Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cao Phong (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cao Phong (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT HUYẾN SÔNG LÔ ĐỀ KHÁO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 TRƯỜNG THCS CAO PHONG Năm học :2017 – 2018 (Thời gian 120’ không kể thời gian giao đề) I. MA TRËN §Ò KIÓM TRA: Cấp độ Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cộng Chủ đề Cấp độ thấp Cấp độ cao 1. Số chính Biết tìm một số chính phương phương – và biết biểu thị bài toán qua ẩn phương trình đề giải phương trình nghiệm nghiệm nguyên nguyên Số câu 2 2 Số điểm 1,5 1,5 điểm Tỉ lệ % =15% 2. Tính chất Biết vận dụng tính chất dãy tỉ dãy tỉ số bằng số bằng nhau đề chứng minh nhau. đẳng thức Số câu 2 2 Số điểm 3,0 3,0 điểm Tỉ lệ % 30 = 30% 3. Bất dẳng Biết vận dụng các kiến thức so thức sánh phân số để chứng minh bất đẳng thức Số câu 2 2 Số điểm 3 3,0 điểm Tỉ lệ % 1,5 = 15% 4.Tam giác Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, chứng minh song song vuông góc. Biết vẽ thêm hình phụ để chứng minh bài toán. Số câu 5 4 Số điểm 4,0 4,0 điểm Tỉ lệ % = 40% Tổngsố câu 11 11 Tổng số điểm 10 10 điểm Tỉ lệ % 100% 100%
2. II. ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: (1,5 đ) a. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph­¬ng cña sè tù nhiªn. b.Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Câu 2 (3 điểm) x y z bz cy cx az ay bx a. Cho . Chứng minh rằng a b c a b c a a a a b. Chứng minh rằng nếu 1 2 3 2012 thì a2 a3 a4 a2013 2012 a a a a a 1 1 2 3 2012 a2013 a2 a3 a4 a2013 Câu 3(1,5 điểm): 1 1 2 n a. Chứng minh rằng : 2 1! 2! 3! (n 1)! 1 1 1 1 1 1 a. Chứng minh rằng P = 0,1 32 34 36 38 32006 32008 Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. có góc A nhọn. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, CK vuông góc với AB tại K. Gọi I là giao điểm của BH và CK. a. Chứng minh BHC = CKB. b. Chứng minh IB = IC và IBK = ICH. c. Chứng minh KH // BC d. Cho BC = 5cm, CH = 3cm. Tính chu vi và diện tích tam giác AHB. Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với B· AC = 600. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB. AC. III.HƯỚNG DẪN CHẤM. Câu Nội dung trình bày Điểm a) V× 00≤ab ≤99 vµ a,b N 0,5 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 2 2 447 < 2007ab < 449 0,25 2007ab = 4482 a = 0; b= 4 1 b)Gọi 3 số cần tìm là x, y, z thì x + y + z = xyz (1) (1,5 điểm) Do vai trò của x, y, z như nhau nên giả sử 1 x y z 0,25 Do đó xyz = x + y + z 3z suy ra xy 3 Nếu xy = 1 thì y = 1, x = 1 thay vào (1) loại. 0,25 Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 thay vào 1 t/m Nếu xy = 3 loại. 0,25 Vậy 3 số cần tìm là 1; 2; 3.
3. 2 x y z a. Từ , ta có các tỉ lệ thức (3 điểm) a b c x y suy ra ay = bx nên ay – bx = 0 0,5 a b y z suy ra bz = cy nên bz – cy = 0 b c 0,25 x z suy ra cx = az nên cx – az = 0 0,25 a c bz cy cx az ay bx 0,5 Do đó 0 a b c b. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a a a a a a a a 1 2 3 2012 1 2 3 2012 0,25 a2 a3 a4 a2013 a2 a3 a4 a2013 Từ đó, ta có: 2012 2012 2012 2012 a1 a2 a3 a2012 2012 2012 2012 2012 a2 a3 a4 a2013 0,25 2012 a1 a2 a3 a2012 0,25 a2 a3 a4 a2013 a a a a a 1 . 2 . 3 2012 1 0,5 a2 a3 a4 a2013 a2013 2012 a1 a1 a2 a3 a2012 Do đó 0,25 a2013 a2 a3 a4 a2013 1 1 2 n a. Chứng minh rằng : 2 1! 2! 3! (n 1)! 1 1 2 n 2 1 3 1 n 1 1 0,5 1 1! 2! 3! (n 1)! 2! 3! (n 1)! 1 1 1 1 1 0,25 1 1 2 2 2! 2! n! (n 1)! (n 1)! 3 1 1 1 1 1 1 b. Chứng minh rằng P = 0,1 (1,5 điểm) 32 34 36 38 32006 32008 1 1 1 1 1 1 P 32 34 36 38 32006 32008 0,5 1 1 1 1 1 32 P 1 32 34 36 32004 32006 1 0,25 10P 1 P 0,1 32008
4. A K H 0,25 I B C 4 a. Vì tam giác ABC cân ở A nên ABC =ACB 0,5 (3 điểm) Ta có hai tam giác vuông: ABH = ACK (Cạnh huyền – góc nhọn) Từ đó suy ra CBH = BCK Hai tam giác vuông BHC và CKB bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. 0,25 b.Ta có IBK = ICH (g.c.g) nên IB = IC (hai cạnh tương ứng) suy ra IBC cân tại I 0,25 Từ đó ta có: IBK= ICH c.Ta chứng minh được AKH cân tại A. Vây ABC và AKH đều 0,5 cân tại A và có góc A chung nên các góc đáy bằng nhau và ở vị trí đồng vị bằng nhau tạo bởi hai đường thằng BC và KH bi cắt bởi 0,5 đường thằng BK nên HK // BC. d.Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông BCH ta tính được 0,5 BH = 4 Vậy : Chu vi của tam giác CBH = 3+4+5 = 12 cm. 0,25 Diện tích của tam giác CBH = 3.4 .1/2 = 6 cm2. Kẻ BH  ACVì B· AC = 600 => ·ABH = 300 A AB H => AH = (1) 5 2 (1 điểm) Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2 B C => BC2 = (AB2 – AH2) + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 => BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2 => BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2) 1,0 Từ (1) và (2) => (ĐPCM)