Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Môn thi: Toán 9

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Môn thi: Toán 9

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HOÁ Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình:x2 2mx 2m 1 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 2x1x2 3 x1, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2 khi m thay đổi. x1 x2 2(1 x1x2 ) 1 1 1 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng A a2 b2 c2 a b c là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 1 1 1 B là số hữu tỉ. (x y)2 (y z)2 (z x)2 2 2 x x 10 Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: . x 1 x 1 9 2 1 1 x x 1 4 y y 2) Giải hệ phương trình: 2 3 x x 1 x 2 3 4. y y y Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính B· PE. Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N P ). 1) Chứng minh rằng ·ANP B· NP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 1) Cho a1,a2 , ,a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130. Đặt d j a j 1 a j , ( j 1,2, ,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần. 2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2011. a2 b2 c2 1 2011 Chứng minh rằng: . b c c a a b 2 2 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS (Gồm có 3 trang) Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Câu I 1) Ta có ' (m 1)2 0,m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5 6 đ 2,5đ 4m 1 1,0 Theo định lí viet, ta có x x 2m, x x 2m 1 , suy ra P 1 2 1 2 4m2 2 (2m 1)2 1 1,0 1 1. Max P 1, khi m . 4m2 2 2 2a) Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca 0 0,5 1,5đ Suy ra A (a b c)2 a b c là số hữu tỉ 1,0 2b) 1 1 1 1 1 1 0,5 Đặt a , b ,c suy ra . 1,0đ x y y z x z a b c 1 1 1 0,5 Áp dụng câu 2a) suy ra B là số hữu tỉ. (x y)2 (y z)2 (z x)2 Câu II 1) Đk: xPhương 1. trình tương đương với 1,0 6 đ 2,5đ 2 2 2 2 2 x x x 10 2x 2x 10 2 2 2 2 0. x 1 x 1 x 1 9 x 1 x 1 9 2x2 10 5 2 0,5 Đặt t , ta được phương trình t 2 t 0 t hoặct x2 1 9 3 3 5 2x2 5 0,5 Với t , ta được (vô nghiệm) 3 x2 1 3 2 2x2 2 1 0,5 Với t , ta được suy ra x . 3 x2 1 3 2 2) 1 1 0,5 x2 x 4 2,5đ 2 y y Đk: y 0. Hệ tương đương với 3 1 x 1 x 3 x 4. y y y 1 1,0 u x 2 2 y u u 2v 4 u 4u 4 0 u 2 Đặt ta được hệ x u3 2uv 4 u2 u 4 2v v 1. v , y
3. 1 1,0 x 2 u 2 y x 1 Với ta được (thoả mãn điều kiện) v 1, x y 1. 1 y Câu Kẻ EF  AC tại F, DG  BC tại G. 0,5 III Theo giả thiết S( ADPE) S(BPC) 2đ S( ACE) S(BCD). Mà AC BC EF DG và µA Cµ 0,5 Suy ra AEF CDG AE CG. Do đó AEC CDB(c g c) D· BC E· CA 0,5 B· PE P· BC P· CB P· CD P· CB 600 0,5 Câu 1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 1,0 IV 3,0đ chung của (O) với (C), (D) tại A, B 4,0đ tương ứng. Suy ra ·ANP Q· AP Q· BP B· NP. Ta có N H O 0,5 ·ANB ·ANP B· NP Q· AP Q· BP C D 1800 ·AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1). A Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) P B Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B 0,5 cùng nằm trên một đường tròn. E Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên 0,5 một đường tròn. Ta có O· CN 2O· AN 2O· BN O· DN , Q suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm 0,5 trên một đường tròn. 2) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 1,0 1,0đ các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. Câu V 1) d1 d2 d44 (a2 a1) (a3 a2) (a45 a44) a45 a1 130 1 129. (1) 0,5 2đ 2,0 Nếu mỗi hiệu d ( j 1,2, ,44) xuất hiện không quá 10 lần thì đ j d d d 9(1 2 3 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1). 1 2 44 1,5 Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j ( j 1, ,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần 2) Ta có 2(a2 b2 ) (a b)2 . 0,5 2,0đ
4. a2 b2 c2 a2 b2 c2 Suy ra b c c a a b 2 b2 c2 2 c2 a2 2 c2 a2 Đặt x b2 c2 , y c2 a2 , z a2 b2 , y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 suy ra VT 1,0 2 2x 2 2y 2 2z 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 x y z 2 2 2x 2y 2z 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 2x 3x 2y 3y 2z 3z 2 2 2x 2y 2z 0,5 1 2(y z) 3x 2(z x) 3y 2(x y 3z 2 2 1 1 2011 Suy ra VT (x y z) 2 2 2 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.