEN 0,25 Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm. 0,25 b) Dễ thấy khi MN  OA thì O và T tiếp xúc nhau tại E. 0,25 1,5 điểm Khi MN không vuông góc OA. Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của 0,25 O tại E. Ta có O, J, K thẳng hàng 0,25 Trong tam giác OEK : KJ.KO KE 2 (1) ( Định lý hình chiếu) 0,25 Trên đường tròn ABOC ta có KJ.KO KN.KM (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra KE 2 KN.KM nên KE tiếp xúc T 0,25 c) Ta có O· ED O· DE T· IE 0,25 1,0 điểm Nên IT POD. Gọi W OA IT. 0,25 Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm) 0,25 Khi MN  OA thì W IT. 0,25 3a b 3b c 3c a Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba a2 ab b2 bc c2 ca cạnh của một tam giác. Giả sử a b c t và đặt a tx;b ty;c tz x y z 1. 0,25 t 3x y t 3y z t 3z x Ta chứng minht x y z 9 2 2 2 2 2 2 t x xy t y yz t z zx 3x y 3y z 3z x 0,25 2 2 2 9. x xy y yz z zx Câu 4 4x x y 4y y z 4z z x 4 1 4 1 4 1 1,5 điểm 9 9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z Trang 6/3
7. 5x 1 5y 1 5y 1 0,25 9 x x2 y y2 z z2 1 Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a b c x, y, z 0; . 2 0,25 Ta có: 5x 1 2 1 2 18x 3 3x 1 2x 1 0 đúng x 0; x x 2 0,25 5y 1 2 1 2 18y 3 3y 1 2y 1 0 đúng y 0; y y 2 5z 1 2 1 2 18z 3 3z 1 2z 1 0 đúng z 0; z z 2 5x 1 5y 1 5y 1 5x 1 5y 1 5y 1 0,25 Suy ra 18 x y z 9 9 x x2 y y2 z z2 x x2 y y2 z z2 Hết Trang 7/3