Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 7 THCS

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học 7 THCS

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm): 3 3 3 1 1 1 a) Tính A = 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8 b) Chứng minh rằng với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10. Câu 2 (4,0 điểm): a) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3 1 1 1 1 1 2 3 2015 2016 A b) Cho A= ; B = . Tính 2 3 4 2017 2016 2015 2014 2 1 B Câu 3 (3,0 điểm): a) Cho x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 . Tính giá trị của : A = 5 x2y2016z2017 2017 2016 a c a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 b) Cho các số dương a,b,c,d; c d và . CMR 2017 2016 b d c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 Câu 4 (3,0 điểm): 1 1 1 1 1 a) Cho a + b + c + d = 2000 và a b c b c d c d a d a b 40 a b c d Tính giá trị của : S = b c d c d a d a b a b c 2016 2017 b) Xác định tổng các hệ số của đa thức f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 Câu 5 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Hết Họ và tên thí sinh:: SBD Chữ ký giám thị 1: Giám thị 2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN KIM THÀNH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn : Toán lớp 7 Câu Ý Nội dung Điểm 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. 4 11 13 0,75 A = 4 11 13 2 3 4 = 2 3 4 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5 1 1 1 5. . 4 11 13 4 6 8 a 4 11 13 2 2 3 4 3 1 3 2 0,75 (2,0) A = = . 1 5 5 5 5 (4,0) 2 5 0,5 A= 1 . Vậy A = 1 5 Ta có 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) 0,5 b = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 ) 0,5 (2,0) = 3n .10 - 2n-1.10 0,5 = ( 3n - 2n-1 ).10  10. Vậy 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n  10 0,5 Ta có x + 2y = 3xy + 3 3x + 6y = 9xy + 9 ( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7 0,25 3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) = 7 ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 7 0,25 Vì x, y Z nên 3x – 2 ; 1-3y là các số nguyên. Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7 3x – 2 ; 1-3y là ước của 7. 0,5 a Ta lại có Ư(7) = 1; 7 3x – 2 ; 1-3y 1; 7 0,25 (2,0) Bảng giá trị 3x-2 -7 -1 1 7 2 1-3y -1 -7 7 1 (4,0) x -5/3 1/3 1 3 y 2/3 8/3 -2 0 KTM KTM TM TM 0,5 Vậy (x,y) 1; 2 ; 3;0  0,25 1 2 3 2015 2016 B = B= 2016 2015 2014 2 1 1 2 3 2015 b 1 1 1 1 1 2016 2015 2014 2 0,75 (2,0) 2017 2017 2017 2017 2017 B = 2016 2015 2014 2 2017
3. 1 1 1 1 0,75 B = 2017. 2 3 4 2017 A 1 0,5 Do đó = B 2017 Vì x 2 0 với  x; y 1 0 với  x ;( x+y-z-2)2016 0 với  x,y,z 0,25 Do đó x 2 y 1 (x y z 2)2016 0 khi x 2 0 x 2 0 x 2 a (1,5) y 1 0 y 1 0 y 1 0,5 2016 x y z 2 0 z 1 x y z 2 0 Do đó A = 5. 22 .12016 .12017 = 5.4.1.1 = 20 0,5 3 Vậy A = 20 0,25 (3,0) a c a b Vì a,b,c,d là các số dương và c d, mà nên b d c d 0,25 2017 2017 a 2016 b 2016 a 2016 b 2016 a 2016 a 2016 b 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 c d c d c c d 2017 a 2016.2017 a 2016 b 2016 hay 2016.2017 2017 (1) 0,25 c c 2016 d 2016 2016 2016 a 2017 b 2017 a 2017 b 2017 a 2017 a 2017 b 2017 b c 2017 d 2017 c 2017 d 2017 c 2017 c 2017 d 2017 (1,5) 2016 a 2017.2016 a 2017 b 2017 hay 2017.2016 2016 (2) 0,25 c c 2017 d 2017 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Từ (1) và (2) 2017 2016 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 0,5 2017 2016 a 2016 b 2016 a 2017 b 2017 Vậy 2017 2016 0,25 c 2016 d 2016 c 2017 d 2017 a b c d Ta có S = b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d a b c d a b c d S + 4 = 0,25 b c d c d a d a b a b c 1 1 1 1 4 a S + 4 = (a + b + c+ d ). 0,25 (3,0) (1,5) b c d c d a d a b a b c Do đó S = - 4 + 2000. 1 40 0,5 = -4 + 50 = 46 . Vậy S = 46 0,5
4. Vì tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng f(1). Mà đa thức 0,5 2016 2017 f(x) = 5 6x x2 . 5 6x x2 b 0,5 có f(1) = ( 5-6.1+12 )2016. ( 5+6.1+12 )2016 (1,5) 0,25 = 0.(5+6.1+12 )2016 = 0 0,25 Vậy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 E A D a 0,5 (2,0) K I C B Ta có: AD = AB; D· AC = B· DE và AC = AE 0,75 Suy ra ADC = ABE (c.g.c). Vậy ADC = ABE 0,75 Từ ADC = ABE (câu a) => ·ABE = ·ADC 0,25 mà B· KC = ·AKD (đối đỉnh). · · 0 Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK =DAK = 60 (đpcm) 0,5 5 E (6,0) A D b J N (2,0) K M I C B 0,25 Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ·ACM = ·AEN · · ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM = EAN 0,5 M· AN =C· AE = 600 Do đó AMN đều. 0,5 Vậy AMN đều. Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều 0,5 c · · 0 0,5 (2,0) BJ = BI và JBI =DBA = 60 suy ra I·BA J· BD , kết hợp BA = BD = 0,5 IBA = JBD (c.g.c) => ·AIB = D· JB = 1200 mà B· ID = 600
5. => D· IA = 600 0,5 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc : D· IE Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.