Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 - Môn thi: Toán học - Đề chính thức

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 - Môn thi: Toán học - Đề chính thức

1. UBND HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 02 trang) Ngày thi: 07/12/2014 Câu 1. (3,0 điểm) (x2 4) 2 16 x 2 Cho biểu thức A ( x 5)2 20 x với 0 < x < 5 x2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 2. (5,0 điểm) 2xy 1 3 y 1 a) Tính giá trị của biểu thức P ( x 1)( x 2) , biết x 3 . y2 y 7 3x b) Với giá trị nào của x thì biểu thức T có nghĩa. 2 x c) Cho x3 y 3 3( x 2 y 2 ) 4( x y ) 4 0 và xy 0.Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 biểu thức P . x y Câu 3. (4 điểm) a) Giải phương trình: 2x 2 2 2 x 3 8 x 11 4 2 x 3 8 . x2 4 x 5 b) Giải bất phương trình: (x 1) 0 . x 2 Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB<AD). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C; N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Gọi K là giao điểm của BN và AC. a) Chứng minh 5 điểm A, N, D, C, B cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó. 1 b) Gọi H là điểm nằm trên AC sao cho AH= AC, J là giao điểm của DH 3 và AB. Chứng minh IJ  AB. BN. BD c) Chứng minh SADMC = . 2
2. Câu 5. (4,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi M là điểm di động trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H. Từ A và B ta kẻ hai tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng các điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M. b) Chứng minh rằng tổng AC + BD không đổi. Xác định vị trí M để bán kính đường tròn tâm M là lớn nhất. c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng KA.KB = KO2 – R2. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm 1 a) 2 2 2 (x 4) 16 x 2 A 2 ( x 5) 20 x x (x2 4) 2 (x 5)2 x2 1,0 x2 4 x 5 0,5 x x2 4 4 5 x 5 ( do 0 x 5) 0,5 x x b) A có giá trị nguyên khi 4 nguyên hay 4 chia hết cho x. 0,5 x Do 0 < x < 5 nên x 1,2,4 0,5 2 a) 2xy 1 3 y 1 Tính P ( x 1)( x 2) , biết x 3 y2 y 2x 1 3 2 0,25 P x 3 x 2 2 yy y 2x 1 1 = x2 3( x ) 2 yy2 y 1 1 = (x )2 3( x ) 2 0,5 y y Vậy P = 2 0,25 b) 7 3x 0 0,5 T có nghĩa khi 2 x 0 7 x 0,5 3 0,5 x 2 c) Ta có: x3 y 3 3( x 2 y 2 ) 4( x y ) 4 0 x33 x 2 3 x 1 y 3 3 y 2 3 y 1 x y 2 0 0,5 3 3 (x 1) ( y 1) x y 2 0 2 2 (x y 2) ( x 1) ( y 1) ( x 1)( y 1) 1 0 1 3 0,5 (x y 2) (( x 1) ( y 1))2 ( y 1) 2 1 0 2 4 12 3 2 Vì ((x 1) ( y 1)) ( y 1) 1 0  x , y nên x + y + 2= 0 2 4 0,5 hay x + y = –2
4. Câu Nội dung Điểm 1 1 2 P .Vì (x y )2 4 xy 0 xy 1. x y xy 0,5 Suy ra P 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = –1 Vậy GTLN của P là –2 . 0,5 3 a) 2x 222 x 3 81142 x x 38 (*) 3 + Điều kiện: x 0,5 2 2 2 + (*) (2x 31) (22 x 31) 8 0,5 2x 3 1 2 2 x 3 1 8 2x 3 2 0,5 2x 3 4 7 0,5 x () n 2 b) x2 4x 5 (x 1) 0 x 2 x2 4x 5 (x 1)(x 2) 0 0,5 x 2 3x 7 0,25 0 x 2 3x 7 0 (1) x 2 0 0,5 3x 7 0 (2) x 2 0 7 x 7 (1) 3 2 x 3 x 2 0,25 7 x (2) 3 (vô lí) 0,25 x 2 7 Vậy nghiệm bất phương trình: 2 x 0,25 3 4 N A D K H J I M B C
5. Câu Nội dung Điểm a) Ta có A, B, C, D cùng thuộc đường tròn có tâm I là giao điểm 0,25 của AC và BD BN  DM (gt) hay N nhìn BD dưới 1 góc vuông, suy ra N thuộc 0,5 đường tròn đường kính BD Vậy A, N, D, C, B cùng thuộc đường tròn có tâm I là giao điểm 0,25 của AC và BD b) 1 1 2 0,5 Ta có AH AC AH .2 AI AI 3 3 3 (vì I là trung điểm của AC) Vậy H là trọng tâm của ABD 0,25 J là trung điểm của AB 0,25 IJ//AD IJ  AB 0,5 c) Từ gt C là trung điểm BM và I là trung điểm BD nên CI  DM 0,5 hay AC  MN BN  AC tại K là trung điểm BN 1 1 1 SADMC = SABCD = 2SABC = 2. .BKAC . BNAC . BNBD . 2 2 2 0,5 5 C M D A O H B K a) * Theo tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn xuất phát từ một điểm ta có: DMB HMB  0,5  DMB CMA HMB HMA AMB 900 CMA HMA  DMB AMB CMA 1800 Suy ra C, M, D thẳng hàng 0,5 * ACDB là hình thang vuông có OM là đường trung bình nên OM vuông góc CD. Hay CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O 0,5 tại M b) * Theo tính chất đường trung bình trong hình thang: AC BD 0,5 OM R AC BD 2 R (không đổi) 2 2 2 AH HB AB * MH AH. HB MH R 0,5 2 2 MH lớn nhất bằng R khi AH = HB lúc đó M là trung điểm cung 0,5 AB
6. Câu Nội dung Điểm c) 1  MAB KMB ( sd MB ) 2  AMK MBK 0,5 MKA MKB  AK MK MK2 KA. KB 0,5 MK BK 2 2 2 2 2 Mà theo định lý Pitago MK KO – MO = KO – R 0,5 Vậy KA.KB = KO2 – R2 Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng, lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.