Đề khảo sát lần I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát lần I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

1. 1/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê UBND QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KHẢO SÁT LẦN I NĂM HỌC 2017 - 2018 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Môn: Toán Ngày khảo sát: 13 tháng 04 năm 2018 2 x 3 x 1 x 2 2x x 6 Câu I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A và B với 0 x 1 2 x 2 x 2 1 x x x 2 a) Tính giá trị của A với x 6 2 5 b) Rút gọn B c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Câu II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km? Câu III (2,0 điểm) 2 1 x y 22 x 1 x y 15 1.Giải hệ phương trình: 3 5 x y 3 x 1 x y 2.Cho parabal (P) :y x2 và đường thẳng (d)y 2(m 2)x 4m 13 a) Với m = 4, trên cùng một hệ tọa độ Oxy , vẽ (P) và (d). Xác định tọa độ giao điểm A, B. 2 2 b)Tìm m để (cắtd) (tạiP) hai điểm có hoành độ x 1sao, x2 cho biểu thức S x1 x2 4x1 .x2 20 đạt18 giá trị nhỏ nhất Câu IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) và dây BC khác đường kính. Lấy A thuộc cung B»C lớn sao cho AB AC (A khác C). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh EB là phân giác góc D· EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MED. d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở P và N. Chứng minh rằng khi A di động trên cung B»C lớn ( nhưng vẫn thảo mãn giả thiết ban đầu ) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định. Câu V (0,5 điểm) Cho x, y, z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z T 3 x 2y 1 4 3 y 2z 1 4 3 z 2x 1 4 Nhóm Toán THCS:
2. 2/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I (2,0 điểm) a. Tính giá trị của A với x 6 2 5 2 2 x 6 2 5 5 2 5 1 5 2. 5.1 12 5 1 2 x 5 1 5 1 5 1 2 x 3 Thay x 5 1 vào A 2 x 2 2 5 1 3 2 5 5 2 5 5 . 5 2.5 5. 5 2 5 A 2 5 1 2 2 5 2 5. 5 2.5 2 2 5 Vậy x 6 2 5 thì A 2 b. Rút gọn B x 1 x 2 2x x 6 B 0 x 1 x 2 1 x x x 2 x 1 x 2 2x x 6 B x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 . x 1 x 2 . x 2 2x x 6 B x 1 x 2 x 1 x 4 2x x 6 B x 1 x 2 2x x 3 B x 1 x 2 x 1 2 x 3 B x 1 x 2 2 x 3 B 0 x 1 x 2 c. Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2 x 2 2 x 2 6 P B : A : . 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 Nhóm Toán THCS:
3. 3/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 6 P nguyên nguyên 6 x 2 x 2 Ư(-6) x 2 Mà Ư(-6)= 1; 2; 3; 6 Mặt khác: x 2 0 x 2 2;3;6 x 0;1;4 x 0;1;16 Kết hợp ĐKXĐ: 0 x 1 Kết luận: Vậy x 0;16 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu II (2,0 điểm) Đổi 36 phút 0,6h ; 54 phút 0,9h Gọi vận tốc dự định là: v(km / h)(v 0) Gọi thời gian dự định là: t(h)(t 0) Nếu người đó đi thêm đc 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km / h) Khi đó người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đó đi là: (t 0,6)(h) Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (v 10)(t 0,6) v.t (1) Nếu người đó đi chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km / h) Khi đó người đó đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đó đi là: (t 0,9)(h) Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (v 10)(t 0,9) v.t (2) (v 10)(t 0,6) v.t Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình: (v 10)(t 0,9) v.t vt 10t 0,6v 6 v.t vt 10t 0,9v 9 v.t 10t 0,6v 6 10t 0,9v 9 t 3,6 v 50 Vậy quãng đường AB là: 50.3,6 180(km) Nhóm Toán THCS:
4. 4/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Câu III (2,0 điểm) 1. Điều kiện: x 0; x y 2 1 x y 22 2 1 22 1 x 1 x y 15 x 1 x y 15 3 5 x y 3 5 3 1 3 x 1 x y x 1 x y 2 1 7 10 5 7 x 1 x y 15 x 1 x y 3 3 5 3 5 2 2 x 1 x y x 1 x y 13 13 x 1 3 x 1 3 x 4(t / m) 5 3 5 1 y 1(t / m) 2 x y x 1 x y Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 4;1 2) a) Với m=4 phương trình đường thẳng (d) là: y=4x-3. *Vẽ đồ thị: - Vẽ (P): y=x2. Ta có bảng giá trị x 0 1 y -3 1 Parabol (P) đi qua hai điểm (0;-3) và (1;1) - Vẽ (d): y=4x-3. Ta có bảng giá trị x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Đường thẳng (d) đi qua các điểm (-2;4), (-1;1), (0;0), (2;4), (1;1) Nhóm Toán THCS:
