Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi - Môn Toán 6

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi - Môn Toán 6

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN LÝ NHÂN MÔN TOÁN 6 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 4,0 điểm): 7 7 1 2 0 1 2 9 4 a, Tính M = 5 3 1 9 2 0 1 2 2 2010 2011 2012 1 1 1 1 b, So sánh A và B biết A = và B = 2011 2012 2010 3 4 5 17 Bài 2 ( 4,0 điểm): 1 5 3 7 a, Tìm x biết 2 2,75 x 7 0,65 : 0,07 8 4 2 200 x y 7 b, Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x, y 1 và x2 y2 25 Bài 3 ( 4,0 điểm): 1414 99 34 a, Tìm chữ số tận cùng của số P 14 9 2 b, Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng. Bài 4( 2,0 điểm): Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd. Chứng minh rằng A = an + bn + cn + dn là một hợp số với mọi số tự nhiên n. Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a, Chứng tỏ rằng OA < OB. b, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. c, Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP . Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P Hết
2. PHÒNG GD&ĐT LÝ NHÂN HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm a, Câu a : 2,0 điểm 7 7 1 0,5 đ .2012.9.2 N = 2012 9 4 5 3 1 .2012.9.2 9 2012 2 0,5 đ N = 7.9.2 7.2012.2 1006.9 5.2012.2 3.9.2 2012.9 0,5 đ N = 7.2021 503.9 5.2012 3.9 1006.9 Bài 1 9620 0,5 đ N = 4,0 đ 979 b, Câu b: 2,0 điểm 1 1 2 A 1 1 1 2011 2012 2010 0, 5 đ 1 1 1 1 A 3 2010 2011 2010 2012 A 3 0, 25 đ 0,2 5 đ 1 1 1 1 1 1 B 0, 25 đ 3 4 5 9 10 17 1 1 1 B .2 .5 .8 0, 25 đ 2 5 8 0,2 5 đ B 3 0,25 đ Từ đó suy ra A > B a, Câu a:( 2,0 điểm) 5 437 7 x 7 : 0,75 đ 8 200 100 5 437 100 Bài 2 x 7 . 0, 25 đ 8 200 7 5 437 ( 4,0đ) x 7 0, 25 đ 8 14 5 535 x 0, 25 đ 8 14 535 5 x : 0, 25 đ 14 8 0, 25 đ 1 x 61 7
3. Câu b: 2,0 điểm Vai trò của x, y bình đẳng. Giả sử x y, ta có 0, 25 đ x y 7 x2 y2 25 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) 0, 25 đ Suy ra 7x – 25 và 25 – 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên 0, 25 đ a, Nếu 7x – 25 4 ( trái với điều giả sử) 0, 25 đ b, Nếu 7x – 25 > 0 thì 25 – 7y > 0 Vậy x 4, y 4 0, 25 đ Thử các số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta được x = 4 0, 25 đ Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò của x, y như nhau nên (x,y) = (3,4) 0, 25 đ a, Câu a: 2,0 điểm 14 9 4 P 1414 99 23 14 - Tìm chữ số tận cùng của 1414 là 6 0, 5 đ 9 - Tìm chữ số tận cùng của 99 là 9 0, 5 đ 4 - Tìm chữ số tận cùng của 23 là 2 0, 5 đ Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng (6+9+2): là 7 0, 5 đ b, Câu b: 2,0 điểm Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c Bài 3 Ta có a + b + c = abc/2 0, 25 đ (4,0đ) Giả sử a b c thì a + b + c 3c abc Do đó 3c hay ab 6 0, 25 đ 2 Có các trường hợp sau 0, 25 đ 1, ab = 6 suy ra c = 3,5 ( loại ) 2, ab = 5 Suy ra a = 1, b = 5 , c = 4 ( Loại) 0, 25 đ 3, ab = 4 Suy ra a = 1, b = 4 , c = 5( thỏa mãn) 0, 25 đ a =2, b = 2, c = 4 (Thỏa mãn) 0, 25 đ 4, ab = 3 Suy ra a = 1, b = 3, c = 8 ( thỏa mãn) 0, 25 đ 5, ab = 2 ( Không thỏa mãn) 6, ab = 1 ( Không thỏa mãn 0, 25 đ Vậy bộ ba số cần tìm là 1, 4, 5 hoặc 1, 3, 8 Bài 4: 2,0 điểm Giả sử t = (a,c). Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = 1 0,25 đ ab = cd suy ra a1bt = c1dt , Suy ra a1b = c1d 0,25 đ Mà (a1,c1) = 1 suy ra b chia hết c1 , đặt b c1k 0,25 đ Do đó d = a1k 0,25 đ n n n n n n n n Ta có A = a1 .t + c1 .k + c1 .t + a1 .k 0,5 đ n n n n A = ( a1 + c1 )(k + t ) 0,25 đ
4. Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A là hợp số 0,25 đ a, Câu a: 2,0 điểm Bài 5 6,0 P điểm E H O M A N B Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau 0,5 đ Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B 1,0 đ Vậy OA < OB 0,5 đ b, Câu b : 2,0 điểm Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB 0, 25 đ Suy ra OM = (1/2) . OA, ON = (1/2) . OB 0, 25 đ Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON 0, 25 đ M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N 0, 25 đ Suy ra OM + MN = ON 0, 25 đ Suy ra MN = ON – OM 0, 25 đ MN = (1/2) .OB – (1/2) . OA = (1/2) .(OB – OA)= (1/2) AB 0, 25 đ AB có độ dài không đổi nên MN không đổi. 0, 25 đ c, Câu c: 2,0 điểm Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O 0, 5 đ Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP 0, 5 đ P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP 0, 5 đ Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P 0, 5 đ Lưu ý : - Hình học nếu hình vẽ không khớp chứng minh không cho điểm - Học sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa