Đề thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA PHÚ THỌ LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 15 tháng 03 năm 2019 Số báo danh (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : SƯU TẦM A.TRẮC NGHIỆM (8điểm) 2 Câu 1.Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương n sao cho 1024 n là số tự nhiên. 15 A.1 B.4 C.3 D.5 Câu 2. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB,CD sao cho AB 4, C D 9, DAB DBC . Độ dài đường chéo BD bằng . A.6 B.7 C.8 D.10 Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng đi qua điểm M(2;5) và song song với đường thẳng y=2x có phương trình là A.y = 2x+1 B.y = 2x-1 C.y =- 2x+9 D.y = -2x+1 Câu 4 .Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hai điểm A(2;3) và B(6;1).Độ dài đường cao hạ từ đỉnh O của tam giác OAB bằng 5 52 2 A. B. C. 52 D. 2 2 2 Câu 5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;3), B(2;-2), C(-2;-2), D(-3;3). Diện tích tứ giác ABCD bằng 15 15 2 A. B. C. 15 D.30 2 2 Câu 6.Cho hàm số y ax2 ; y b x 2 ; y c x 2 có đồ thị như sau .Khẳng định nào đúng. A. bac B. abc C. c b a D. c a b Câu 7. Cho bốn điểm A,B,C,D nằm trên đồ thị hàm số yx 2 sao cho ABCD là một tứ giác lồi nội tiếp đường tròn đường kính AC.Gọi M( x1 ; y 1 ); N ( x 2 ; y 2 ) lần lượt là trung điểm của AC,BD giá trị yy12 bằng 2 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3 ,AC=4 và phân giác AD.Gía trị DC- DB bằng 1 3 4 5 A. B. C. D. 7 7 7 7 Câu 9. Gọi S là tập nghiệm của phương trình số nghiệm của phương trình x x 1 x 2019 x2 2019x 2020là A.2 B. 4 C. 2019 D. 2020
2. Câu 10. Biết x 332 3 2 3 là một nghiệm của phương trình x3 ( a 1) x 2a 0 . Giá trị aa 2 1 bằng 31 62 A. B. 31 C. D. 31 2 2 Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH,trung tuyến AM.Biết AH 24 và cạnh huyền BC=35.Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC AM 25 bằng A. 3,5 5 B. 7 C. 8,75 D. 14 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5 , đường cao AH=2.Kẻ HK vuông góc AC (K thuộc AC).Độ dài CK bằng 35 85 55 16 5 A. B. C. D. 2 2 2 5 Câu 13. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m.Biết rằng học sinh đó nhìn thấy đỉnh tháp ở góc190 so với đường nằm ngang ,khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 1,5m. Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng A. 34 B.35 C. 36 D. 38 Câu 14. Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều bằng 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiế xúc với BC tại D.Biết BD=2DC=10.Diện tích tam giác ABC bằng A. 25 B.50 C. 50 2 D. 100 Câu 16.Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình ,Cường ,Thắng,Việt ngồi thành một hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau. A.48 B.72 C. 96 D. 118 B.TỰ LUẬN (12điểm) C 1 (3 0 điểm : a)Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi 1 phân biệt luôn tồn tại 4 số có t ng là hợp số. b)Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1, 2, 3, 4, , 2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3, 4, , 2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng. H i ai có t ng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu. C 2 (3 0 điểm : 2 x y xy 1 0 a) Giải hệ phương trình: 33 x y 3 x y 32 0 2 1 b) Giải phương trình x 10 11 x x 1 . x C 3 (3 0 điểm :
3. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC( D không tr ng B,C) và (O/) tiếp xúc với trong với (O) tại K tiếp xúc với đoạn CD, AD tại F, E. Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M, N. a)Chứng minh rằng MN song song EF b)Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c)Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC Câu 4 (1 0 điểm Cho các số thực x1, x2, , xn 0;1 . 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng 1 x1 x 2 x 3 xnn 4 x 1 x 2 x 3 x Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN C 1( 3 điểm a)Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi 1 phân biệt luôn tồn tại 4 số có t ng là hợp số. b)Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1,2,3,4, ,2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1,2,3,4, ,2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng . H i ai có t ng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu. Giải a)Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ. Xét các trường hợp: Ta có a, b, c c ng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có t ng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2. Ta có a, b, c c ng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có t ng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2. Ta có a, b, c có 1 cặp là số lẻ nên hiệu và t ng của 2 số lẻ chia hết cho 2 a, b, c có 1 cặp là số chẵn nên hiệu và t ng của 2 số chẵn chia hết cho 2. Hai trường hợp đầu có 3 cặp số th a mãn đầu bài. Hai trường hợp cuối có 1 cặp số th a mãn đầu bài. Vậy có ít nhât 1 cặp số mà t ng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp số. Áp dụng qui tắc số dư. Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0, 1, 2, 3, 4, Xét các trường hợp:
4. *Cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3) nên t ng 1 cặp số đó chia hết cho 5. Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) nên suy ra 2 cặp có t ng chia hết cho 5 *Cả 4 số có số dư tr ng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5. *Cả 2 cặp có số dư tr ng nhau nên hiệu của 2 cặp đó bằng 0 nên chia hết cho 5 *Cả 1 cặp có số dư tr ng nhau nên hiệu của 1 cặp đó bằng 0 nên chia hết cho 5 Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà t ng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.Hay trong 5 số nguyên dương đôi 1 phân biệt luôn tồn tại 4 số có t ng là hợp số. b)Gọi T là là t ng các số dư của thắng, V là t ng các số dư của Việt.Gọi tt1; 2018 là số dư chia 2018 cho 1,2, ,2018, gọi v1; ,v 2019 là số dư chia 2019 cho 1,2, ,2019.Ta thấy rằng T t1 t 2 t 2018 ; V v 1 v 2 v 2019 với i 1.2.3 ,2018.Nếu 2019i v1 0 ti i 1. Nếu v11 i 11 v ti V t11 t 2 1 t 2018 1 S (2019 T 2018 S (2019) . Trong đó S(2019) là t ng các ước không vượt quá 2018 của 2019 . Ta có 2019=1.3.773 . Suy ra S(2019)=677 nên ta có V=T+2018-677=T+1341. Suy ra V > T và V-T=1341. C 2(3 5 điểm 2 x y xy 1 0 a) Giải hệ phương trình: 33 x y 3 x y 32 0 2 1 b)Giải phương trình x 10 11 x x 1 x H n đ n 2 x y xy 1 0 2 x y xy 1 0 a)Cách 1.Ta có .Ta 33 3 x y 3 x y 32 0 x y 3 xy x y 3 x y 32 0 2sp 1 0 x y s; xy p ( s2 4 p ) đặt . Khi đó hệ tương đương với 3 .Giải hệ s 3 ps 3 s 32 0 trên ta có nghiệm. Cách 2.Ta có 2 x y xy 1 0 2 x y xy 1 33 xy 3 xyxy (1)320 xy 3 xyxy (1)320 21 x y xy 32.Từ đó suy ra nghiệm. x y 6 x y 32 0 b)Điều kiện xác định: x 0 .Ta có
5. 2 1 2 2 4 3 2 x 9( x 1) 21x x 1 ( x 1) 12 x x 8 x 1 0 x 4xx2 1 0 4x22 x 1 3 x x 1 0 .Từ đó suy ra nghiệm. 2 3xx 1 0 C 3 ( 4 0 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC( D không tr ng B,C) và (O/) tiếp xúc với trong với (O) tại K tiếp xúc với đoạn CD,AD tại F,E . Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M,N. a) Chứng minh rằng MN song song EF b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC H n d n A (d) N K O E O/ I B C D F H M a)Qua K kẻ tiếp tuyến chung (d) với (O) và (O ) gọi H là giao (d) và BC KEF FKH MNK MN / / EF . b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK MB MC suy ra AM là phân giác BAC . Suy ra BCM MKC nên ta có MC là tiếp tuyến (KFC).
6. c)Gọi AM cắt EF tại I .Ta chứng minh I cố định .Thật vậy ta có AKN AMN AIE nên tứ giác AEIK nội tiếp . Suy ra DEF EKF EAI EIA EKI IKE EIA IKF hay MIF IKF . Suy ra MIF đồng dạng MKI(.). g g MI2 MK MF (1). Ta có MC là tiếp tuyến (KFC) suy ra MC2 MF. MK (2) . Từ (1) và (2) suy ra MI = MC .Lúc đó ta có MIC MCI IAC ICA MCB BCI ICA BCI . Nên CI là phân giác ABC , mà AM là phân giác BAC nên I cố định Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho các số thực x1, x2, , x n 0;1 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 1 x1 x 2 x 3 xnn 4 x 1 x 2 x 3 x Giải 2 Áp dụng BĐT A B 4 AB với A 1; B x1 xn ta có 2 với x , x , , x 1 x1 x 2 x 3 xnn 4 x 1 x 2 x 3 x 1 2 n 22 nên x1 x 1 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 . Tương tự ta có 2 2 2 2 2 2 xx2 2; ; xxxxxn n 1 2 3 xxxx n 1 2 3 x n . 2 2 2 2 2 Suy ra 1 xxx1 2 3 xn 4 xxxx 1 2 3 n 4 xxx 1 2 3 x n . Dấu “=” xảy ra khi có 1 số bằng 1 các số còn lại bằng 0.