Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Mã Thành (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Mã Thành (Có đáp án)

1. PHềNG GD &ĐT YấN THÀNH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC MễN : TOÁN 9 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu 1: (3,0 điểm) a) Tỡm cỏc số tự nhiờn a để giỏ trị của biểu thức B a 5 a 4 1 là số nguyờn tố. 2 2 b) Tỡm cỏc số nguyờn x , y thỏa món: 2x 4x 1 9 3y . Cõu 2. (4,5 điểm) a) Giải phương trỡnh: x2 7x 1 2 (x 3)(x2 x 6) b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A 6x2021 5x2022 4x2023 10 3 10 3 với x 2 2 3 10 1 Cõu 3: (3,5 điểm) a) Xỏc định cỏc hệ số a và b để đa thức P(x) x4 2x3 3x2 ax b là bỡnh phương của một đa thức. b) Cho ba số thực a, b, c thỏa món điều kiện a b c 3. Chứng minh rằng: a b c 3 b 1 c 1 a 1 2 Cõu 4: (8 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB < AC và đường cao AH. Hai điểm M , N lần lượt là hỡnh chiếu của điểm H trờn AB và AC. Gọi O là giao điểm của AH và MN. AB 3 a) Cho và BC 10 cm . Tớnh chu vi của tứ giỏc AMHN. AC 4 b) Gọi E là giao điểm của BO và AC. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho Cã BF Cã BA . CO cắt AB tại I. Chứng minh rằng: AE . BC EC . AB và AE . IB AI . EC EC . IB . c) BC cắt MN tại L. Gọi K là hỡnh chiếu của điểm H trờn AL. Chứng minh: BK  KC . Cõu 5: (1 điểm) Viết 150 số tự nhiờn 1, 2, 3, , 150 lờn bảng. Mỗi lần ta xúa đi hai số nào đú và thay bằng tổng hoặc hiệu của chỳng. Sau một số lần như vậy thỡ trờn bảng chỉ cũn lại một số . Hỏi cú khi nào số cũn lại đú là 100 khụng ? Hết Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
2. HƯỚNG DẨN GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG MễN TOÁN 9 HUYỆN YấN THÀNH – NĂM HỌC 2023 – 2024 Cõu Hướng dẩn giải Điểm - Với a = 0 thỡ B = 1 (khụng phải là số nguyờn tố) - Với a = 1 thỡ B = 3 là số nguyờn tố. - Với a > 1 Ta cú: B a5 a 4 1 (a5 a 2 ) (a 4 a) (a 2 a 1) a 2 (a3 1) a(a3 1) (a 2 a 1) a 2 (a 1)(a 2 a 1) a(a 1)(a 2 a 1) (a 2 a 1) 1(a) 2 2 (a a 1) a (a 1) a(a 1) 1 (a 2 a 1)(a3 a 1) - Vỡ a > 1 nờn a 2 1 a 2 1 0 a(a 2 1) 0 3 3 a a 0 a a 1 1 (1) - Lại cú: a 1 a 2 a 1 3 (2) - Từ (1) và (2) B là hợp số. - Vậy với a = 1 thỡ B là số nguyờn tố. * Cỏch 1: Ta cú: 2x2 4x 1 9 3y2 2(x2 2x 1 ) 21 3y2 2(x 1 )2 3y2 21 2(x 1 )2 3y2 2 . 32 3 . 12 (x 1 )2 32 2 2 y 1 x 2 x 4 y 1 - Vậy (x ; y) (2 ; 1 ) ; (2 ; 1) ; ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 1) * Cỏch 2: Ta cú: 2x2 4x 1 9 3y2 2(x2 2x 1 ) 21 3y2 2 2 2(x 1 ) 21 3y - Vỡ y2 0 3y2 0 21 3y2 21 2(x 1 )2 21 Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
3. 2 21 (x 1 ) 1(b) 2 2 (x 1 ) 0 ; 1 ; 4 ; 9 2 - Với (x 1 ) 0 x 1 0 x 1 3y2 21 y 7 y2 7 (loại) 2 x 1 1 x 0 - Với (x 1 ) 1 x 1 1 x 2 2 2 19 19 +) Nếu x 0 thỡ 3y 1 9 y y (loại) 3 3 2 2 19 19 +) Nếu x 2 thỡ 3y 1 9 y y (loại) 3 3 2 x 1 2 x 1 - Với (x 1 ) 4 x 1 2 x 3 2 2 13 13 +) Nếu x 1 thỡ 3y 1 3 y y (loại) 3 3 2 2 13 13 +) Nếu x 3 thỡ 3y 1 3 y y (loại) 3 3 2 x 1 3 x 2 - Với (x 1 ) 9 x 1 3 x 4 2 2 +) Nếu x 2 thỡ 3y 3 y 1 y 1 2 2 +) Nếu x 3 thỡ 3y 3 y 1 y 1 - Vậy (x ; y) (2 ; 1 ) ; (2 ; 1) ; ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 1) - ĐKXĐ của phương trỡnh là: x 3 - Đăt x 3 a 0 và x2 x 6 b 0 - Khi đú ta cú: x2 7x 1 2 (x 3)(x2 x 6) (x2 x 6) 6(x 3) (x 3)(x2 x 6) a 2 6b2 ab (a 2 3ab) (2ab 6b2 ) 0 a(a 3b) 2b(a 3b) 0 (a 3b)(a 2b) 0 a 3b 0 a 2b 0 - Nếu a 3b 0 a 3b Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
