Đề ôn tập thi học sinh giỏi huyện - Môn Toán 9

Nội dung text: Đề ôn tập thi học sinh giỏi huyện - Môn Toán 9

1. ĐỀ ễN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Mụn:Toỏn 9 Thời gian: 150 phỳt Bài 1 (4đ): a) Chứng minh: 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiờn n b) Tỡm n  để n2 n 13 là số chớnh phương Bài 2 (2đ): x 3 x 2 9 x 3 x 9 Cho biểu thức P = : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 a) Rỳt gọn biểu thức P 3 10 6 3 3 1 b) Tớnh giỏ trị biểu thức P khi x 6 2 5 5 Bài 3 (3đ): a) Cho x, y, z > 0 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng x y z xy yz xz b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A= x2 2xy 6y2 12x 2y 45 Bài 4 (3đ): a ) Giải phương trỡnh 4x2 16 3 5 7 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 1 1 1 1 b)Cho x,y,z 0 thỏa món x +y +z = 2019 và . x y z 2019 Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải cú ớt nhất một số bằng 2019. Bài 5(2đ) : Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc trung tuyến BD, CE. Lấy cỏc điểm M, N trờn BC sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Tớnh độ dài IK. Bài 6 (4đ): Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm tựy ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME vuụng gúc AB, MF vuụng gúc AD. C/m: a) DE = CF và DE  CF. b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xỏc định vị trớ của M trờn BD để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. Bài 7 (2đ): Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB= 2BC. Trờn cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường 1 1 1 thẳng CD tại F. Chứng minh rằng . AE2 AE2 4AF2
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ễN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC:2020-2021 Mụn:Toỏn 9 NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM Bài 1 (4đ): a) Chứng minh: 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiờn n 1đ 2n 1 2n 1 22n 1 4n 1 Vỡ 4n 1  4 1 1 đ Nờn 2n 1 2n 1 3 b) Tỡm n  để n2 n 13 là số chớnh phương Ta cú n2 n 13 =k2 4n2 4n 52 4k 2 4n2 4n 1 4k 2 51 1đ 2n 1 2k 2n 1 2k 51 1đ Giải phương trỡnh ta được n=-12, n=-3, n=13, n=4 Bài 2 (2đ): a) Rỳt gọn biểu thức P x 0 0,5đ Điều kiện x 4 x 9 x 3 x 2 9 x 3 x 9 P= : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 3 x 3 x x 2 x 2 9 x x 3 x : x 2 3 x x 9 9 x x 4 9 x x x 3 = : x 2 3 x x 3 x 3 x 4 x = : x 2 3 x x 3 1đ x 2 x 2 x 3 x 2 x x 2 = . x 2 3 x x x x 3 10 6 3 3 1 b) Tớnh giỏ trị biểu thức P khi x 6 2 5 5 3 3 10 6 3 3 1 3 3 1 3 1 x 2 6 2 5 5 5 1 5
3. 3 1 3 1 = 2 0,5đ 5 1 5 2 2 P 1 2 2 Bài 3 (3đ): 1 1 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng x y z xy yz xz 1 1 2 Áp dụng BĐT Cụsi ta cú x y xy 1 1 2 y z yz 1đ 1 1 2 z x zx 0,5đ 1 1 1 1 1 1 Cộng vế theo vế ta được x y z xy yz xz Dấu = xảy ra khi x=y=z b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A= x2 2xy 6y2 12x 2y 45 A= x2 2xy 6y2 12x 2y 45 = x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 1đ 2 2 = x y 6 5 y 1 4 4 x y 6 0 x 7 Dấu “=” xảy ra khi 0,5đ y 1 0 y 1 Vậy GTNN của A là 4 khi x=7; y=1 Bài 4(3đ) a) Giải phương trỡnh 4x2 16 3 5 7 x2 6 x2 1 x2 3 x2 5 0,5đ 4x2 16 3 5 7 2 3 1 2 1 2 1 2 0 x 6 x 1 x 3 x 5 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 2 2 2 0 x 6 x 1 x 3 x 5 0,5đ 2 1 1 1 1 x 2 2 2 2 2 0 x 6 x 1 x 3 x 5 2 0,5đ x 2 0 x 2 1 1 1 1 b) Cho x,y,z 0 thỏa món x +y +z = 2019 và . x y z 2019 Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải cú ớt nhất một số bằng 2019. 1 1 1 1 x y z 2019 b) x y z 2019 xy 2019z 0,5đ 2019z x y xy z 2019 2019 z 2019 2019 x y xy 0 0,5đ
4. 2019 z 2019 2019 x y 2019 x 0 2019 z 2019 x 2019 y 0 0,5đ x 2019 y 2019 z 2019 Vậy trong 3 số x, y, z cú ớt nhất một số bằng 2019 Bài 5(2đ) Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc trung tuyến BD, CE. Lấy cỏc điểm M, N trờn BC sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Tớnh độ dài IK. A E D I K B C M N Giải : Xột AMC cú DN là trung bỡnh DN // AM 0,5đ BND cú MB = MN và MI // ND 0,5đ I là trung điểm của BD Tương tự : K là trung điểm của CE 1đ Tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cú I, K là trung điểm hai đường chộo a a BC DE a Nờn : IK = = 2 2 2 4 Bài 6: Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm tựy ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME vuụng gúc AB, MF vuụng gúc AD. C/m: a) DE = CF và DE  CF. b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xỏc định vị trớ của M trờn BD để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. B C 1 E M Q H N 2 1 2đ A F P D Giải: a/ Tứ giỏc AEMF là hỡnh chữ nhật AE = MF Tam giỏc MDF vuụng cõn ở F MF = FD AE = FD ả à AED = DFC ( cgc) DE = CF và D1 C1 ả ã 0 à ã 0 ã 0 Mà : D1 CDN 90 C1 CDN 90 CND 90 1đ Tức là DE  CF. b/ Tương tự : CE  BF. Ta cú : MC = MA ( M BD) và MA = EF nờn : MC = EF MCF = FED (ccc) ãFED ãMCF Ta lại cú: FãED EãFC 900 Nờn Mã CF EãFC 900
5. Gọi H là giao CM và EF Hà 900 Trong tam giỏc ECF cú: CM, ED, FB là ba đường cao nờn chỳng đồng quy. c/ Cho chu vi tứ giỏc AEMF là 2a khụng đổi nờn: ME + MF = a khụng đổi 1đ Do đú ME. MF ( là diện tớch tứ giỏc AEMF) lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF AEMF là hỡnh vuụng Khi đú M  O là giao điểm hai đường chộo AC và BD của hỡnh vuụng ABCD. Bài 7 (2đ) Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB= 2BC. Trờn cạnh BC lấy điểm E. Tia 1 1 1 AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng AE2 AE2 4AF2 A B E F K D C Kẻ AK AF ( K CD) ABE và ADK Cú: Ã BE Kã DA 900 Bã AE Kã AD ( cựng phụ Dã AE ) Nờn ABE ADK 1đ AE AB 2 AK AD Tam giỏc AKF vuụng tại K 1 1 1 Ta cú AD2 AK 2 AF2 1 1 1 2 1 2 1 2 AF AB AE 1đ 2 2 1 1 1 Hay AE2 AE2 4AF2