Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 THCS - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 THCS - Môn: Toán

1. PGD&ĐT NINH GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/11/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,5 điểm): a) Phân tích đa thức 3x22 10xy 3y thành nhân tử . xx 3 22 9 b) Rút gọn biểu thức A= ( Với x 3 ;x 3 ) 2xx 6 2 9 Câu 2 (2,0 điểm): a)Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x y 4z 1 y z 4x 1 z x 4y 1 b)Giải phương trình 3x2 5 x 1 x 2 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 4 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 6x 2xy y 10 b) Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x33 y2 xy . Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ Câu 4 (2,5 điểm): 1)Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định , đường kính CD thay đổi . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AC và AD tại M và N. a) Chứng minh : AC.AM không đổi khi CD thay đổi CM AM3 b) Chứng minh : DN AN3 2) Cho tam giác ABC cân tại A có Aˆ 200 ;AB AC b;BC a Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 Câu 5 (1,0 điểm): xy Cho x xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= xy22 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NINH GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM 3x22 10xy 3y 3x22 9xy xy 3y a) 0, 5 1điểm 3x x 3y y x 3y x 3y 3x y 0,5 x 3 2 x 3 x 3 A 0,25 2 x 3 x 3 x 3 * Xét trường hợp x > 3 ta có: 2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 x 9 Câu 1 A 0,5 x 3 2 x 3 x 3 x3 x3 2,0 điểm *Xét trường hợp x3 ta có b) x 3 2 x 3 3 x A 1,5 2 3 x x 3 3 x điểm x 3 x 3 2 3 x 3 x 2 3 x x 3 x 3 x 3 3 x x2 9 0, 5 3x 3 x x 3 2 x9 Kết luận .Vậy với x 3 ;x 3 thì A 0,25 x3 1 ĐK x, y,z 4 Cộng từng vế ta có : 2x 2y 2z 4x1 4y1 4z1 0,25 4x 4y 4z 24x 1 24y 1 24z 1 0 2 2 2 Câu 2 4x11 4y11 4z11 0(*) a) 2,0 2 2 2 1.0 điểm điểm Vì 4x11 0; 4y11 0; 4z11 0 0, 5 4x 1 1 0 1 Nên (*) xay ra 4y 1 1 0 x y z 2 4z 1 1 0 1 0,25 Kết luận : vậy x y z 2
3. 3x2 5x 1 0 2 0,25 ĐK : x 2 0 (*) 2 x x 1 0 PT 3x2 5x 1 3 x 2 x 1 x 2 3x 4 x 2 2 0 2x 4 3x 6 0 b) 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 1,0 23 x 2 0 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 0,25 23 Vì < 0 0,25 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 nên x 2 0 x 2 0,25 Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) . vậy x= 2 là nghiệm của phương trình 6x 2xy y 10 6x 2xy y 3 7 y 3 2x 1 7 0.25 x,y là số nguyên nên y 3và 2x 1 là số nguyên . Vì vậy y+3 ; 2x-1 là ước của 7 a) Ta có các trường hợp sau: 1.0 điểm y 3 1 x 4 y 3 7 x 1 0,5 1) 2) 2x 1 7 y 2 2x 1 1 y 4 y 3 1 x 3 y 3 7 x 0 3) 4) 2x 1 7 y 4 2x 1 1 y 10 Kết luận x; y 4;2 , 1;4 , 3; 4 ; 0;10  0,25 Câu 3 * Nếu x =0 hoặc y= 0 thì 11 xy là số hữu tỉ 2,0 0,25 *Nếu x, y đều khác 0 điểm y3 y y 4 y 2 x33 y 2 xy x 2 xy 2 x22 x x x 2 y4 y 2 y 2 1 xy 2 1 1 2 b) x x x 1.0 điểm 2 yy22 0, 5 1 xy 1 1 là số hữu tỉ xx 33 Vậy x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x y2 xy . 0,25đ thì 1 xy là một số hữu tỉ
4. M C A O B D N Tam giác ABC nội tiếp (O) có AB là đường kính Tam giác ABC vuông tai C 0,25 1)a Tam giác ABM vuông tại B, BC là đường cao 0,75 AC.4 AM AB22 R không đổi ( The hệ thức lượng trong tam giác vuông) 0, 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam các tam giác vuông AMB, ANB AMN ta có AM22 MB.;. MN AN BN MN 2 0,25 Câu 4 AM BM 2 2,5 AN BN điểm 1)b AM42 BM AM. CM 0,75 AN42 BN AN. DN AM3 CM 0,5 AN3 DN A E D B C 2 ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800 BDC cân tại B BD = BC = a . 0,25 DC BC a2 BDC ABC ( g – g) DC = BC AC b a2 AD = b - 0,25 b
5. 0 1 1 3 3 BDE vuông có EBD = 60 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; 2 2 2 2 0,25 1 AE = b - a. 2 Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : a2 1 3 AD2 = AE2 + DE2 (b - )2 = (b - a)2 + (a. )2 b 2 2 4 2 2 4 2 2 a 2 a 3a a 2 b - 2a + 2 = b - ab + + 2 = 3a –ab b 4 4 b 0,25 a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2 * Nếu y = 0 thì P = 0 *Nếu y 0 thì P 0 * Nếu x,y trái dấu thì P 0 11yy Từ x xy 1 1 y 2 x x x 4 y 1 Đặt tt 0 x 4 0,25 Câu 5 y2 2 21 2 1,0 1x yx2 1 t 1 1 15 Ta có tt điểm P xyy t t16 t 16 t x Áp dụng bất dẳng thức cô si cho hai số dương ta có 1 1 1 12 1 1 tt 2. . dấu bằng xảy ra khi t t t x 4 y 16tt 16 2 16t 16 4 1 15 15 15 1 0,25 Với t .4 . Dấu bằng xảy ra khi t x 4 y 4 16t 16 4 4 1 17 4 Do đó P P 4 17 4 vậy GTLN của P bằng khi x=4y 0,25 17 Hết