Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 năm 2015 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 năm 2015 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai (Có đáp án)

1. BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG ĐỒNG NAI NĂM 2015 BÀI 1.1: Giải phương trình : (x2 – 4x +3)(x2 - 6x + 8) = 3 x2 – 4x 3 x2 6x 8 3 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 3 x2 5x 4 x2 5x 6 3 2 2 5 9 9 gt x 5x 4 x t 2 4 4 t(t 2) 3 t 1(n);t 3(l) 5 13 x2 5x 4 1 x 2 4 3 2 1.2) Chứng minh : x 5x 11x 12x 6 0;x 2 2 4 3 2 Đặt VT x ax b x cx d x (a c)x (b ac d)x (ad bc)x bd Đồng nhất hệ số: a c 5 b ac d 11 a 2;b 2;c 3; d 3 ad bc 12 bd 6 VT x 2 2x 2 x 2 3x 3 2 gx 2 2x 2 x 1 1 0;x 2 2 3 3 gx 3x 3 x 0;x 2 4 VT 0;x Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 + 5y2 = 255 3x2 5y2 255 5y2 255-3x2 85 x 85;do x ¢ -9 x 9 (1) Mặt khác : vì 5 y 2  5, 225 5 3 x 2  5 x 2  5 x  5 (2) (1) & (2) x 5; 05 gx 5 y 6(n ) gx 0 y 2 51(l ) gx 5 y 6(n ) Vậy (x;y) = (-5;6),(-5;-6),(5;6),(5;-6) Bài 3.1: cho hai số thực a,b ,a 0,3a b . Chứng minh : 3a b a 3a b 3 a 2 a(a b) b Đặt : u 3a b;v a u 0;v 0 3a b a 3a b 3 a u v u 3v u2 2uv 3v2 3a b 2 a(3a b) 3a 2 a(3a b) b 6x xy 2 0 3.2 : Giải hệ phương trình : 2 (x 2)(3x y) y 6 1
2. 6x xy 2 0 (1) ; y 6 2 (x 2)(3x y) y 6 (2) (2) 12x2 4(6 y)x y2 20y 36 0 = 4y 24 2 y 2 x y 2x 2 2 y 18 x y 6x 18 12 x 1 2 y 4 2 2(n) gy 2x 2 (1) x2 2x 1 0 x 1 2 y 4 2 2(l) 1 33 x y (l) (1) 2 4 2 y 6x 18  8x 6x 1 0 1 x y 15(l) 2 S 1 2; 4 2 2 Bài 4 : Trong mặt phẳng ,cho 10 đường tròn thỏa : i)với 2 đường tròn bất kì luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ii)không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điệm Hỏi 10 đ.tròn đã chia mf thành bao nhiêu phần . Gọi n là số đường tròn Un là số phần của mặt phẳng mà n đường tròn chia ra ( không kể phần mặt phẳng nằm ngoài các đường tròn) Ta có : U1 = 1 U2 = 3 = 1 + 2 U3 = 7 = 1 + 2 + 4 U4 = 13 = 1+ 2 + 4 + 6 U10 = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 91 Kể cả phần mặt phẳng nằm ngoài các đường tròn thì 10 đ,tròn đã chia mf thành 92 phần Bài 5: Cho ABC nhọn. Hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H .Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AB và DE . CM cắt đường tròn ngoại tiếp CDE tại P khác C . CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại Q khác C. 1) Chứng minh : MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CDE CD PD 2) Chứng minh CE PE 3) Xác định đường trung trực của QP. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE I cũng là tâm đ.tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE (do H· DC H· EC 1800 ) Ta có : M· DA M· AD (DM là đường trung tuyến của tam giác vuông ADB) M· AD I·CD (Cùng phụ với góc ABC) I·DC I·CD (IC,ID là bán kính của (I)) M· DA I·DC M· DA H· DI I·DC H· DI M· DI H· DC 900 MD là tiếp tuyến của (I) 2
3. A Q M E P O H N I B D C 5.2)Ta có : CD DM CDM : DPM (C· MD chung và M· CD M· DP (cùng chắn cung PD) (1) PD PM Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có ME là tiếp tuyến của (I) CE EM CEM : EPM (C· ME chung và M· CE M· EP (cùng chắn cung PE) (2) PE PM Mà DM = EM (cùng bẳng AB:2) (3) CD CE CD PD Từ (1),(2) và (3) PD PE CE PE 3)chưa nghỉ ra . 3