Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Thiệu hóa- Môn: Toán lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Thiệu hóa- Môn: Toán lớp 6

1. PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THIỆU HÓA Môn: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4,0 điểm). 1 1 1 1 1 1 a) Tính: A 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2016 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 b) Tìm x biết: 12 20 30 42 56 72 9 Bài 2 (3,0 điểm). a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau. Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tìm hai số a và b. Bài 3 (3,0 điểm). a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. ab b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số (ab là số có 2 chữ số). a b Bài 4 (4,0 điểm). a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: 2x 1 y2 5 12 . b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số? Bài 5 (5,0 điểm). Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm. a) Tính BC. b) Giả sử cho O· AB 80o , tính O· AC . c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc ab ac 7 . HẾT Họ và tên học sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Câu Nội dung Điểm 1 1 1 1 1 1 a) Tính: A 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2016 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 b) Tìm x biết: 12 20 30 42 56 72 9 a) Tính: 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2014 2015 2016 1 2 1 3 1 4 1 2014 1 2015 1 2016 1 2 3 4 2014 2015 2016 1.2.3 2013.2014.2015 1 0,75 2.3.4.5 2014.2015.2016 2016 1 Vậy A 0,25 2016 b) Tìm x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 1 12 20 30 42 56 72 9 1 1 1 1 1 1 16 (x 2) 0,25 12 20 30 42 56 72 9 1 1 1 1 1 1 16 0,25 (x 2) 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 (x 2) 0,25 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 16 (x 2) 3 9 9 0,25 2 16 (x 2) 9 9 0,25 2(x 2) 16 0,25 x 2 8 x 10 0,25 Vậy x = 10 0,25 a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau. Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) =18. Tìm hai số a và b. a) Do B =x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có B = x1831 0,5 2 Vì B = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 - 1  9 x1830  9 0,25 x + 1 + 8 + 3 + 0  9 x + 3  9, mà x là chữ số nên x = 6 0,5 0,25 Vậy x = 6; y = 1 0,25 b) ƯCLN a,b 18 nên a = 18x; b = 18y và x, y nguyên tố cùng nhau
3. +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 0,5 18x.18y = 18.630 xy = 630 : 18 = 35 +) Vì a, b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau nên x, y cũng là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau: 0,5 x.y = 35 = 5.7 x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5 0,25 Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90 a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. ab b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số (ab là số có 2 chữ số). a b a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1 0,25 +) Từ giả thiết, suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4 0,25 +) Như vậy, vì p3 suy ra p – 1 chia cho 3 dư 2 p – 1 không là số chính phương; 0,25 +) Vì p2 và p không chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2 p + 1 chia cho 4 dư 3 nên p + 1 cũng không là số chính phương. 3 0,5 Vậy rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. 0,25 b) Nhận xét: ab là số có 2 chữ số suy ra 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤9 0,25 ab 10a b 9a 9 1 1 a 0 Ta có a b a b a b b ( vì ) 1 0,5 a ab b Phân số nhỏ nhất lớn nhất b = 9; a = 1 a b a 0,5 19 Vậy giá trị nhỏ nhất của phân số là: 10 0,25 a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: 2x 1 y2 5 12 . b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số? a) Theo giả thiết, suy ra 2x + 1 là số tự nhiên lẻ và y2 – 5 cũng là số tự nhiên. 0,5 2x 1 y2 5 12 3.4 1.12 4 0,25 TH1: 2x + 1 = 3 và y2 – 5 = 4. Giải tìm được x = 1 và y = 3 TH2: 2x + 1 = 1 và y2 – 5 = 12. Tìm được x = 0 và y2 = 17 ( vô lý) 0,5 0,5 Vậy x = 1 và y = 3 0,25 b) Giả sử 22015 có m chữ số và 52015 có n chữ số (m, n nguyên dương) 1 Ta có 10m 1 22015 10m ; 10n 1 52015 10n suy ra 10m n 2 102015 10m n
4. Do đó m + n – 2 AC nên xảy ra 2 trường hợp TH1: C nằm giữa A và B (hình 1) AB = AC + CB BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm 0,75 TH2: A nằm giữa B và C (hình 2) 5 BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm 0,75 Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm 0,25 b) Tính O· AC . TH1: C nằm giữa A và B (hình 1) Tia AC và tia AB trùng nhau O· AC O· AB 80o 0,75 TH2: A nằm giữa B và C (hình 2) Tia AC và tia AB đối nhau O· AC; O· AB là hai góc kề bù O· AC O· AB 180o Suy ra: O· AC 180o O· AB 180o 80o 100o 0,75 Vậy O· AC 80o hoặc O· AC 100o 0,25 c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt 0,25 +) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O. Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O. 0,25 Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là : 2018.2017 0,25 2035153 (góc) 2 0,25 Vậy có 2035153 góc đỉnh O
5. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc ab ac 7 . Ta có: abbc ab ac 7 (1) 100.ab + bc = 7. ab . ac (7.ab a- c100) = bc 0,25 bc bc 7. ac - 100 = Vì 0 < < 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10 6 ab ab 100 110 0,25 100 < 7. ac < 110 14 ac 16 . Vậy ac = 15 7 7 thay vào (1) được 1bb 10055 1 b+ 110b15 =7 1050 + 105.b 0,25 5b = 45 b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 5 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.