4. 2(a) x 3 3 x2 x 6 2 x 3 9(x x 6) 9x2 1 0x 51 0 (9x2 27x) (17x 51) 0 9x(x 3) 1 7(x 3) 0 (x 3)(9x 1 7) 0 x 3 (loai) x 3 0 17 9x 1 7 0 x (thoa man) 9 - Nếu a 2b 0 x 3 x2 x 6 0 x 3 0 x 3 0 x2 x 6 0 (x2 3x) (2x 6) 0 x 3 0 x 3 0 x(x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2) 0 x 3 0 x 3 (thỏa món) - Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3. 4 10 1 2 10 3 - Ta cú: x 2 2 3 2 10 1 10 3 10 1 10 3 10 1 3 2 2 10 1 10 1 7 2 10 13 4 10 2 2(b) 2 1 9 2 2 5 2 5 2 2 2 2 1 3 5 2 5 2 2 2 1 3 5 2 2 2 5 ( 2 1 ) 3 2 2 1 1 - Khi đú: A 6.12021 5.12022 4.12023 5 - Ta cú: P(x) x4 2x3 3x2 ax b Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
5. 2 x2 2x2 (x 1) (x 1)2 (x 1)2 x2 ax b 2 x2 x 1 (a 2)x (b 1) - Để P(x) là bỡnh phương của một đa thức thỡ: 3(a) (a 2)x (b 1) 0 với mọi x a 2 0 a 2 b 1 0 b 1 - Vậy với a 2 và b 1 thỡ P(x) là bỡnh phương của một đa thức. a 1 b Ta cú: a a 1 b 1 b 1 b 1 1 1 - Vỡ b 1 2 b b 1 2 b b b b b 1 2 b 2 b b 1 1 b 1 2 b b a 1 a 1 b 1 2 a ab a b 1 2 b bc c ca - Tương tự: b và c c 1 2 a 1 2 3(b) a b c ab bc ca a b c b 1 c 1 a 1 2 a b c ab bc ca 3 (1) b 1 c 1 a 1 2 a b 2 ab - Lại cú: b c 2 bc a b c ab bc ca c a 2 ca a b c 2 ab bc ca 3 ab bc ca Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
6. 2 a b c 3 ab bc ca 2 a b c ab bc ca 3 3 ab bc ca 3 3 3 3 (2) 2 2 2 a b c 3 - Từ (1) và (2) b 1 c 1 a 1 2 4 AB 3 3 - Ta cú: AB AC AC 4 4 - Lại cú: AB2 AC2 BC2 (Định lớ Pitago) 2 3 2 2 AC AC 10 4 25 AC2 100 16 AC2 64 AC 8 cm 3 AB AC 6 cm 4 - Áp dụng Hệ thức lượng cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH ta cú: AB.AC 6.8 4(a) AH.BC AB.AC AH 4,8 cm BC 10 - Áp dụng Hệ thức lượng cho tam giỏc AHB vuụng tại H, đường cao HM ta cú: Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
7. AH2 (4,8)2 96 AH2 AM.AB AM cm AB 6 25 AH2 (4,8)2 72 - Tương tự: AH2 AN.AC AN cm AC 8 25 - Mặt khỏc: Tứ giỏc AMHN là hỡnh chử nhật nờn ta cú: 96 72 168 CAMHN 2(AM AN) 2. cm 25 25 25 - Vỡ Cã BF Cã BA BE / / FA - Xột tam giỏc HFA cú đường thẳng BE đi qua trung điểm O của cạnh HA và BE // FA BE phải đi qua trung điểm của cạnh HF B phải đi qua trung điểm của cạnh HF FB HB FB HB (1) AB AB - Xột HBA và ABC cú : Bã HA Bã AC 900   HBA : ABC (g g) ả B (gúc chung)  HB AB (2) AB BC FB AB - Từ (1) và (2) FB.BC AB2 AB BC FB AB2 BC BC2 FB AE - Mặt khỏc: BE // FA (Định lớ Talet) 4(b) BC EC AE AB2 EC BC2 AE AB AE.BC EC.AB EC BC EC.AB2 AE.BC2 EC.AB2 AE BC2 EC.IB.AB2 AE.IB (*) BC2 - Tương tự ta cũng chứng minh được: AI.BC IB.AC Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
8. IB.AC2 AI.BC2 IB.AC2 AI BC2 EC.IB.AC2 AI.EC ( ) BC2 EC.IB.AB2 EC.IB.AC2 - Từ (*) và ( ) AE.IB AI.EC BC2 BC2 EC.IB.(AB2 AC2 ) BC2 EC.IB.BC2 EC.IB BC2 A N K O M 1 1 2 1 2 L B H C - Ta cú: AK . AL AM . AB AH2 AK AM 4(c) AKB : AML (c g c) AB AL ả ả B1 L1 (1) - Lại cú: AK . AL AN . AC AH2 AK AN AKC : ANL (c g c) AC AL ả ả C1 L1 (2) ả ả - Từ (1) và (2) C1 B1 ả ả ả 0 - Mặt khỏc: C1 C2 B2 90 ả ả ả 0 B1 C2 B2 90 BKC vuụng tại K BK  KC . Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành
9. - Gọi S(n) là tổng cỏc số trờn bảng sau bước thứ n. - Ta cú: S(0) 1 2 3 150 (1 150) (2 149) (3 148) 151 151 151 5 75.151 11325  1 (mod 2) - Lại cú: Sau mỗi lần xúa đi 2 số và thay bằng tổng hoặc hiệu của chỳng thỡ tớnh chẵn lẽ của S(n) vẫn luụn khụng thay đổi. S(n)  S(0) 1 (mod 2) - Mặt khỏc: 100  0 (mod 2) S(n) 100 (vụ lớ) - Vậy số cũn lại khụng thể là 100. Giỏo viờn: Nguyễn Bỏ Phỳc – Trường THCS Mó Thành