Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Lâm Thao (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Lâm Thao (Có đáp án)

1. PHỊNG GD& ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi cĩ 02 trang) I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2x 1 5 2 là : A. x 25 1 1 1 B. x C. x 4 D. x 25 2 2 2 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 x 3 với x 3 là : A.-3 B. 3 C.-4 D.4 Câu 3. Cho x 3 5 2 6 3 5 2 6 thì giá trị biểu thức N x3 3x 2008 là A.2017 B.2018 C.2019 D. 2020 2 1 Câu 4 . Gĩc tạo bởi đường thẳng y x và trục Ox là: 3 2 A. 146019/ B. 33042/ C. 146030/ D. 33069/ Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3 ; B 3; 1 ;C 4; 2 thì diện tích tam giác ABC là: A. 20 B. 18 C. 17 D. 15 Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng y m(m 3)x 5m 2 và đường thẳng y (m 8)x m(m 4) song song là : A.m 4 B. m 2;m 1 C.m 2 hoặc m 4 D. m 2;m 1 mx 2y m 1 Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình : cĩ nghiệm duy nhất là 2x my 2m 1 A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. Giá trị khác x y 4m 1 Câu 8. Cho hệ phương trình : 2x y 5(m 1) Tìm m để hệ cĩ nghiệm (x;y) thỏa mãn x 3y 13 A. m 2 B. m 2 C. m 4 D. m 4 x y 2(m 1) Câu 9. Cho hệ phương trình 2x y m 8 Hệ cĩ nghiệm duy nhất x; y thì giá trị nhỏ nhất của x2 y2 là: A.-2 B. 20 C.16 D.18 Câu 10. Cho tam giác ABC vuơng tại A đường cao AH kẻ HD  AB, HE AC (H BC,D AB,E AC) thì AD.BD+AE.EC bằng: A. DE 2 B. BC2 C. AH 2 D. 2AH 2 4 Câu 11. Một tam giác vuơng cĩ tỉ số hai cạnh gĩc vuơng bằng thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh 9 gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền là: 2 16 4 9 A. B. C. D. 3 81 9 4 3 Câu 12. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC = 21cm, cosC = . Khi đĩ tanB là : 5 3 4 21 35 A. B. C. D. 4 3 35 21
2. Câu 13 Cho tam giác đều cĩ độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ là: a a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 3 6 2 3 Câu 14. Cho đường trịn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho AC=2cm kẻ CD vuơng gĩc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD : 5 7 5 D. 1,5cm A. cm B. cm C. cm 3 4 4 Câu 15. Cho đường trịn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là: A. 20cm B. 25cm C. 30cm D. 35cm Câu 16. Nêú bạn An đi lên mơt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước . Hỏi thang cuốn cĩ bao nhiêu bước. A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) T×m nghiƯm nguyªn cđa ph­¬ng tr×nh : 1 x x2 x3 y3 b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2 x 6 là một số chính phương Câu 2 (3,5 điểm) a)Giải phương trình: 2x2 5x 5 5x 1 x2 y2 1 10y2 b) Giải hệ phương trình : xy x 1 7y Câu 3 (4,0 điểm) . 1.Cho đường trịn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trịn , điểm M thuộc nửa đường trịn (sao cho tia Ax, By và nửa đường trịn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H. a) Chứng minh MK vuơng gĩc với AB và MK=KH. b) Vẽ tam giác vuơng cân MBE đỉnh B ra phía ngồi nửa đường trịn (O) (BE và BD cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường trịn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luơn đi qua một điểm cố định. 2.Cho tam giác ABC cĩ AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC, (a b c)2 BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2 2 2 4 ha hb hc Câu 4 (1,5 điểm). Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 1 1 1 P 21 a b c 12 a b c 2017 a b c HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 2
3. NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 9 I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm) Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu cĩ 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A,C 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.B II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) Câu 1 (3,0 điểm) a) T×m nghiƯm nguyªn cđa ph­¬ng tr×nh :1 x x2 x3 y3 b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x2 x 6 là một số chính phương. ĐÁP ÁN ĐIỂM b) (1,5 điểm)Ta cĩ 2 2 2 1 3 2 11 19 x x 1 x 0;5x 11x 7 5 x 0 0,5 2 4 10 20 x3 x2 x 1 1 x x2 x3 8 12x 6x2 x3 5x2 11x 7 x3 1 x x2 x3 x 2 3 0,5 vì x, y Z mà y3 1 x x2 x3 Suy ra 3 2 3 x 0 x 1 1 x x x x x 1 0 x 1 0,5 Voi x 0 y 1 Voi x 1 y 0 Vay x; y 0;1 ; 1;0  b) (1,5 điểm) x2 x 6 n2;(n,x Z) 4x2 4x 24 4n2 4x2 4x 1 4n2 23 0,75 2x 1 2n 2x 1 2n 23;2x 1 2n 2x 1 2n 2x 1 2n -1 -23 2x 1 2n 23 1 4x 2 22 -22 x 5 -6 0,75 Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc –6 Câu 2 (3,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 5x 5 5x 1 3
4. x2 y2 1 10y2 b) Giải hệ phương trình : (I) xy x 1 7y ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x 5 2x2 5x 5 5x 1 2 x2 3x 2 x 1 5x 1 0 0,5 2 x 1 2 5x 1 2 x2 3x 2 0 x 1 5x 1 2 2 x 3x 2 2 1 0,5 2 x 3x 2 0 x 3x 2 2 0 x 1 5x 1 x 1 5x 1 1 1 do x 2 0 5 x 1 5x 1 2 x 1 0,5 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 S 1;2 b)( 2 điểm) ta thấy y=0 khơng thoả mãn hệ (I) với y 0 2 2 1 x 10 1 x 2 x 2 10 0,5 y y y (I) x 1 x 7 x 1 x 7 y y y y đặt 1 S x y x P y S 2 2P 10 P 7 S S 6 S 4 0,5 thay vào (II) ta được 2  S P 7 S 2S 24 0 P 13 P 3 S 4 1 2 t 1 Với => x và là 2 nghiệm của phương trình t 4t 3 0 t 1 t 3 0 P 3 y t 3 x 1 x 1 * 1 1 3 y y 3 x 3 x 3 * 1 1 y 1 y 4
5. S 6 1 suy ra x và là 2 nghiệm của phương trình P 13 y 2 0,5 t 2 6t 13 0 t 3 4 0 Vo nghiem 1  x; y 1; ; 3;1  3  0,5 Câu 3 (4,0 điểm) . 1.Cho đường trịn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trịn , điểm M thuộc nửa đường trịn (sao cho tia Ax, By và nửa đường trịn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H. a) Chứng minh MK vuơng gĩc với AB và MK=KH; b) Vẽ tam giác vuơng cân MBE đỉnh B ra phía ngồi nửa đường trịn (O) (BE và BD cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường trịn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luơn đi qua một điểm cố định. 2.Cho tam giác ABC cĩ AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, (a b c)2 AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng. 2 2 2 4 ha hb hc . F D E M C K A H O B N ĐÁP ÁN ĐIỂM a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta cĩ: AC = CM, BD = DM. Vì Ax và By cùng vuơng gĩc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta 5
6. KD BD KD MD cĩ: MK // AC mà AC  AB MK  AB 1,0 KA AC KA MC KH BK KM DK KD BK Ta cĩ (1); (2); (3);Tu (1)(2)(3) ta cĩ : AC BC AC DA AD BC 1,0 KH MK MK KH AC AC b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với MB. Ta cĩ B· EF = 900 . Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g) 0,5 AB = BF=2R BF khơng đổi, F thuộc tia By cố định F cố định. Vậy khi M di chuyển trên nửa đường trịn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và 0,5 song song với MB luơn đi qua điểm cố định F. c) ( 1 điểm) D c ha d A b ha c ha H B C a Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD 2ha , AD c 2 Trong tam giác ACD ta cĩ DC AD AC c b DC 2 b c dấu “=: xảy ra khi ABC A 600 mà trong tam giác vuơng DBC 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 DC BD BC 4ha a 4ha b c a b c a b c a ,(1) 2 2 Tương tự 4hb a c b b c a ,(2);4hc a b c b c a ,(3) Từ (1);(2);(3) ta cĩ: 2 2 2 2 4ha 4hb 4hc a b c b c a a c b a b c a b c a b c 2 2 2 2 4 ha hb hc 0,5 Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều 6
7. Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 2 2 2 1 1 1 P 21 a b c 12 a b c 2017 a b c ĐÁP ÁN ĐIỂM Ta cĩ Theo BĐT Bunhiacơpky ta cĩ 3 a2 b2 c2 a b c 2 ; 1 1 1 1 1 1 9 0,5 Mặt khác a b c 9 a b c a b c a b c Nên 2 18153 2 8 8 17849 P 19 a b c 19 a b c Q 0,5 a b c a b c a b c a b c Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho 3 số dương ta cĩ 2 8 8 17849 17849 18305 P Q 19.33 a b c . . 228 a b c a b c 2 2 2 a b c 0 18305 2 Min(P) a b c 2 a b c 2 3 0,5 2 8 a b c a b c HẾT Chú ý : - Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25 - Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng phần trong hướng dẫn chấm 7