Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường (vòng 2) môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường (vòng 2) môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

1. Phoøng giaùo duïc TP Buoânmathuoät KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TRÖÔØNG (Voøng 2) Tröôøng THCS Phan Chu Trinh MOÂN TOAÙN 9 – Naêm hoïc 2011 – 2012 Thôøi gian 90 phuùt (Khoâng keå thôøi gian giao ñeà) Bài 1 : 1) Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16. x 2 x 1 x 1 2).Cho biểu thức A = : x x 1 x x 1 1 x 2 Chứng minh rằng 0 0 thì : a b c 3 b c c a b a 2 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại D. Lấy H và K lần lượt là trung điểm của AD và DC. Tia OH cắt AB tại E, tia OK cắt tia ED tại F , OF cắt (O) tại T, OB giao với AD tại N. Vẽ NP vuông góc với AC, P thuộc AC và NP cắt OH tại Q. 1) Chứng minh: ED là tiếp tuyến (O). 2) Chứng minh: DT là phân giác của góc FDC 3) Chứng minh: A, Q, F thẳng hàng. 4) Chứng minh: AD . AN = AB . PN
2. Phoøng giaùo duïc TP Buoânmathuoät KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TRÖÔØNG (Voøng 2) Tröôøng THCS Phan Chu Trinh MOÂN TOAÙN 9 – Naêm hoïc 2011 – 2012 ÑAÙP AÙN Bài 1 1) Giả sử a ≤ b. (2đ) Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 0,5 ñ Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8 0,5 ñ Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 . Suy ra a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 0,5ñ Nếu a > b thì m > n , m = 7 và n = 1 hoặc m = 5 và n = 3 . Suy ra a = 80 , b = 48 hoặc a = 112 và b = 16 0,5ñ Vậy (a , b) {(16 ; 112), (48 ; 80),(112 ; 16).(80 ; 48)} 2) Với x 0, x 1 . Ta có: 0,25ñ (3đ) x 2 x 1 x 1 A : x x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x x x x 1 2 . 0,75ñ x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 2 2 = . 0,75ñ x 1 x x 1 x 1 x x 1 + với x 0, x 1 ta luôn có A > 0 0,5ñ 2 + Lại có: x x 1 1 2 hay A < 2 x x 1 0,5ñ VËy 0 < A < 2 0,25ñ Bài 2 1) (2đ) 2 2 P = 4x + 12x + 9 + 4x - 20x + 25
3. = 2x + 3 + 5- 2x ³ 2x + 3+ 5- 2x = 8 3 5 1ñ Vậy, Pmin=8 khi (2x + 3)(5- 2x) ³ 0 Û - £ x £ 2 2 1ñ 2) ĐK: x > 1 , y > 4 (2đ) x- 2 x- 1 = - y + 4 y - 4 2 2 Û ( x- 1- 1) + ( y - 4 - 2) = 0 1ñ ì ï x- 1 = 1 ïì x = 2 Û íï Û íï ï ï y = 8 1ñ îï y - 4 = 2 îï (TMĐK) Vậy (x=2, y=8) Bài 3 Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z (2,5đ) Với a, b , c > 0 => x , y, z > 0 → a + b + c = x y z 2 → a = y z x , b = z x y , c = x y z 0,5ñ 2 2 2 Khi đó : (theo bất đẳng thức Cosi) a b c y z x z x y x y z VT : = b c c a b a 2x 2y 2z 0,5ñ 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 1ñ a b c 3 Vậy: ___ b c c a b a 2 0,5ñ ___ Bài 4 (8,5đ) Vẽ hình rõ 0,5ñ 1đ 1) Hs chứng minh OD  ED tại D, D thuộc (O) => ED là tiếp tuyến (O) 1ñ 2) c/m DOT cân tại O => O· DT O· TD 0,5ñ 2đ F· DT O· DT 900 mà 0,5ñ K· DT K· TD 900 1ñ Ta suy ra : F· DT K· DT => DT là phân giác góc FDK hay DT là phân giác góc FDC 3) C/m Q là trực tâm ONA => AQ  ON tại M 0,5ñ C/m OA2 = OM . OB 3đ OD2 = OK . OF Mà OA = OD Suy ra: OM . OB = OK . OF 1ñ C/m OBK đồng dạng OFM (c-g-c)  Góc OMF vuông => FM  ON tại M 1ñ Mà AQ  ON tại M
4. Suy ra A, M , F thẳng hàng => A . Q , F thẳng hàng 0,5ñ B F D T E N M H K Q A P O C 0,5đ AD 4) C/m ADB vuông tại D => Sin ·ABD = 0,5ñ 2đ AB NP APN vuông tại P => Sin N· AP = 0,5ñ NA · · Mà NAP = ABD (cùng phụ với góc BAD) 0,5ñ AD NP Suy ra = => AD . AN = AB . NP (đpcm) 0,5ñ AB NA Lưu ý : HS làm các cách giải khác , suy luận đúng và chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa của phần đó.