Đề thi chọn hgs lớp 9 lần 3 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn hgs lớp 9 lần 3 - Môn: Toán

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 LẦN 3 TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020 -2021 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1: ( 2,0 điểm) x 1 x 2 x 1 Cho biểu thức P x 1 x x 1 x x 1 a, Rút gọn biểu thức P. 2 b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q x . P Bài 2: ( 1 điểm) 1 Giải phương trình x 2 y 2014 z 2015 x y z 2 Bài 3: ( 1,5 điểm) Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số m n n 1 n 7 7! không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3 k). Bài 4 (1.0 điểm). Chứng minh rằng biểu thức D 3 17 5 38 3 17 5 38 là một số chính phương. Bài 5: ( 1,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn P O Gọi Q là một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 6 (1.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết AB 6 cm, tính cạnh huyền BC. Bài 7 ( 1,0 điểm) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5 Bài 8: (1,0 điểm) sin2 x cos2 x Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x với 00 < x < 900 1 cot x 1 tan x Bài 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 . a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b 2c a c 2a b a 2b c Hết (Giám thị không giải thích gì thêm) 1
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 LẦN 3 TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN: TOÁN Bài Nội dung Điểm 1 a, ĐKXĐ x 0; x 1 0,25 2 đ 0,75 x x 1 x 2 x 1 x 1 x Ta có P x 1 x x 1 x x 1 b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 0,75 2 x x 1 2 Q x 2 x 2 2 2 x x Vậy GTLN của Q= 2 2 2 khi x=2 0,25 2 ĐKXĐ x 2; y 2014; z 2015 0,2 1 đ Phương trình đã cho tương đương với 0,2 2 2 2 x 2 1 y 2014 1 z 2015 1 0 2 2 2 0,2 Do x 2 1 0; y 2014 1 0; z 2015 1 0 0,2 x 2 1 0 x 3 y 2014 1 0 y 2013 z 2016 z 2015 1 0 Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016) 0,2 3 Giả sử m a2 b2. Theo ý a, thì n n 1 n 7 7! 128k,k Z 0,25 1,5 đ Do đó a2 b2 128k 7! (1) 0,25 Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được 0,25 c2 d 2 32k 1260 (2) Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được 0,25 p2 q2 8k 315 (3) Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên p2 q2 chia cho 4 dư 0;1 0,25 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra. Vậy không thể biểu diễn số m n n 1 n 7 7! dưới dạng tổng của hai số chính 0,25 phương. 4 Ta có 0,25 1đ 0,5 Do đó D=4 Vậy D là một số chính phương. 0,25 5 2
3. 1,5 đ d Q S P O N M Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S. 0,25 Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ ON OQ 0,25 Ta có VONQ : VOQM g g OQ2 OM.ON (1) OQ OM OP ON 0,5 Ta có VOPN : VOMS g g OP.OS OM.ON (2) OM OS OQ2 0,25 Từ (1) và (2) suy ra OP.OS OQ2 OS không đổi, nên điểm S cố định. OP Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S cố định. 0,25 A E G Bài 6 C 1đ B D Ta có 0,5 Suy ra BG=2 cm, EG= 1 cm 0,5 Mà cm. Ta có: P(0) = d 5 0,25 P(1) = a + b + c + d  5 => a + b + c  5 (1) 0,25 Bài 7 0,25 1đ P(-1) = -a + b – c + d  5 => -a + b – c  5 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2b  5 => b  5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c  5 0,25 Bài 9 Áp dụng BĐT AM-GM ta có 0,25 a3 a3 b 2c a b 2c a b 2c a 8a 2c a ( ) a 1,0 đ b 2c a b 2c a 3 9 3 9 9 3 9 9 9 9 9 a3 b3 c3 8a b 2c 8b c 2a 8c a 2b 0,25 P b 2c a c 2a b a 2b c 9 3 9 9 3 9 9 3 9 a b c 1 3 P 1 0,25 Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1. 0,25 3
4. 8 (1đ) sin2 x cos2 x 0,25 sin x.cos x cos x sin x 1 1 sinx cos x sin3 x cos3 x 0,25 sin x.cos x 1 cosx 1+sinx 2 2 sin3 x cos3 x sinx cosx sin x sinx.cosx cos x 0,25 sin x.cosx sin x.cosx sinx cosx sinx cosx sin x.cos x 1 sin x.cos x 1 0,25 BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k 4