5. 5/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê y 12 10 8 2 y=x 6 4 y=4x-3 2 x -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 * Tìm giao điểm của hai đồ thị: - Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 4x 3 x2 4x 3 0 (1) c Vì a+b+c=1-4+3=0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 3 a Nếu x 1 y 1 Nếu x 3 y 9 Vậy (P) giao (d) tại A(1;1) và B(3;9) 2b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 2(m 2)x 4m 13 x2 2(m 2)x 4m 13 0 ' m 2 2 (4m 13) m2 4m 4 4m 13 ' m2 8m 17 m 4 2 1 1 0 Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Nhóm Toán THCS:
6. 6/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê x1 x2 2(m 2) Áp dụng hệ thức viet: x1x2 4m 13 2 2 2 S x1 x2 4x1 .x2 2018 (x1 x2 ) 2x1x2 2018 S 2m 4 2 2 4m 13 2018 S 4m2 16m 16 8m 26 2018 S 4m2 8m 2008 S (2m 2)2 2004 2004 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2004 khi m = 1 Câu IV (3,5 điểm) a) Ta có: AD, BF, CF là các đường cao của ABC B· FD 90o ;C· EB 90o Xét tứ giác BFEC có: B· FC B· EC 90o Mà 2 góc này cùng nhìn BC tứ giác BFEC nội tiếp (dhnb) b) Ta có: Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (cmt) · · FEB FCB (t/c) (1) A Xét tứ giác CEHD có H· EC 90o ; H· DC 90o H· EC H· DC 90o 90o 180o F Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau E H tứ giác CDHE nội tiếp (dhnb) B I D C M D· CH D· EH (2) J Từ (1) và (2) suy ra D· EH F· EB EB là phân giác của D· EF K c) Ta có: I là trung điểm của BC (gt) IB IC IE IEC cân I·EC I·CE (t/c) Lại có: I·CE là góc ngoài của tam giác EMC I·CE M· EC C· ME I·EC C· EM C· ME Nhóm Toán THCS:
7. 7/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Lại có: C· EM F· EA ( đối đỉnh) Dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp ·AEF ·AHF I·EC ·AHF C· ME D· HC C· ME D· EC C· ME I·ED D· EC D· EC C· ME I·ED C· ME Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp DEM . Kẻ đường kính EK tứ giác KDEM nội tiếp E· MD E· KD (t/c) Mà E· MD I·ED (cmt) E· KD I·ED Lại có: DEK vuông tại D E· KD K· ED 90o I·ED K· ED 90o IE  JE IE là tiếp tuyến của (J) d) P N +) Ta có: FE / /PN C· PE F· EA (2 góc đồng vị) Mà ·ABC F· EA ( vì tứ giác BFEC nội tiếp) C· PF C· BN +) C/m : Tứ giác CPBN nội tiếp +) C/m : DP.DN DB.DC Nhóm Toán THCS:
8. 8/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê +) Ta Có : IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp VMED (cmt) C/m : IE 2 IM.ID Mà IE IB IB2 IM.ID IB2 ID2 IM.ID ID2 IB ID IB ID ID IM ID BD.DC ID.DM +) C/m : DP.DN ID.DM +) C/m : Tứ giác MNIP nội tiếp Khi A di động trên cung B»C lớn ( nhưng vẫn thảo mãn giả thiết ban đầu ) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định Câu V (0,5 điểm) 2 a2 b2 c2 a b c Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức * với x, y, z 0 , a,b,c bất x y z x y z kì. a b c Dấu " '' xảy ra x y z 2 a2 b2 a b Chứng minh: Trước hết ta chứng minh , x y x y Thật vậy quy đồng hai vế lên ta được bất đẳng thức tương đương ay bx 2 0 , luôn đúng. a b Dấu " " xảy ra ay bx x y 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c Áp dụng ta được x y z x y z x y z a b x y a b c Dấu " " xảy ra (đpcm) a b c x y z x y z Nhóm Toán THCS:
9. 9/9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bất đẳng thức thức (*) được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số không âm 3 và x 2y 1 ta có: 9 x 2y 1 x 3 x 2y 1 y 4 2 2 x 3 x 2y 1 4 y 2 x x 2x 2x2 Suy ra x 2 3 x 2y 1 4 y x 2y x 2xy 2 y 2y2 z 2z2 Tương tự ; 3 y 2z 1 4 y2 2yz 3 z 2x 1 4 z2 2zx Cộng vế với vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được 2x2 2y2 2z2 T x2 2xy y2 2yz z2 2zx Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2x2 2y2 2z2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2xy y 2yz z 2zx x 2xy y 2yz z 2zx Do đó T 2 x 2y 1 9 y 2z 1 9 10 Dấu " '' xảy ra z 2x 1 9 x y z (TMĐK) 3 x y z 2 2 2 x 2xy y 2yz z 2zx 10 Vậy Min T 2 khi x y z 3 Nhóm Toán THCS: